2.3 三角形的内切圆 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
浙教版 九年级下册
2.3 三角形的内切圆
第2章 直线与圆的位置关系
课前复习
切线的判定
切线的定义
切线的性质
切线长定理
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
相切
圆与一条
直线相切
圆与共顶点的两条直线相切
作用
辅助线
为证明线段相等提供新的思路.
本质
圆的轴对称性
课前练习
【练习】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的弦，BC是⊙O的直径，连结AB，∠P＝60°，PB＝2 cm.
(1)求证：△PAB是等边三角形.
(2)求AC的长．
课前练习
解：(1)∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA＝PB.
又∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形．
(2)∵△PAB是等边三角形，
∴AB＝PB＝2 cm，∠PBA＝60°.
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBC＝90°，∴∠ABC＝30°.
∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，
新知学习
【引例】运动会上，小新的裤子被钩了一个锐角三角形的口子，现在想用同色圆形布料将此口子全部覆盖，你能帮忙画出符合条件的最小的圆吗？
A
O
C
B
△ABC叫做⊙O的内接三角形
⊙O叫△ABC的外接圆
新知学习
【探究】小新发现家里有一块三角形的布料，想从这块布料中裁一个半径尽可能大的圆去补裤子.应该怎样画出裁剪的图样呢
A
B
C
下图是他的几种设计,请同学们帮他选择一下.
新知学习
OA = r
OA⊥l于点A
一条切线
P
B
A
O
两条切线
三条切线
O
E
F
P
A
C
P
F
E
B
O
PA = PB
O
A
l
提出问题
新知学习
E
O
P
F
O
C
B
A
外
圆
接
内接三角形
内
圆
切
外切三角形
外 心
内 心
△EFP是⊙O的外切三角形
点O叫△EFP的内心
⊙O叫△EFP的内切圆
定义：
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
形成概念
新知学习
C
B
A
圆心 + 半径
A
C
B
O
F
E
r
r
思考：
如何画一个三角形的内切圆？
两个内角的角平分线交点
圆心到三角形的任一边的距离
请你在作业本上画出△ABC的内切圆
∴ ⊙O即为△ABC的内切圆
r
r
r
O
E
P
F
N
O
合作探究
新知学习
【归纳】内心、外心的区别与联系
名称 内心 外心
图形
圆心的确定 三角形三条角平分线的交点 三角形三边垂直平分线的交点
性质 到三角形三边的距离相等 到三角形三个顶点的距离相等
位置 一定在三角形内部 不一定在三角形内部
角度关系 ∠BOC＝90°＋ ∠A ∠BIC＝2∠A
新知学习
【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的内切圆⊙O的半径．
C
B
A
O
解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°．
∵OD⊥AB，AB＝3cm．
∴AD＝BD＝AB＝1.5cm．
∴OD＝AD×tan 30°＝1.5× ＝ cm．
答：△ABC的内切圆的半径为 cm．
D
1.5
1.5
30°
30°
新知学习
【变式】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的外接圆的半径．
C
B
A
O
D
1.5
1.5
30°
30°
OA=OC=OB
OA=2OD=(cm)
等边三角形三线合一
等边三角形的外心、内心、重心重合！
30°
30°
30°
30°
新知学习
【例2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．设△ABC的周长为l．求证：AE＋BC＝l．
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点，
∴AE＝AF＝a（切线长定理）．
同理，BD=BF=b，CD=CE=c．
∴AE＋BC＝AE＋BD＋CD＝a + b + c
＝ = l．
a
a
b
b
c
c
新知学习
【例3】设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的半径为r，证明：S＝lr．
解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，
则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OE＝OF＝OD＝r．
∵S △ABC ＝S△AOB＋S△OBC＋S△COA，
∴S = AB×r + ×BC×r + ×AC×r = lr．
r
r
r
学以致用
【1】如图，在△ABC中，点D是△ABC
的内心，连结DB，DC，过点D作EF
∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若
BE＋CF＝8，则EF的长为(　　)
A．4 B．5
C．8 D．16
C
学以致用
【2】 如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点．若∠DOB＝73°，∠DOE＝120°，则∠DOF＝________°，∠C＝________°，∠A＝________°.
146
60
86
学以致用
【3】如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连结DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝________°.
35
学以致用
【解析】 如答图，连结OD，OE，OB，OB交ED于点G.
∵∠ACB＝70°，∴∠CAB＋∠CBA＝110°.
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∵OE＝OD，BD＝BE，∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE＝90°，
∴∠AFD＝∠AOB－∠OGF＝125°－90°
＝35°.
学以致用
【4】如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
(1)求证：DE＝BD.
学以致用
解：(1)如答图1，连结BE.
∵E为△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，
BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC.
∴∠CAD＝∠CBD，∴∠BAE＝∠CBD.
∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠CBD＋∠EBC，
∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝DE.
答图1
学以致用
(2)如答图2，连结OB，OC，DC，OD，OD交BC于点F.
∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝DC，∠BOD＝∠COD.
又∵OB＝OC，
答图2
学以致用
∴BD＝10，由(1)知DE＝10.
课堂总结
实际问题
类比
三角形内切圆
三角形外接圆
性质
概念
应用