26.2.2.4 二次函数 y =ax2+bx+c的图象与性质 教案 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 26.2.2.4 二次函数 y =ax2+bx+c的图象与性质 教案 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 945.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-11 17:00:43 | ||
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文档简介
第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质
一、教学目标
1.会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2+k(a≠0)的形式.
2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象性质．
3.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系.
二、教学重难点
重点：会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式.
难点：掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]
[课件展示]回顾二次函数y=a(x-h)2+k的性质:
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
【新知探究】
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
[提出问题]问题1：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？
[师生活动]学生思考问题，想到可以将二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式，但是应如何转化呢？
教师提示：可利用“配方法”.
师生配合写出转化过程:
因此,二次函数y=2x2-4x+5图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,3).
[归纳总结]y=2x2-4x+5 配方 y=2(x-1)2+3
[提出问题]问题2：求二次函数y=ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标.
[交流讨论]小组之间交流讨论，将二次函数y=ax2＋bx＋c配方得：
y=ax +bx+c
（提取二次项系数）
（配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方）
（化简：去掉中括号，前三项化为平方形式，后两项合并同类项）
[归纳总结]一般地，二次函数 y = ax2+bx+c 可以通过配方化成 y =a(x -h)2+k 的形式，即
因此，抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是， 对称轴是直线x= .
[过渡]二次函数 y = ax2+bx+c的图象与性质：
当x<时，y随x的增大而减小；
当x>时，y随x的增大而增大.
当 x =时，函数取最小值，最小值为 .
当x<时，y随x的增大而增大；
当x>时，y随x的增大而减小.
当 x =时，函数取最大值，最大值为.
[课件展示]做一做：如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少
[师生活动]学生思考问题，教师引导，师生配合得出答案:
方法一：将函数y=x2+x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离.
y=x2+x+10=（x2+40x+400）+1=（x+20)2+1
∴这条抛物线的顶点坐标是(-20,1）.
（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
（2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）.
方法二：左边钢缆的函数表达式：y=x2+x+10.
由顶点坐标公式，
得=-20,=1.
∴这条抛物线得顶点坐标是(-20,1）.
（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
（2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）.
[方法总结]将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式:
① 配方法
对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,k)
② 公式法
对称轴：直线x= 顶点坐标：
2.二次函数的图象与系数的关系
[课件展示]问题3：一次函数 y = kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.
问题4：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
[归纳总结]二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的补充性质：
1.关于x轴对称的抛物线解析式为 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c；
2.关于y轴对称的抛物线解析式为y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c；
3.当=0时，顶点在y轴上；
4.当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有两个交点，当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点；
5.当x=1时，抛物线解析式为y=a+b+c；当x=-1时，抛物线解析式为y=a-b+c.
【课堂小结】
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
①二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=，顶点是.
②如果a>0,当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大.
③如果a<0,当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小.
【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.
【布置作业】
【板书设计】
第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
二次函数y=ax2 +bx+c的图象与性质
1.二次函数y=ax2 +bx+c的图象与性质
对称轴：x=，顶点：.
当 a>0时,开口向上，当x<时，x↑，y↓；当x>时，x↑，y↑.
当 a<0时,开口向下，当x<时，x↑，y↑；当x>时，x↑，y↓.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=a(x-h)2+k的图象的关系
y = ax2+bx+c 配方 y =a(x -h)2+k
① 配方法
对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,k)
② 公式法
对称轴：直线x= 顶点坐标：
【教学反思】
本课时主要探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 ，在教学中采用启发式、讨论式结合的教学方法，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，总结二次函数性质. 在教学过程中，注重为学生提供展示自己的机会，这样也利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.
26.2 二次函数的图象与性质
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质
一、教学目标
1.会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2+k(a≠0)的形式.
2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象性质．
3.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系.
二、教学重难点
重点：会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式.
难点：掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]
[课件展示]回顾二次函数y=a(x-h)2+k的性质:
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
【新知探究】
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
[提出问题]问题1：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？
[师生活动]学生思考问题，想到可以将二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式，但是应如何转化呢？
教师提示：可利用“配方法”.
师生配合写出转化过程:
因此,二次函数y=2x2-4x+5图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,3).
[归纳总结]y=2x2-4x+5 配方 y=2(x-1)2+3
[提出问题]问题2：求二次函数y=ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标.
[交流讨论]小组之间交流讨论，将二次函数y=ax2＋bx＋c配方得：
y=ax +bx+c
（提取二次项系数）
（配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方）
（化简：去掉中括号，前三项化为平方形式，后两项合并同类项）
[归纳总结]一般地，二次函数 y = ax2+bx+c 可以通过配方化成 y =a(x -h)2+k 的形式，即
因此，抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是， 对称轴是直线x= .
[过渡]二次函数 y = ax2+bx+c的图象与性质：
当x<时，y随x的增大而减小；
当x>时，y随x的增大而增大.
当 x =时，函数取最小值，最小值为 .
当x<时，y随x的增大而增大；
当x>时，y随x的增大而减小.
当 x =时，函数取最大值，最大值为.
[课件展示]做一做：如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少
[师生活动]学生思考问题，教师引导，师生配合得出答案:
方法一：将函数y=x2+x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离.
y=x2+x+10=（x2+40x+400）+1=（x+20)2+1
∴这条抛物线的顶点坐标是(-20,1）.
（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
（2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）.
方法二：左边钢缆的函数表达式：y=x2+x+10.
由顶点坐标公式，
得=-20,=1.
∴这条抛物线得顶点坐标是(-20,1）.
（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
（2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）.
[方法总结]将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式:
① 配方法
对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,k)
② 公式法
对称轴：直线x= 顶点坐标：
2.二次函数的图象与系数的关系
[课件展示]问题3：一次函数 y = kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.
问题4：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
[归纳总结]二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的补充性质：
1.关于x轴对称的抛物线解析式为 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c；
2.关于y轴对称的抛物线解析式为y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c；
3.当=0时，顶点在y轴上；
4.当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有两个交点，当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点；
5.当x=1时，抛物线解析式为y=a+b+c；当x=-1时，抛物线解析式为y=a-b+c.
【课堂小结】
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
①二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=，顶点是.
②如果a>0,当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大.
③如果a<0,当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小.
【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.
【布置作业】
【板书设计】
第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
二次函数y=ax2 +bx+c的图象与性质
1.二次函数y=ax2 +bx+c的图象与性质
对称轴：x=，顶点：.
当 a>0时,开口向上，当x<时，x↑，y↓；当x>时，x↑，y↑.
当 a<0时,开口向下，当x<时，x↑，y↑；当x>时，x↑，y↓.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=a(x-h)2+k的图象的关系
y = ax2+bx+c 配方 y =a(x -h)2+k
① 配方法
对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,k)
② 公式法
对称轴：直线x= 顶点坐标：
【教学反思】
本课时主要探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 ，在教学中采用启发式、讨论式结合的教学方法，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，总结二次函数性质. 在教学过程中，注重为学生提供展示自己的机会，这样也利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.