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第6章：图形的初步知识培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.下列说法中正确的个数有（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④两条直线相交，对顶角相等.
1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短 B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小 D．相等的角是对顶角
3.平面上的任意四个点，可以确定的直线条数为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．前三项都有可能
4.如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC ， ∠A＝70°，则∠BDC＝（ ）
A. 35° B. 25° C. 70° D. 60°
5．如图，点D为线段AB的中点，点C为DB的中点，若AB＝16，DE＝AE，则线段EC的长（ ）
A．7 B． C．6 D．5
6.如图，，平分，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
7.将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为
A． B． C． D．
8.如图，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB的角平分线，此时∠AOM与∠NOC满足的数量关系是（ ）
A．∠AOM＝∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．∠AOM＝3∠NOC D．不确定
9．在同一平面内，点0在直线AD上，与互补，OM,ON分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的 多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发.分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是
12．钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 度，15分钟后时针与分针的夹角是 度．
13.已知与互余，与互补，写出与的数量关系：
14.已知A、B、C三点在同一直线上，AB＝16cm，BC＝10cm，M、N分别是AB、BC的中点，则
15.已知∠AOB和∠COD是共顶点的两个角，∠COD的OC边始终在∠AOB的内部，并且∠COD的边OC把∠AOB分为1：2的两个角，若∠AOB＝60°，∠COD＝30°，则∠AOD的度数是
16．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．
（1）若∠AOC＝38°，∠COE＝90°，求∠BOE的度数；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD＝4：3：2，求∠AOE的度数．
18（本题6分）．如图，A，B、C、D四个点，请用直尺和圆规完成下列要求：(1)在射线上找一点E，使得；(2)在直线上找一个点P使得的值最小；
19．（本题8分）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE交于点F，∠D＝30°．（1）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数．（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠CFB的度数．
20．（本题8分）已知角α，β都是锐角，γ是钝角．
（1）在计算（α+β+γ）的度数时有三位同学分别算出了119°、120°、121°这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，根据以上信息，求α+β+γ的值；
（2）在（1）的情况下，若锐角β比锐角α小1°，γ是α的两倍，求γ的补角的度数．
21．（本题10分）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
22.（本题10分）如图，在一块长方形木板上要贴三种不同的墙纸，小长方形贴型墙纸，三角形贴型墙纸，阴影部分贴型墙纸．型，型，型三种墙纸的价格分别为每平方米元，元，元．已知：米，米，米．
(1)请你过点作的垂线，垂足为（作图工具不限）．
(2)设米，请你求出三角形的面积（用含的代数式表示）．
(3)当为多长时，阴影部分贴墙纸的费用恰好是总费用的．
23.（本题12分）已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为－5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．
（1）BP=________，点P表示的数________（分别用含 的代数式表示）；
（2）点P运动多少秒时，PB=2PA？
（3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
24．（本题12分）已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数．
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第6章：图形的初步知识培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：C
解析：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，应该是同一平面内；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
④两条直线相交，对顶角相等，正确；
故选择：C.
2.答案：C
解析：A、两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、∵90°﹣53°38'＝36°22'，∴∠α余角的度数为36.22°，故B不符合题意；
C、如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故C符合题意；
D、相等的角不是对顶角，故D不符合题意；
故选择：C．
3.答案：D
解析：如果4个点在同一直线上，那么只能确定一条直线，
如果4个点中有3个点在同一直线上，而第4个点不在此直线上，那么可以确定4条直线，
如果4个点中，任何3个点都不在同一直线上，共确定6条直线，
故选择：D．
4.答案：A
解析：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC ，
∴∠CBD＝∠ABC ， ∠DCE＝∠ACE ，
由三角形的外角性质得，∠DCE＝∠D＋∠CBD ， ∠ACE＝∠A＋∠ABC ，
∴∠D＋∠CBD＝（∠A＋∠ABC）
∴∠D＝∠A ，
∵∠A＝70°，
∴∠D＝×70°＝35°．
故选择：A ．
5.答案：C
解析：∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝＝8，
∵AD＝AE+DE，DE＝AE，
∴，
∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，
∴CE＝DE+CD＝2+4＝6．
故选择：C．
6.答案：B
解析：设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选择：B．
7.答案：D
解析：由折叠性质得：，，
，，
，，
，
，
．
故选择．
8.答案：B
解析：令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC．
故选择：B．
9.答案:D
解析:∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故选择：D.
10.答案：C
解析：设BC＝x，
∴AC＝ x+5
∵AC+BC＝AB
∴x+ x+5＝30，
解得：x＝20，
∴BC＝20，AC＝10，
∴BC＝2AC，故①成立，
∵AP＝2t，BQ＝t，
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∵M是BP的中点
∴MB＝ BP＝15﹣t
∵QM＝MB+BQ，
∴QM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝ QM＝，
∴AB＝4NQ，
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝ BP＝t﹣15
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝ QM＝，
∴AB＝4NQ，
当t＞30时，
此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝ BP＝t﹣15
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝ QM＝，
∴AB＝4NQ，
综上所述，AB＝4NQ，故②正确，
当0＜t≤15，PB＝ BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP＝2t，BQ＝t
∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∴30﹣2t＝ t，
∴t＝12，
当15＜t≤30，PB＝ BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∴2t﹣30＝ t，
t＝20，
当t＞30时，此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∴2t﹣30＝ t，
t＝20，不符合t＞30，
综上所述，当PB＝ BQ时，t＝12或20，故③错误；
故选择：C.
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：24°28'
解析：设这个角为x°，则它的余角为90°﹣x°，补角为180°﹣x°，
根据题意，得180°﹣x°+10°＝3×（90°﹣x°），
解得x＝40
40°﹣15°32'＝24°28'，
故答案为：24°28'
12.答案：45，127.5
解析：由题意得：
30°+×30°＝45°，
∴钟面上4时30分，时针与分针的夹角是45度，
由题意得：
5×30°﹣45×0.5°
＝150°﹣22.5°＝127.5°，
∴15分钟后时针与分针的夹角是127.5度，
故答案为：45，127.5．
13.答案：．
解析：与互余，
，
，
与互补，
，
，
．
故答案为：．
14.答案：3cm或13cm．
解析：本题有两种情形：（1）当点C在线段AB上时，如图，
∵AC=AB-BC，AB=16cm，BC=10cm，
∴AC=16-10=6cm．
又∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴AM= AB=8cm，BN= BC=5cm，
∴MN=AB-AM-BN=16-8-5=3cm．（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，
∵AC=AB+BC，AB=16cm，BC=10cm，
∴AC=16+10=26cm．
又∵M、N分别是AB，BC的中点，
∴BM= AB=8cm，BN= BC=5cm，
∴MN=BM+BN=8+5=13cm．
故MN的长度是3cm或13cm．
15.答案：10°或50°或70°．
解析：如图1，∵∠AOB＝60°，∠COD＝30°，OC把∠AOB分为1：2的两个角，
∴∠AOC＝AOB＝20°，
∴∠AOD＝30°﹣20°＝10°；
如图2，
∵∠AOB＝60°，∠COD＝30°，OC把∠AOB分为1：2的两个角，
∴∠AOC＝∠AOC＝40°，
∴∠AOD＝10°；
如图3，∵∠AOB＝60°，∠COD＝30°，OC把∠AOB分为1：2的两个角，
∴∠AOC＝AOB＝20°，
∴∠AOD＝30°+20°＝50°；
如图4，
∵∠AOB＝60°，∠COD＝30°，OC把∠AOB分为1：2的两个角，
∴∠AOC＝∠AOC＝40°，
∴∠AOD＝40°+30°＝70°；
综上所述，∠AOD的度数是10°或50°或70°．
故答案为：10°或50°或70°．
16.答案：39°
解析：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠EAD′，
∵四边形ABCD是长方形，
∴DA⊥AB，
∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，
∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，
∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，
∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，
∴30°+5∠BAD′＝90°，
∴∠BAD′＝12°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
＝2∠BAD′+∠CAD′
＝2×12°+15°＝39°，
∴∠DAE＝39°．
故答案为：39°．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵∠AOC＝38°，∠COE＝90°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣38°﹣90°＝52°；
（2）∵∠COE：∠EOB：∠BOD＝4：3：2，∠COE+∠EOB+∠BOD＝180°，
∴∠COE＝×180°＝80°，∠BOD＝×180°＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，
即∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+80°＝120°．
18.解析：（1）如图，作射线CD，用圆规以D为圆心，以AD的长为半径画弧，
与射线CD交于一点，即所求点E．
（2）解：如图，作直线AC，连接BD，
直线AC与线段BD交点即为所求点P．
19.解析：（1）∵∠ACB＝145°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝145°﹣90°＝55°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣55°＝35°；
（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
设∠ACE＝α，
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝α+90°，
∴∠ACB+∠DCE＝α+90°+90°﹣α＝180°；
（3）∵∠DCE：∠ACB＝2：7，
∴设∠DCE＝2β，∠ACB＝7β，
由（2）可知：∠ACB+∠DCE＝180°，
∴7β+2β＝180°，
解得：β＝20°，
∴∠DCE＝2β＝40°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴∠CFB＝∠E+∠DCE＝45°+40°＝85°．
20.解析：（1）∵α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，
∴0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，
∴α+β+γ＜360°，
∵3×119°＝357°，3×120°＝360°，3×121°＝363°，
∴α+β+γ＝357°．
答：α+β+γ的值是357°；
（2）设α为x°，则β为（x﹣1）°，γ为2x°，
x+（x﹣1）+2x＝357
解得：x＝89.5
γ＝2×89.5＝179°，
180﹣179＝1°．
答：γ的补角的度数为1°．
21.解析：（1）∵AC＝9cm，点M是AC的中点，
∴CM＝0.5AC＝4.5cm，
∵BC＝6cm，点N是BC的中点，
∴CN＝0.5BC＝3cm，
∴MN＝CM+CN＝7.5cm，
∴线段MN的长度为7.5cm，
（2）MN＝a，
当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN＝a，
（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC＞BC，
∵M是AC的中点，
∴CM＝AC，
∵点N是BC的中点，
∴CN＝BC，
∴MN＝CM﹣CN＝（AC﹣BC）＝b．
22.解析：（1）如图所示，即为所求；
（2）解：∵，，
∴．
∴．
．
（3）解：
．
设阴影部分费用为，其余空白部分费用为，
则，
．
∵，即．
解得．
答：为米时，阴影部分贴墙纸的费用恰好是总费用的．
23.解析：（1）由题意得，BP=4t，点P表示的数是-5+4t；
（2）解：当点P在AB之间运动时，由题意得，
PB=4t，PA=13-（-5+4t）=18-4t，
∵PB=2PA，
∴4t=2（18-4 t），
∴t=3；
当点P在运动到点A的右侧时，由题意得，
PB=4t，PA=-5+4t-13=4 t -18，
∵PB=2PA，
∴4t=2（4t-18），
∴t=9；
综上可知，点P运动多3秒或9秒时，PB=2PA
（3）解：当点P在AB之间运动时，由题意得，
PB=4t，PA=18-4 t，
∵M为BP的中点，N为PA的中点，
，
∴MN=MP+NP=2t+9-2t=9；
当点P在运动到点A的右侧时，由题意得，
PB=4t，PA=4t-18，
∵M为BP的中点，N为PA的中点，
， ,
∴MN=MP-NP=2t-（2t-9）=9；
综上可知，线段MN的长度不发生变化，长度是9。
24.解析：（1）∠AOD+∠BOC＝180°．
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，
同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝2a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB
＝360°﹣90°﹣3a﹣90°＝180°﹣3a，
∵，
∴∠DOF（180°﹣3a）＝120°﹣2a，
∴∠AOF∠AOD（180°﹣3a）＝60°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+60°﹣a＝150°，
∠EOF的度数为150°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时，
∴∠GOF：∠GOE＝2：3，
∴∠GOF（∠GOF+∠GOE）∠EOF150°＝60°；
②当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝2：3，
∴∠GOF（∠GOF+∠GOE）
∠EOF
（∠DOF+∠COD+∠EOC）
（120°﹣2a+90°+2a）＝84°．
综上所述，∠GOF 的度数是60°或84°
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