8字相似模型—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023九上·南海期中）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A．m=5 B．m=4 C．m=3 D．m=10
4．（2024九上·浙江期中）如图，△ABC的中线BD，CE交于点G，且△ABC的面积为12，则（ ）
A．∠ADE＝∠AEC B．BG＝2DG
C．CD2＝DG DB D．△DEG的面积为1.5
5．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2024九下·浙江模拟）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·富阳期末）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·温州开学考）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024·云南） 如图，与交于点，且．若，则 ．
10．（2024九上·宁波期中）如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，，若BF：CF＝5：7，则的值为 ．
11．（2024九上·宁波期中）如图所示，在△ABC中，E、D分别是AC、AB的中点，连结BE、CD相交于点G，若CD⊥BE，BE＝12，CD＝9，则四边形ADGE的面积为 ．
12．（2024九下·镇海区开学考）如图，、分别是的边、上的点，，若：：，则： ．
阅卷人 三、解答题
得分
13．如图，
AD与BC交于点O，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F ，BO=1，CO= 3，AO= ，DO=
（1）求证：∠A=∠D.
（2）若AE= BE，求证：CF= DF.
14．（2024九上·拱墅期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
15．（2024九上·杭州期中）如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE，点G是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED的延长线于点，交AB于点.
（1）求的值；
（2），求HG的长.
16．（2024九上·杭州开学考）如图，四边形中，平分，，为的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
17．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
18．（2024九下·剑阁月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，B两点，与y轴交于，直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，若，求直线l的函数解析式；
（3）若在x轴上存在一点P，使，且，求出h的值．
19．（2024九上·诸暨月考） 【阅读与思考】
下面是一位同学的数学学习笔记， 请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
（1） 笔记中横线部分应填写① ；
② ∽ ， ∽ .
（2） 如图 2， 在 中， 点 分别在 边上， 连接 交于点 . 若 ， ， 猜测 与 的数量关系， 并说明理由.
（3） 如图 3， 在平行四边形 中， 点 分别是 的中点， ， ， 求 长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
2．【答案】B
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，
∴△ADC∽△BDE，
∴．
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，
∴BD=5，DC=3．
∴．
故选：B．
【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出△ADC∽△BDE，根据相似三角形的对应边之比相等得出，结合题意，代入计算即可求出DE的值.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OEB，
又∵E是AB的中点，
∴2EB=AB=CD，
∴=（）2，即，
解得：m=4，
故选B．
【分析】先根据平行四边形的性质求出△OCD∽△OEB，再根据相似三角形的性质解答即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ △ABC的中线BD，CE交于点G，
∴DE∥BC，，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，
∴△DEG∽△BCG，
∴，即 BG＝2DG ；故B正确；
∵D是AC的中点，
∴，
∵E是AB的中点，
∴，
又∵ BG＝2DG ，
∴，故D错误，
A，C选项无法得到，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线得到DE∥BC，，然后证明△DEG∽△BCG，即可得到B正确，然后分局三角形的中线分得的三角形面积是原三角形面积的一半得到，得到D错误，即可解题.
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
∴AD=CD=AB=6，GF=CG=CE=2，
∠D=∠CGF=90°，
又∵点G在边CD上，
∴DG=CD-CG=4，∠DGF=180°-∠CGF=90°，
又∵∠AHD=∠FHG，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
∴DH=3GH，即DG=4GH，
∴GH=，
∴DH=DG-GH=4-1=3.
故答案为：B.
【分析】根据正方形读题标量，为进一步求出目标线段DH，故在与目标线段中，易发现并证明△ADH∽△FGH，利用相似的性质求出目标线段DH即可.
6．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，记与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D.
【分析】先证明结合中点的含义可得，再证明，可得CG=3GN=6MN，从而可得答案．
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵是的中点，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点A作交CE延长线于点G，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推出，，根据计算面积得出.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：
【分析】根据相似三角形的判定证明，利用相似三角形的性质即可求解。
10．【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再根据题意可得，再根据相似三角形的性质，求解即可.
11．【答案】24
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接DE，如下图
∵E、D分别是AB、AC的中点
∴
∴，
∴，
∴，，
∴
∵
∴，，，，，
∴，
，
∴
故答案为：24
【分析】连接DE，利用三角形中位线的性质可得，则，，则，，则，因为，可得，得到，求解即可.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
故答案为：.
【分析】由DE∥AC，可判定△DOE∽△COA，△BDE∽△BAC，再根据相似三角形的性质及等高三角形的性质求解即可．
13．【答案】（1）证明：∵BO=1，CO=3，AO= ，DO= ．
∴
∵∠AOB=∠COD，
∴△OAB∽△ODC，
∴∠A=∠D．
（2）解：∵∠A=∠D，
∴AB∥CD，
易得△AOE∽△DOF，△BOE∽△COF，
∴．．
∴
∵AE= BE，
∴CF= DF.
【知识点】相似三角形的判定与性质；8字型相似模型
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意证明△OAB∽△ODC得到∠A=∠D；
（2）根据平行线的判定得到AB∥CD，进而根据相似三角形的判定与性质证明△AOE∽△DOF，△BOE∽△COF得到，，从而即可得到，再结合题意等量代换即可求解。
14．【答案】（1）证明：平分，
，
∵
∴
；
（2）解：由（1）可得
点为边的中点，，
，
∴
平分，
，
∴
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线可得，由可得，从而得到即可证明；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，根据平行线的判定得到证明，最后相似三角形的性质即可证明求解．
15．【答案】（1）解： ∵点D、E是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， BC=2DE，
∴∠BCG =∠F， ∠CBG =∠FEG，
∵点G是线段BE的中点，
∴BG=EG，
在△BCG和△EFG中，
，
∴△BCG≌△EFG(AAS)，
∴BC = EF， CG=FG，
∵BC=2DE，
∴BC =EF =DF+DE=2DE，
∴DF=DE，
∴BC=2DF，
又∵DE∥BC，
∴∠F=∠FCB，∠FDB=∠DBC，
∴△FHD∽△CHB，
∴；
（2）解：∵CF=18，
∴CG=FG=9， CH=CF-FH=18-FH，
∵
∴FH：(18-FH)=1：2，
∴FH=6，
∴HG=FG-FH =9-6=3.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先得到DE是△ABC的中位线， 则DE∥BC，BC =2DE， 证明△BCG和△EFG全等DEBC =EF， 则BC=2DF， 然后根据△FHD∽△CHB即可得出结论；
(2)先求出CG=FG=9，CH=CF-FH=18-FH， 再根据 (1) 的结论得FH：CH=DF：BC， 则FH：(18–FH)=1：2， 由此可求出FH， 进而即可得出HG的长.
16．【答案】（1）证明：平分，
∴，
，
∽（AA），
∴
；
（2）解：，为中点，
=EB，
∴，
平分，
，
，
∴，
∽，
∴
，，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合直角直等，利用AA证明∽，根据相似三角形的对应边成比例证明即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AE=CE，根据等边对等角准备条件，证∽，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
17．【答案】（1）证明：如图，∵∠A与∠B是 所对的圆周角，∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE；
（2）证明：如图，∵AD2＝AE·AC，∴ ，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴ ＝ ，∴CD＝CB.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角可得∠A＝∠B，根据相似三角形的判定： 两角对应相等的两个三角形相似 ，由此即可得证.
（2）根据相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ；由此可得△ADE∽△ACD，由相似三角形的性质得∠AED＝∠ADC，由圆周角定理可得∠ADC=∠AED＝90°，由垂径定理可得CD＝CB.
18．【答案】（1）解：将点，代入，
得，解得，
抛物线的函数解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为．
如图1，过点A作AM垂直对称轴于点M，过点B作BN垂直对称轴于点N，则，
，
，．
，．
，
，
点B的横坐标为，即．
把点和代入，
得，解得，
直线l的函数解析式为．
（3）解：如图2，过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，
则．
，
．
，．
，，
，．
设点．
则，，，
，
，
解得，，
或．
①当，时，代入，
得，解得，
②当，时，代入，
得，解得．
综上所述，k的值为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；同侧一线三垂直全等模型；8字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用待定系数法经过两点解方程组求出抛物线解析式；
（2）利用构造“8字”相似，利用已知A点与对称轴信息推出B点坐标，最后利用待定系数法解方程组得出一次函数解析式；
（3）将坐标系的等腰直角三角形转换为一线三垂直全等，利用全等性质设P点得出等量关系解之即可得出B点坐标，同理利用待定系数法得出一次函数k值.
19．【答案】（1）DE是△ABC的中位线；△BDE；△BAC；△DEG；△ACG
（2）解：KF=HF，理由如下：
连接KL
∵，
∴
∴△KML∽△NMH
∴
∴KL∥NH
∴△KFL∽△HFN
∴
∴KF=HF
（3）解：连接AC，EC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴点E，F分别是AD，BC的中点
∴AE=CE
∴四边形AFCE是平行四边形
∴AF=CE
∵AD∥BC
∴△AEQ∽△CBQ
∴
设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b
∵点E，G分别是AD，CD的中点
∴EG是△ACD的中位线
∴EG∥AC
∵BE⊥EG
∴BE⊥AC
∵
即
∴
∴
∴
在Rt△EQC中，
∴CE=4
∴AF=4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，在△ABC中，中线AD，CE相交于点G，连接DE
∵D，E分别是BC，AB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥AC，且
∴△BDE∽△BAC，△DEG∽△ACG
∴
【分析】（1）根据三角形中位线定理及相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接KL，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△KML∽△NMH，则，再由相似三角形判定定理可得△KFL∽△HFN，则，即KF=HF，即可求出答案.
（3）连接AC，EC，根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，再根据平行四边形判定定理可得四边形AFCE是平行四边形，则AF=CE，由相似三角形判定定理可得△AEQ∽△CBQ，则，设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，根据三角形中位线判定定理可得EG是△ACD的中位线，则EG∥AC，即BE⊥AC，根据勾股定理可得，，在Rt△EQC中，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 18字相似模型—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
2．（2023九上·南海期中）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，
∴△ADC∽△BDE，
∴．
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，
∴BD=5，DC=3．
∴．
故选：B．
【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出△ADC∽△BDE，根据相似三角形的对应边之比相等得出，结合题意，代入计算即可求出DE的值.
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A．m=5 B．m=4 C．m=3 D．m=10
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OEB，
又∵E是AB的中点，
∴2EB=AB=CD，
∴=（）2，即，
解得：m=4，
故选B．
【分析】先根据平行四边形的性质求出△OCD∽△OEB，再根据相似三角形的性质解答即可．
4．（2024九上·浙江期中）如图，△ABC的中线BD，CE交于点G，且△ABC的面积为12，则（ ）
A．∠ADE＝∠AEC B．BG＝2DG
C．CD2＝DG DB D．△DEG的面积为1.5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ △ABC的中线BD，CE交于点G，
∴DE∥BC，，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，
∴△DEG∽△BCG，
∴，即 BG＝2DG ；故B正确；
∵D是AC的中点，
∴，
∵E是AB的中点，
∴，
又∵ BG＝2DG ，
∴，故D错误，
A，C选项无法得到，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线得到DE∥BC，，然后证明△DEG∽△BCG，即可得到B正确，然后分局三角形的中线分得的三角形面积是原三角形面积的一半得到，得到D错误，即可解题.
5．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
∴AD=CD=AB=6，GF=CG=CE=2，
∠D=∠CGF=90°，
又∵点G在边CD上，
∴DG=CD-CG=4，∠DGF=180°-∠CGF=90°，
又∵∠AHD=∠FHG，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
∴DH=3GH，即DG=4GH，
∴GH=，
∴DH=DG-GH=4-1=3.
故答案为：B.
【分析】根据正方形读题标量，为进一步求出目标线段DH，故在与目标线段中，易发现并证明△ADH∽△FGH，利用相似的性质求出目标线段DH即可.
6．（2024九下·浙江模拟）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，记与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D.
【分析】先证明结合中点的含义可得，再证明，可得CG=3GN=6MN，从而可得答案．
7．（2023九上·富阳期末）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
8．（2024九上·温州开学考）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵是的中点，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点A作交CE延长线于点G，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推出，，根据计算面积得出.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024·云南） 如图，与交于点，且．若，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：
【分析】根据相似三角形的判定证明，利用相似三角形的性质即可求解。
10．（2024九上·宁波期中）如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，，若BF：CF＝5：7，则的值为 ．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再根据题意可得，再根据相似三角形的性质，求解即可.
11．（2024九上·宁波期中）如图所示，在△ABC中，E、D分别是AC、AB的中点，连结BE、CD相交于点G，若CD⊥BE，BE＝12，CD＝9，则四边形ADGE的面积为 ．
【答案】24
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接DE，如下图
∵E、D分别是AB、AC的中点
∴
∴，
∴，
∴，，
∴
∵
∴，，，，，
∴，
，
∴
故答案为：24
【分析】连接DE，利用三角形中位线的性质可得，则，，则，，则，因为，可得，得到，求解即可.
12．（2024九下·镇海区开学考）如图，、分别是的边、上的点，，若：：，则： ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
故答案为：.
【分析】由DE∥AC，可判定△DOE∽△COA，△BDE∽△BAC，再根据相似三角形的性质及等高三角形的性质求解即可．
阅卷人 三、解答题
得分
13．如图，
AD与BC交于点O，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F ，BO=1，CO= 3，AO= ，DO=
（1）求证：∠A=∠D.
（2）若AE= BE，求证：CF= DF.
【答案】（1）证明：∵BO=1，CO=3，AO= ，DO= ．
∴
∵∠AOB=∠COD，
∴△OAB∽△ODC，
∴∠A=∠D．
（2）解：∵∠A=∠D，
∴AB∥CD，
易得△AOE∽△DOF，△BOE∽△COF，
∴．．
∴
∵AE= BE，
∴CF= DF.
【知识点】相似三角形的判定与性质；8字型相似模型
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意证明△OAB∽△ODC得到∠A=∠D；
（2）根据平行线的判定得到AB∥CD，进而根据相似三角形的判定与性质证明△AOE∽△DOF，△BOE∽△COF得到，，从而即可得到，再结合题意等量代换即可求解。
14．（2024九上·拱墅期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【答案】（1）证明：平分，
，
∵
∴
；
（2）解：由（1）可得
点为边的中点，，
，
∴
平分，
，
∴
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线可得，由可得，从而得到即可证明；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，根据平行线的判定得到证明，最后相似三角形的性质即可证明求解．
15．（2024九上·杭州期中）如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE，点G是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED的延长线于点，交AB于点.
（1）求的值；
（2），求HG的长.
【答案】（1）解： ∵点D、E是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， BC=2DE，
∴∠BCG =∠F， ∠CBG =∠FEG，
∵点G是线段BE的中点，
∴BG=EG，
在△BCG和△EFG中，
，
∴△BCG≌△EFG(AAS)，
∴BC = EF， CG=FG，
∵BC=2DE，
∴BC =EF =DF+DE=2DE，
∴DF=DE，
∴BC=2DF，
又∵DE∥BC，
∴∠F=∠FCB，∠FDB=∠DBC，
∴△FHD∽△CHB，
∴；
（2）解：∵CF=18，
∴CG=FG=9， CH=CF-FH=18-FH，
∵
∴FH：(18-FH)=1：2，
∴FH=6，
∴HG=FG-FH =9-6=3.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先得到DE是△ABC的中位线， 则DE∥BC，BC =2DE， 证明△BCG和△EFG全等DEBC =EF， 则BC=2DF， 然后根据△FHD∽△CHB即可得出结论；
(2)先求出CG=FG=9，CH=CF-FH=18-FH， 再根据 (1) 的结论得FH：CH=DF：BC， 则FH：(18–FH)=1：2， 由此可求出FH， 进而即可得出HG的长.
16．（2024九上·杭州开学考）如图，四边形中，平分，，为的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：平分，
∴，
，
∽（AA），
∴
；
（2）解：，为中点，
=EB，
∴，
平分，
，
，
∴，
∽，
∴
，，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合直角直等，利用AA证明∽，根据相似三角形的对应边成比例证明即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AE=CE，根据等边对等角准备条件，证∽，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
17．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
【答案】（1）证明：如图，∵∠A与∠B是 所对的圆周角，∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE；
（2）证明：如图，∵AD2＝AE·AC，∴ ，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴ ＝ ，∴CD＝CB.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角可得∠A＝∠B，根据相似三角形的判定： 两角对应相等的两个三角形相似 ，由此即可得证.
（2）根据相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ；由此可得△ADE∽△ACD，由相似三角形的性质得∠AED＝∠ADC，由圆周角定理可得∠ADC=∠AED＝90°，由垂径定理可得CD＝CB.
18．（2024九下·剑阁月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，B两点，与y轴交于，直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，若，求直线l的函数解析式；
（3）若在x轴上存在一点P，使，且，求出h的值．
【答案】（1）解：将点，代入，
得，解得，
抛物线的函数解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为．
如图1，过点A作AM垂直对称轴于点M，过点B作BN垂直对称轴于点N，则，
，
，．
，．
，
，
点B的横坐标为，即．
把点和代入，
得，解得，
直线l的函数解析式为．
（3）解：如图2，过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，
则．
，
．
，．
，，
，．
设点．
则，，，
，
，
解得，，
或．
①当，时，代入，
得，解得，
②当，时，代入，
得，解得．
综上所述，k的值为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；同侧一线三垂直全等模型；8字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用待定系数法经过两点解方程组求出抛物线解析式；
（2）利用构造“8字”相似，利用已知A点与对称轴信息推出B点坐标，最后利用待定系数法解方程组得出一次函数解析式；
（3）将坐标系的等腰直角三角形转换为一线三垂直全等，利用全等性质设P点得出等量关系解之即可得出B点坐标，同理利用待定系数法得出一次函数k值.
19．（2024九上·诸暨月考） 【阅读与思考】
下面是一位同学的数学学习笔记， 请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
（1） 笔记中横线部分应填写① ；
② ∽ ， ∽ .
（2） 如图 2， 在 中， 点 分别在 边上， 连接 交于点 . 若 ， ， 猜测 与 的数量关系， 并说明理由.
（3） 如图 3， 在平行四边形 中， 点 分别是 的中点， ， ， 求 长.
【答案】（1）DE是△ABC的中位线；△BDE；△BAC；△DEG；△ACG
（2）解：KF=HF，理由如下：
连接KL
∵，
∴
∴△KML∽△NMH
∴
∴KL∥NH
∴△KFL∽△HFN
∴
∴KF=HF
（3）解：连接AC，EC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴点E，F分别是AD，BC的中点
∴AE=CE
∴四边形AFCE是平行四边形
∴AF=CE
∵AD∥BC
∴△AEQ∽△CBQ
∴
设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b
∵点E，G分别是AD，CD的中点
∴EG是△ACD的中位线
∴EG∥AC
∵BE⊥EG
∴BE⊥AC
∵
即
∴
∴
∴
在Rt△EQC中，
∴CE=4
∴AF=4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，在△ABC中，中线AD，CE相交于点G，连接DE
∵D，E分别是BC，AB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥AC，且
∴△BDE∽△BAC，△DEG∽△ACG
∴
【分析】（1）根据三角形中位线定理及相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接KL，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△KML∽△NMH，则，再由相似三角形判定定理可得△KFL∽△HFN，则，即KF=HF，即可求出答案.
（3）连接AC，EC，根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，再根据平行四边形判定定理可得四边形AFCE是平行四边形，则AF=CE，由相似三角形判定定理可得△AEQ∽△CBQ，则，设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，根据三角形中位线判定定理可得EG是△ACD的中位线，则EG∥AC，即BE⊥AC，根据勾股定理可得，，在Rt△EQC中，再根据勾股定理即可求出答案.
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