26.2.2.5 利用二次函数求最值 课件(共21张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

(共21张PPT)
第26章　二次函数　
26.2 二次函数的图象与性质 　
华师大版-数学-九年级下册
第5课时 利用二次函数求最值 　
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
1.能根据实际问题建立二次函数关系式，并能确定自变量取值范围；
2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
【重点】用二次函数的知识解决实际问题中的最值.
【难点】根据题意正确列出二次函数模型．
新课导入
y=ax2+bx+c a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
当x位于对称轴左侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴右侧时，y随x的增大而增大.
当x位于对称轴右侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴左侧时，y随x的增大而增大.
直线
直线
温故知新
新课导入
做一做
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4.
解：(1) 开口方向：向上；对称轴：x = 2；
顶点坐标：(2，-9).
(2) 开口方向：向下；对称轴：x = ；
顶点坐标：( ， ).
新课导入
2.二次函数y=ax +bx+c(a≠0）图象如图,下列正确的个数为（ ）.
①bc＞0；② 2a－3c＜0；③ 2a+b＞0；
④ax +bx+c=0有两个解x1, x2,当x1＞x2时,x1＞0,x2＜0 ；
⑤a+b+c＞0；
⑥当x＞1，y随x增大而减小.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
a＞0,
b<0,
c<0
√
×
√
√
√
×
新知探究
知识点 求二次函数的最大（或最小）值
1
问题1：二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
新知探究
填空：
2.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)：
1.对于二次函数y = a(x – h )2 + k(a≠0)：
若a＞0,则当x= 时,y取最 值,最 值为 ；
若a＜0,则当x= 时,y取最 值,最 值为 .
若a＞0,则当x= 时,y取最 值,最 值为 ；
若a＜0,则当x= 时,y取最 值,最 值为 .
h
大
k
大
h
小
小
k
大
大
小
小
新知探究
思考：当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
新知探究
问题2：求下列函数的最大值与最小值：
x
O
y
解：
-3
1
(1)
∴ 当 时，有
当 时，有
新知探究
解：
O
x
y
1
-3
(2)
∴ 当 x = -3 时，有
∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小.
当 x = 1 时，有
新知探究
方法归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1. 配方，求出二次函数的顶点坐标及对称轴；
2. 画出函数图象，标明对称轴，并在 x 轴上标明 x 的取值范围；
3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质及图象，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值，然后根据 x 的值，求出最值.
新知探究
知识点 实际应用题中的最值问题
2
例1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？
A
C
B
D
解：设AB的长为xm，矩形的面积为ym2.（0-2(x-5)2+50.则当x=50时，此时BC=10时，函数取得最大值，最大面积为50m2.
新知探究
例2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品每件每降价0.1元，每天的销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？
解：设每件商品降价x元（0≤x≤2），销售该商品每天的利润为y元.依题意得y=(10-x-8)(100+100x)= -100x2+100x+200.（0≤x≤2）
请同学们自己完成这个问题的解答.
新知探究
例3：用长为6m的铝合金型材做一个形状如图的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
新知探究
解：设矩形窗框的宽为xm，则高为（x>0，>0）故0配方得y=（x1）2+，所以当x=1时，
函数取得最大值，最大值y=1.5.
因此，所做矩形窗框的宽为1m、
高为1.5m时，它的透光面积最大，
最大面积是1.5m2.
新知探究
二次函数解决实际最值问题的步骤
1.实际问题函数化：自变量选取的方法通常不是唯一的，以直接决定和影响其它因素变化的量作为自变量x，用自变量x表示出其他量y便得到函数关系式；
2.求出函数解析式和自变量的取值范围；
3.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,但是一定要注意顶点坐标是否符合自变量的取值范围.
课堂小结
利用二次函数求最值
二次函数的最大（或最小）值
实际应用
当x= 时,y取最大（或最小）值,最大（或最小）值为
实际问题函数化，求出函数值解析式和自变量的取值范围，根据画图或公式求出最值
课堂训练
1.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量`的取值范围；
(2)请设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.
解:(1)设矩形一边长为x m，则另一边长为(6－x) m，
∴ S=x(6－x)=－x2+6x，其中0＜x<6.
(2)S=－x2+6x=－(x－3)2+9，
∴当x=3时,即矩形的一边长为3m时,矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000(元).
∵ 0＜x<6，
课堂训练
2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.
则 y=(x+30－20)(400－20x)
=－20x2+200x+4000=－20(x－5)2+4500.
∵x＞0， ∴0＜x＜20，400-2x＞0.
∵ x=5时，满足0＜x ＜20,
∴当x=5时，y最大值 =4500.
答：售价提高5元时，半月内获最大利润4500元.
课堂训练
3.如图1，在△ABC 中， ∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移动(不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，四边形
APQC 的面积最小.
3
A
B
C
P
Q