26.2.2.1二次函数y=ax2+k的图象与性质 课件(共21张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

(共21张PPT)
第26章　二次函数　
26.2 二次函数的图象与性质 　
华师大版-数学-九年级下册
2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 　
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质 　
学习目标
【重点】理解并掌握二次函数y=ax2+k的图象与性质.二【难点】理解二次函数y=ax2与y=ax2+k之间的联系.
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.理解y=ax 与 y=ax +k之间的联系.
新课导入
回顾二次函数
y=ax 的图象和性质：
y=ax2 （a＞0） （a＜0）
图象
开口 方向
对称性 顶点 最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
思考：有没有其他形式的二次函数？
新知探究
在同一直角坐标系中，画出y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象.
（1）列表
知识点 二次函数y=ax2+k的图象与性质
1
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y = 2x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
（2）描点
（3）连线
新知探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 ；
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________；
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_____________________；
抛物线
向上
y轴
( 0,0)
( 0，1)
( 0,-1)
新知探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，
从上而下最小值分别为_______、_______﹑________；
(6) 函数的增减性都相同：当x＞0时(对称轴右侧)_______________，当x＜0时(对称轴左侧) _____________ _______.
低
小
y=0
y= -1
y=1
y随x增大而增大
y随x增大而减小
新知探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
表达式 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0
向上
y轴
(0,0)
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
当x=0时，
向上
y轴
(0,1)
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
向上
y轴
(0,-1)
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
归纳总结：
新知探究
做一做:在同一直角坐标系中，画出y=x2，y=x2-2 ，y=x2+2的图象.
（1）列表
（2）描点
（3）连线
2
y
-2
-2
4
2
-4
x
O
y=x2
y=x2-2
y=x2+2
抛物线
向下
y轴
( 0,0)
( 0，2)
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为
______、_______﹑________；
(6)函数的增减性都相同：当x＞0(对称轴右侧)时_______________，
当x＜0时(对称轴左侧)____________________.
高
大
y=0
y= -2
y=2
y随x增大而增大
y随x增大而减小
新知探究
( 0,-2)
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 ；
(2)三条抛物线的开口方向_______；
(3)对称轴都是__________；
(4)从上而下顶点坐标分别是___________________；
新知探究
归纳总结：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2 +k(a>0)
y=ax2 +k(a<0)
（0，k）
（0，k）
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
当k>0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当k<0时,与x轴相交(经过一二三四象限).
当k<0时,在x轴的下方(经过三,四象限);当k>0时,与x轴相交(经过一二三四象限).
向上
向下
当x=0时,y的最小值为k.
当x=0时,y的最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
新知探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
观察二次函数 ， 的图象与二次函数 的图象有什么关系？
二次函数y = 2x2向上平移一个单位长度，就得二次函数 y = 2x2+1；向下平移一个单位长度，就得二次函数 y = 2x2-1.
知识点 二次函数y=ax2与y=ax2+k之间的联系
2
新知探究
从数的角度探究：
y=2x2
y=2x2+1
y=2x2-1
+1
-1
(x, )
(x, )
(x, )
2x2-1
2x2
2x2+1
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x … …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
x
2x2
2x2-1
2x2+1
表达式：
点的坐标：
函数对应值表：
新知探究
归纳总结：
二次函数 与 的图象的关系：
二次函数 的图象可以由 的图象平移得到：
当k > 0时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0时,向下平移 -k个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
课堂小结
二次函数y=ax2+k的图象及性质
图象及性质
与 y=ax2的联系
对于抛物线 y = ax 2+k （a＞0）,开口向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为（0，k），
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 +k（a＜0），开口向下，对称轴为 y轴，顶点坐标为（0，k），
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象沿y轴上、下平移得到.k为正向上平移；k为负向下平移.
课堂训练
1.（2023 安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　）
A．y=x2+1 B．y=-x2+1
C．y=2x+1 D．y=-2x+1
D
2. （2023 金山区二模）抛物线y＝ x2+1在y轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．
下降
课堂训练
3．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(　　)
A．最小值为2
B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
C
课堂训练
4. 已知 (m，n) 在 y = ax2 + a (a≠0) 的图象上，则 (-m，n)___ _(填“在”或“不在”) y = ax2 + a (a 不为 0) 的图象上.
5. 若 y = x2 + (k - 2) 的顶点是原点，则 k__ __；若顶点位于 x 轴上方，则 k___ _；若顶点位于 x 轴下方，则 k .
在
= 2
＞2
＜2
课堂训练
6. （2023 凤城模拟）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax与二次函数y=ax2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
C
课堂训练
A
课堂训练
8．二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象经过点A(1，－1)，B(2，5)．
(1)求该函数的表达式；
解：根据题意，得
解得
所以二次函数的表达式为y＝2x2－3.
课堂训练
(2)若点C(－2，m)，D(n，7)也在函数的图象上，求m、n的值．
解：∵点C(－2，m)在函数的图象上，
∴m＝2×(－2)2－3＝5.
∵点D(n，7)在函数的图象上，
∴7＝2n2－3，解得n＝±.