26.2.2.4 二次函数 y =ax2+bx+c的图象与性质 课件(共27张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

(共27张PPT)
第26章　二次函数　
26.2 二次函数的图象与性质 　
华师大版-数学-九年级下册
第4课时 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质 　
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
1.会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方写成y＝a(x－h)2+k(a≠0)的形式.
2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象性质．
3.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系.
【重点】会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k
(a≠0)的形式.
【难点】掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．
新课导入
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
（h，k）
（h，k）
直线x=h
向上
向下
当x=h时,y有最小值为k.
当x=h时, y有最大值为k.
当x当x>h时, y随着x的增大而增大.
直线x=h
当x当x>h时, y随着x的增大而减小.
y=a(x-h)2+k（a<0）
y=a(x-h)2+k（a>0）
二次函数y=a(x-h)2+k的性质:
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
新知探究
问题1：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？
知识点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1
一般式
顶点式
如何转化？
新知探究
二次项系数化为1
不要漏乘括号前系数
化为顶点式
分组，准备配方
配方法：
因此,二次函数y=2x2-4x+5图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,3).
新知探究
y=2x2-4x+5
y=2(x-1)2+3
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=2x2-4x+5
向上
x=1
（1，3）
当x>1时，y随
x的增大而增大；
当x<1时，y随
x的增大而减小
配方
新知探究
问题2：求二次函数y=ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标.
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
化简：去掉中括号，前三项化为平方形式，后两项合并同类项
y=ax +bx+c
新知探究
一般地，二次函数 y = ax2+bx+c 可以通过配方化成 y =a(x -h)2+k 的形式，即
因此，抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是 ，
对称轴是直线 .
新知探究
二次函数 y = ax2+bx+c的图象与性质：
y
O
x
a>0
当x<时，y随x的增大而减小；
当x>时，y随x的增大而增大.
当 x =时，函数取最小值，最小值为
新知探究
二次函数 y = ax2+bx+c的图象与性质：
y
O
x
a<0
当x<时，y随x的增大而增大；
当x>时，y随x的增大而减小.
当 x =时，函数取最大值，最大值为
新知探究
做一做：
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少
y/m
5
-5
O
10
x/m
桥面
新知探究
将函数配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离.
y/m
5
-5
O
10
x/m
桥面
方法一：
∴这条抛物线的顶点坐标是(-20,1）.
新知探究
y/m
5
-5
O
10
x/m
桥面
（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
（2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）.
新知探究
左边钢缆的函数.
由顶点坐标公式,），
得=-20,=1.
∴这条抛物线得顶点坐标是(-20,1）.
y/m
5
-5
O
10
x/m
桥面
方法二：
（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
（2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）.
新知探究
方法总结：
将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式
①配方法
对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,k)
②公式法
对称轴：直线x= 顶点坐标：
新知探究
知识点 二次函数的图象与系数的关系
2
问题3：一次函数 y = kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2
y=k3x+b3
k2 0
b2 ___ 0
k4 ___ 0
b4 ___ 0
＜
＞
＞
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＞
＞
＜
＜
k1 0
b1 ___ 0
y=k4x+b4
新知探究
问题4：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
x
y
O
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
对称轴在y轴左侧，
对称轴在y轴右侧，
x=0时，y=c.
开口向上，a＞0
对称轴在y轴右侧,
新知探究
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，
x=0时，y=c.
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c之间的关系:
项目 字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
归纳总结：
左同右异
新知探究
归纳总结：
1.关于x轴对称的抛物线解析式为 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c；
2.关于y轴对称的抛物线解析式为y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c；
3.当- = 0时，顶点在y轴上；
4.当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有
两个交点，当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点；
5.当x=1时，抛物线解析式为y=a+b+c；当x=-1时，抛物线解析式为
y=a-b+c.
二次函数y=ax2+bx+c的补充性质：
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质
图象
性质
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是 ，顶点是
课堂训练
1. （2023 株洲）如图所示，直线l为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（　　）

A．b恒大于0 B．a,b同号
C．a,b异号 D．以上说法都不对
C
课堂训练
2.（2023 贵州）已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a,b）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D
课堂训练
3. （2023 阜新）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0
B．2a+b=0
C．4ac＞b2
D．点（-2，0）在函数图象上
B
课堂训练
4.（2023 泰安）二次函数y=-x2-3x+4的最大值是 ．
5. （2023 福建）已知抛物线y=ax2-2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n-1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ．
-1＜n＜0
课堂训练
6. （2023 北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t.
（1）若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
课堂训练
解：（1）∵对于x1=1，x2=2，有y1= y2，
∴a+b+c=4a+2b+c.∴3a+b=0.
∴ = -3．∵对称轴为x= - = ,∴t = .
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴＜x1+x2＜，x1＜x2.
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）离对称轴更近.
又∵x1＜x2，∴（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧.
∴＞t,即t≤