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第5章《一次函数》培优训练精选试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的是
A．①⑤ B．①④⑤ C．②⑤ D．②④⑤
2．（3分）下列图象中，表示是的函数的是
A． B．
C． D．
3．（3分）若函数是正比例函数，则的值是
A． B． C． D．
4．（3分）关于一次函数，下列说法正确的是
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
5．（3分）已知点，，，都在函数的图象上，下列对于与的关系判断正确的是
A． B． C． D．
6．（3分）已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
7．（3分）如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为
A． B．1 C． D．2
8．（3分）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为
A． B． C． D．
9．（3分）如图①，在中，，，点是边的中点，点从点出发，沿着运动，到达点停止．设点的运动路径长为，连，记的面积为，若表示与函数关系的图象如图②所示，则的周长为
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为，
③当时，；
④方程的解为；
⑤不等式的解集是．
其中结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知函数是正比例函数，则 ．
12．（3分）点在一次函数的图象上，则的值为 ．
13．（3分）一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度（米随飞行时间（秒的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为 米．
14．（3分）若点，都在一次函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ．
15．（3分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，若点是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．
16．（3分）已知，直线与轴交于点，与轴交于点，若坐标平面内有点满足与全等（点除外），则点的坐标可以是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知与之间成正比例关系，且当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
18．（8分）设一次函数，为常数，的图象过，两点．
（1）求该函数表达式；
（2）若点在该函数图象上，求的值；
（3）设点在轴上，若，求点的坐标．
19．（8分）如图，直线和直线相交于点．
（1）求的值；
（2）观察图象，直接写出关于，的方程组的解．
20．（8分）某商店销售，两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如表：
型号
进价（元只） 1200 2000
售价（元只） 1800 2500
该商场购进，两种型号智能手表共60只．
（1）若该商场计划用8.4万元购进，两种型号智能手表，求购进，两种型号智能手表各多少只？
（2）若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求的值和一次函数的表达式；
（2）若点是轴上一点，且，求点的坐标．
22．（10分）如图，在长方形中，，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止，点出发时的速度为每秒，秒时点的速度变为每秒，图②是点出发秒后，△的面积与（秒的函数图象．
（1）根据题目中提供的信息，请直接写出，，，的值；
（2）设点运动的路程为，请写出点出发后，与的函数表达式；
（3）当点出发几秒后，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点．
（1）求直线的解析式．
（2）若，求点的坐标．
（3）已知点在线段上，连结、、．
①若与全等，求线段的长；
②在、的运动过程中，的最小值为 （直接写出答案）．
24．（12分）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，过点作交于，交轴于点．且．
（1）求点坐标为 ；线段的长为 ；
（2）确定直线解析式，求出点坐标；
（3）如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接．
①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，直接写出结论；
②当面积最小时，求点的坐标和面积．中小学教育资源及组卷应用平台
第5章《一次函数》培优训练精选试题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D A A A B A C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的是
A．①⑤ B．①④⑤ C．②⑤ D．②④⑤
【思路点拔】由一次函数的表示式为，选项中符合表达式形式的即为所求．
【解答】解：①是一次函数，故符合题意；
②不是一次函数，故不符合题意；
③不是一次函数，故不符合题意；
④是一次函数，故符合题意；
⑤是一次函数，故符合题意；
综上所述，①④⑤是一次函数，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，能够准确判断一次函数是解题的关键．
2．（3分）下列图象中，表示是的函数的是
A． B．
C． D．
【思路点拔】在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断．
【解答】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，
因此，选项中的图象，表示是的函数，故符合题意；
选项、、中的图象，不表示是的函数，故、、不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
3．（3分）若函数是正比例函数，则的值是
A． B． C． D．
【思路点拔】根据正比例函数的定义得出且，再求出即可．
【解答】解：函数是正比例函数，
且，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数，叫一次函数，当时，函数叫正比例函数．
4．（3分）关于一次函数，下列说法正确的是
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
【思路点拔】根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可．
【解答】解：、当时，，
一次函数的图象经过点，选项错误，不符合题意；
、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项错误，不合题意
、，
随的增大而减小，选项错误，不符合题意；
、，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5．（3分）已知点，，，都在函数的图象上，下列对于与的关系判断正确的是
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意将，两点代入一次函数解析式化简得到，的关系式即可得解．
【解答】解：将点，，，代入得：
，，
解得：，
则，即，
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点坐标的求解及整式的化简，熟练掌握一次函数点的求法及整式的计算法则是解决本题的关键．
6．（3分）已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【思路点拔】根据一次函数图象的特征来判断．
【解答】解：，
随的增大而减小，
又，
，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键根据的值来进行判断．
7．（3分）如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为
A． B．1 C． D．2
【思路点拔】根据一次函数与轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答．
【解答】解：直线与轴交点的横坐标为，
关于的方程的解为，
方程整理得，
关于的方程的解为，
故选：．
【点评】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解是解题关键．
8．（3分）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【思路点拔】观察函数图象，写出一次函数图象在轴下方（含与轴的交点）所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：由图象可得，当时，，
即，
所以不等式的解集为．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合得到不等式的解集．
9．（3分）如图①，在中，，，点是边的中点，点从点出发，沿着运动，到达点停止．设点的运动路径长为，连，记的面积为，若表示与函数关系的图象如图②所示，则的周长为
A． B． C． D．
【思路点拔】由图象可知：面积最大时，等于，再根据三角形的面积计算公式可得关于的方程，解得的长，最后根据三角形三边关系可得和的长．
【解答】解：在中，，，
，，
由图象可知：面积最大时，，
，
解得（负值舍去），
，，
的周长为，
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角形的面积计算公式与勾股定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为，
③当时，；
④方程的解为；
⑤不等式的解集是．
其中结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解答．
【解答】解：由图象可知一次函数，的值随着值的增大而减小；
故①错误；
由图象可知：一次函数与的图象相交点，
方程组的解为，
故②正确；
由图象可知：一次函数与轴的交点为，
当时，，
故③错误；
由图象可知：一次函数与轴的交点为，
方程的解为，
故④正确；
由图象可知：一次函数图象在的图象下方的时，
故⑤正确；
正确的有3个；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知函数是正比例函数，则 ．
【思路点拔】由正比例函数的定义可得，且．
【解答】解：由正比例函数的定义可得：，且，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1．
12．（3分）点在一次函数的图象上，则的值为 ．
【思路点拔】利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值．
【解答】解：点在一次函数的图象上，
，
的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
13．（3分）一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度（米随飞行时间（秒的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为 8 米．
【思路点拔】根据函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即可得出答案．
【解答】解：观察图象，当时，最高点，
当或时，最低点，
最高高度与最低高度的差为，
故答案为：8．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度，最低高度是解题的关键．
14．（3分）若点，都在一次函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ．
【思路点拔】根据自变量的值和函数值的大小，来确定一次函数中的值，即可求出答案．
【解答】解：，且，
，
即，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数图象的增减性来解答．
15．（3分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，若点是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．
【思路点拔】判断出时，最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：由得，
，
由一次函数，令，解得，
，
，，
当时，最小，
此时，
，
为，
故答案为：．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了两条直线相交问题，三角形的 面积公式，两点间距离公式，求出交点坐标是解本题的关键．
16．（3分）已知，直线与轴交于点，与轴交于点，若坐标平面内有点满足与全等（点除外），则点的坐标可以是 ，或或， ．
【思路点拔】令和即可求出点，的坐标，设出点的坐标，表示出，，分两种情况建立方程即可得出结论．
【解答】解：令，则，
，
令，则，
，
，
，，，
设，
，，
，，
与全等，可分两种情况：
①当时，如图：
，，
，
解得（舍去）或，
，；
②当时，如图：
，，
，
解得或，
或，，
综上所述，满足条件的点，或或，，
故答案为：，或或，．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，涉及全等三角形的性质，分类讨论的思想，方程思想等，解题的关键是列出关于、的方程解决问题．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知与之间成正比例关系，且当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
【思路点拔】（1）根据正比例函数的特点设，把，代入求解即可．
（2）把代入函数解析式中求解．
【解答】解（1）设，把，代入，
得，
所以．
（2）把代入，
得．
【点评】本题考查了用待定系数法求解正比例函数解析式，正确解设正比例函数解析式是解题的关键．
18．（8分）设一次函数，为常数，的图象过，两点．
（1）求该函数表达式；
（2）若点在该函数图象上，求的值；
（3）设点在轴上，若，求点的坐标．
【思路点拔】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）把代入得，然后解关于的方程即可；
（3）直线与轴交于点，如图，则，设，利用三角形面积公式得到，然后解关于的方程得到点坐标．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）把代入得，
解得，
即的值为3；
（3）直线与轴交于点，如图，则，
设，
，
，
解得或，
点坐标为或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
19．（8分）如图，直线和直线相交于点．
（1）求的值；
（2）观察图象，直接写出关于，的方程组的解．
【思路点拔】（1）把代入，即可求得的值；
（2）两条直线的交点坐标即为方程组的解．
【解答】解：（1）把代入，得，
解得；
（2）关于，的方程组的解为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数与方程组的关系是解题的关键．
20．（8分）某商店销售，两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如表：
型号
进价（元只） 1200 2000
售价（元只） 1800 2500
该商场购进，两种型号智能手表共60只．
（1）若该商场计划用8.4万元购进，两种型号智能手表，求购进，两种型号智能手表各多少只？
（2）若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？
【思路点拔】（1）设购进种型号智能手表只，则购进种型号智能手表只，根据“该商场计划用8.4万元购进，两种型号智能手表，”建立方程求解，即可解题；
（2）设购进种型号智能手表只，则购进种型号智能手表只，根据题意建立不等式求解，得到的取值范围，再根据题意表示出利润，结合的取值范围求解，即可解题．
【解答】解：（1）设购进种只，则购进种只，
，
解得，
（只，
答：购进种型号智能手表45只，则购进种型号智能手表15只；
（2）设购进种只，则购进种只，
由题意可得：，
解得，
型号的智能手表不得超过44只．
，
，
利润，
，
根据式子可知，当取值越大，利润越大，
当时，利润最大为（元，
（只，
答：该商店应进型号的智能手表44只，种型号智能手表16只，才能使得获利最大，最大利润是34400元．
【点评】本题考查一元一次方程的运用，一元一次不等式的实际运用，一次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立等量或不等关系求解．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求的值和一次函数的表达式；
（2）若点是轴上一点，且，求点的坐标．
【思路点拔】（1）将点代入可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）由可求得的坐标，即可利用三角形面积求得，根据得到，解得，进而即可求得的坐标．
【解答】解：（1）将点代入，
，
，
，
将，代入一次函数的解析式为得：
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
，即，
，
点的坐标为或．
【点评】此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解．计算面积时，要注意到点坐标的数值可作为三角形的一条高．
22．（10分）如图，在长方形中，，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止，点出发时的速度为每秒，秒时点的速度变为每秒，图②是点出发秒后，△的面积与（秒的函数图象．
（1）根据题目中提供的信息，请直接写出，，，的值；
（2）设点运动的路程为，请写出点出发后，与的函数表达式；
（3）当点出发几秒后，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
【思路点拔】（1）当，则，得到；当时，，得到，进而求解；
（2）当时，，当时，，即可求解；
（3）当时，则点，由点、、的坐标得，，，，当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解；当时，同理可解．
【解答】解：（1）当，则，
解得：；
当时，，
则；
点在上移动的时间为：，
则；
点在上移动的时间为：，
则；
（2）当时，，
当时，，
即；
（3）建立如下的坐标系，则点、、的坐标分别为：、、，
当时，则点，
由点、、的坐标得，，，，
当时，即，解得：（舍去），
当或时，即或，
解得：（不合题意的值已舍去），
即；
当时，则点，
由点、、的坐标得，，，，
当时，即，解得：，
即；
当或时，
同理可得：（不合题意的值已舍去），
即，
综上，或或秒后，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到勾股定理的运用，读懂函数图象和分类求解是解题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点．
（1）求直线的解析式．
（2）若，求点的坐标．
（3）已知点在线段上，连结、、．
①若与全等，求线段的长；
②在、的运动过程中，的最小值为 （直接写出答案）．
【思路点拔】（1）把点代入直线得，设直线解析式为，代入得，故直线的解析式为．
（2）设，当在延长线上时，，再计算即可．当在线段上时，，再计算即可．
（3）①当时，得为中位线，故．当时，得四边形是平行四边形，由平移得直线解析式为，直线解析式为，联立得，，，，故．
②过作的对称点，过作，连，此时最小．由，得，，再利用△，得，，故，，，，由等腰△得，再计算即可．
【解答】解：（1）点在直线上，
，
，
，
，
设直线解析式为，
，
，
直线的解析式为．
（2）设，
当在延长线上时，
，
，
，
，
．
当在线段上时，
，
，
，
，
．
答：坐标为或．
（3）①当时，
，
，
，
，
，
，
，
为中位线，
．
②当时，
，且，
四边形是平行四边形，
，，
直线解析式为，
向右平移两个长度单位为直线解析式：，
同理，直线解析式为：，
联立得，，
同理：，，
．
答：线段的长为4或．
②过作的对称点，过作，连，
此时最小．
过作轴．
，
，
，
，
，
，
△，
，
，
，，
，，
的纵坐标，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数综合题的知识，掌握一次函数的性质是解题关键．
24．（12分）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，过点作交于，交轴于点．且．
（1）求点坐标为 ；线段的长为 ；
（2）确定直线解析式，求出点坐标；
（3）如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接．
①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，直接写出结论；
②当面积最小时，求点的坐标和面积．
【思路点拔】（1）根据直线交坐标轴于、两点，点在轴上，点在轴上，可以求得点的坐标和的长；
（2）根据，可以得到，再根据点的坐标可以的大点的坐标即可求得直线的解析式，然后与直线联立方程组，即可求得点的坐标；
（3）①根据题目中的条件，可以证明，即可得到和的数量关系；
②要求面积最小值，由，，可知当取得最小值时即可，当时，取得最小值，然后根据勾股定理和等积法可以求得的长，即可求得点的坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）直线交坐标轴于、两点，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
；
故答案为：，3；
（2）过点作交于，交轴于点．且（已知），
，，，
点，
，
，
点的坐标为，
设过点，点的直线解析式为，代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
即直线的解析式为，
由，得，
即点的坐标为，；
（3）①线段与数量关系是保持不变，
证明：，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即线段与数量关系是保持不变；
②由①知，
，
面积是：，
当取得最小值时，面积取得最小值，
，，，
，
当时，取得最小值，
，
，
解得，，
面积取得最小值是：，
当取得最小值时，设此时点的坐标为，
解得，，
，
点的坐标为，，
由上可得，当面积最小时，点的坐标是，和面积是．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
