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第6章《图形的初步知识》培优训练试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“力旺杯”足球赛在我校顺利进行，九年1班的足球队争得了冠军，如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是
A．球体 B．圆柱体 C．长方体 D．四棱锥
2．（3分）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3．（3分）如图，货船与港口相距40海里，港口相对货船的位置可描述为
A．南偏西方向，相距40海里处
B．北偏西方向，相距40海里处
C．北偏东方向，相距40海里处
D．北偏东方向，相距40海里处
4．（3分）如图，、分别平分、，，则
A． B． C． D．
5．（3分）点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为
A． B． C．或 D．不能确定
6．（3分）如图，，，平分，则的度数是
A． B． C． D．
7．（3分）将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为
A． B． C． D．
8．（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是
A． B．
C． D．
9．（3分）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则
A． B． C． D．
10．（3分）在直线上任取一点，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为
A． B． C．或 D．或
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个角的余角加上后，等于这个角的补角的倍，则这个角度数为 度．
12．（3分）小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），的钟面角为 度．
13．（3分）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么 ．
14．（3分）如图，点，在线段上，已知，，，则线段长为 ．
15．（3分）已知和是共顶点的两个角，的边始终在的内部，并且的边把分为的两个角，若，，则的度数是 ．
16．（3分）已知，，，则的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
18．（8分）如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
（1）画直线；
（2）画射线；
（3）连接并延长到，使得；
（4）在线段上取点，使的值最小．
19．（8分）已知角，都是锐角，是钝角．
（1）在计算的度数时有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，根据以上信息，求的值；
（2）在（1）的情况下，若锐角比锐角小，是的两倍，求的补角的度数．
20．（8分）如图1，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部．
（1）如图2，若，求和的度数．
（2）若．
①和有什么关系？请说明理由．
②当时，求的度数．
21．（8分）已知：如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点，
（1）若线段，，，求的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段的长；
（3）如图2，若，，求线段的长．
22．（10分）某工厂生产的边长为1米的正方形装饰材料如图所示，点在上，点是的中点，、和四边形分别由Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种材料制成．
（1）设，请用含的代数式分别表示和的面积；
（2）已知1型、Ⅱ型、Ⅲ型三种材料每平方米的价格分别为50元、100元和40元，若要求制成这样一块装饰材料的成本为50元，求点的位置；
（3）由于市场变化，1型材料和Ⅱ型材料每平方米的价格变为70元和80元，Ⅲ型材料的价格不变，现仍要生产（2）中式样的装饰材料，则每块的成本将有何变化？变化多少元？
23．（10分）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且
（1）若，求的长．
（2）当在线段的延长线上时，如图②所示，若点，分别是线段，的中点，求的长．
（3）当运动到某一时刻，使得点与点重合时，若点是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
24．（12分）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．
（1）若， ；若，则 ；并猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
（2）如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系，请说明理由；
（3）已知，（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的大小相等的关系（用含有，的式子表示）．
第6章《图形的初步知识》培优训练试题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A C A D A D C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“力旺杯”足球赛在我校顺利进行，九年1班的足球队争得了冠军，如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是
A．球体 B．圆柱体 C．长方体 D．四棱锥
【思路点拔】根据常见几何体解答即可．
【解答】解：如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是圆柱体．
故选：．
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，找出各立体图形的表面包含的平面图形是解题的关键
2．（3分）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【思路点拔】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
故选：．
【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
3．（3分）如图，货船与港口相距40海里，港口相对货船的位置可描述为
A．南偏西方向，相距40海里处
B．北偏西方向，相距40海里处
C．北偏东方向，相距40海里处
D．北偏东方向，相距40海里处
【思路点拔】根据方向角的概念即可解答．
【解答】解：根据图形可知：位置可描述为南偏西方向，相距40海里处．
故选：．
【点评】本题主要考查的是方向角，掌握方向角的概念是关键．
4．（3分）如图，、分别平分、，，则
A． B． C． D．
【思路点拔】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后整理求出．
【解答】解：、分别平分、，
，，
由三角形的外角性质得，，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用．
5．（3分）点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为
A． B． C．或 D．不能确定
【思路点拔】根据线段中点的性质推出，，结合题意可分点在点左侧和点在点右侧两种情况进行讨论，进而根据线段之间的和差关系进行求解即可．
【解答】解：，，为中点，为中点，
，，
当点在点左侧时，
；
当点在点右侧时，
，
综上，的长度为或．
故选：．
【点评】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据线段中点的性推出，，并结合题意分类讨论（当点在点左侧时和当点在点右侧时），也可以作出图形进行求解．
6．（3分）如图，，，平分，则的度数是
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意：因为平分，可以先求，再求，利用角的和差关系求的度数．
【解答】解：，，
，
平分，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了垂线和角平分线的定义，难度较小．
7．（3分）将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为
A． B． C． D．
【思路点拔】先由折叠性质得，，再根据得，由此可得的度数．
【解答】解：由折叠性质得：，，
，，
，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了角的计算，图形的折叠及其性质，熟练掌握角的计算，理解图形的折叠及其性质是解决问题的关键．
8．（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据图形，结合互余的定义判断即可．余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
【解答】解：、与互余，故本选项符合题意；
、，但与不一定互余，故本选项不合题意；
、，但与不互余，故本选项不合题意；
、与不互余，和互补，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
9．（3分）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则
A． B． C． D．
【思路点拔】分两种情况如图①所示，当时，根据角平分线的定义得，，根据，得，再根据已知条件与互补，得，进而得；
如图②所示，当时，根据角平分线的定义得，，根据，得，再根据已知条件与互补，得，进而得．
【解答】解：①如图①所示，当时，
，分别为，的平分线，
，，
，
，
与互补，
，
，
；
②如图②所示，当时，
，分别为，的平分线，
，，
，
，
与互补，
，
，
，
综上所述：或，；
故选：．
【点评】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，掌握余角和补角、角平分线的定义的综合应用，分两种情况是解题关键．
10．（3分）在直线上任取一点，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为
A． B． C．或 D．或
【思路点拔】画出图形，得出两种情况，分别求出和长，即可求出答案．
【解答】解：①，在点同侧时如图，
是的中点，是的中点，
，，
．
②，在点两侧时如图，
是的中点，是的中点，
，，
．
综上：与之间距离为或，
故选：．
【点评】本题考查了求两点之间距离的应用，注意要进行分类讨论．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个角的余角加上后，等于这个角的补角的倍，则这个角度数为 60 度．
【思路点拔】利用题中的“一个角的余角这个角的补角的”作为相等关系列方程求解．
【解答】解：设这个角的度数是，
则，
解得．
这个角的度数为．
故答案为：60
【点评】主要考查了余角和补角的概念以及运用．解此题的关键是熟悉互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为．
12．（3分）小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），的钟面角为 22.5 度．
【思路点拔】根据钟面上一大格是，时针1分钟转，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
故答案为：22.5．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握钟面上一大格是，时针1分钟转是解题的关键．
13．（3分）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么 ．
【思路点拔】首先计算出的度数，再计算的度数即可．
【解答】解：由题意得：，，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
14．（3分）如图，点，在线段上，已知，，，则线段长为 2 ．
【思路点拔】根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查线段的和差，正确地识别图形是解题的关键．
15．（3分）已知和是共顶点的两个角，的边始终在的内部，并且的边把分为的两个角，若，，则的度数是 或或 ．
【思路点拔】根据角的和差和角的倍分关系即可得到结论．
【解答】解：如图1，，，把分为的两个角，
，
；
如图2，
，，把分为的两个角，
，
；
如图3，，，把分为的两个角，
，
；
如图4，
，，把分为的两个角，
，
；
综上所述，的度数是或或．
故答案为：或或．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和、差、倍分关系是解题的关键．
16．（3分）已知，，，则的度数为 或或 ．
【思路点拔】根据题意，可以分四种情况画图讨论计算．
【解答】解：（1）如图1所示：
当射线在的内部时，①若射线在内部，
设，则，
，
，
，
，
，
，
②如图2所示，若射线在外部，
设，则，，
，
，
，
．
；
（2）当射线在外部时，根据题意，此时射线靠近射线，
，，
射线的位置也只有两种可能；
①若射线在内部，如图3所示，
，
设，则，
，
，
，
，
；
②若射线在外部，如图4所示，
设，则，
，
，
，
，
解得，
此种情况不符合题意，
综上所述：的度数为：，，．
【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分四种情况讨论．比较复杂，不容易做对．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【思路点拔】（1）根据角平分线定义得到，然后根据对顶角相等得到；
（2）先设，，根据平角的定义得，解得，则，然后与（1）的计算方法一样．
【解答】解：（1）平分，
，
；
（2）设，，根据题意得，解得，
，
，
．
【点评】考查了角的计算：1直角；1平角．也考查了角平分线的定义和对顶角的性质．
18．（8分）如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
（1）画直线；
（2）画射线；
（3）连接并延长到，使得；
（4）在线段上取点，使的值最小．
【思路点拔】根据直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短画图即可．
【解答】解：如图所画：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【点评】本题考查的是直线、射线、线段的概念和画法，掌握直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短是解题的关键．
19．（8分）已知角，都是锐角，是钝角．
（1）在计算的度数时有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，根据以上信息，求的值；
（2）在（1）的情况下，若锐角比锐角小，是的两倍，求的补角的度数．
【思路点拔】分别计算，，，则、、三个数值其中一个是、、三个角的和，由于三角中，有两个锐角，一个钝角，根据锐角和钝角的定义知，，所以是正确的．
【解答】解：（1）、、中有两个锐角和一个钝角，
，，，
，
，，，
．
答：的值是；
（2）设为，则为，为，
解得：
，
．
答：的补角的度数为．
【点评】考查了角的计算，解决本题的关键是准确掌握锐角、钝角的概念，锐角是大于0度小于90度的角，直角是等于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角．
20．（8分）如图1，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部．
（1）如图2，若，求和的度数．
（2）若．
①和有什么关系？请说明理由．
②当时，求的度数．
【思路点拔】（1）根据题意可得：，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（2）①根据题意可得：，然后利用角的和差关系可得，进行计算即可解答；
②利用①的结论，进行计算可求出，然后再利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
，
，
，，
的度数为，的度数为；
（2）①，
理由：，
，
；
②，，
，
，
，
，
的度数为．
【点评】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21．（8分）已知：如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点，
（1）若线段，，，求的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段的长；
（3）如图2，若，，求线段的长．
【思路点拔】（1）由，根据非负数的性质即可推出、的值，代入计算即可；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出和的长度，根据图形即可推出，然后由，即可推出的长度，由为的中点，即可推出的长度；
（3）首先设，根据线段中点的性质推出、关于的表达式，即，由图形推出，即可得方程：，通过解方程推出，即，最后由，即可求出的长度．
【解答】解：（1），
，，
，，
；
（2）点为线段的中点，，，
，
，
点为线段的中点，
，
（3）设，则，
点为线段的中点，
，
，
，
，
解方程得：，即，
，为中点，
，
．
【点评】本题主要考查线段中点的性质，解题的关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．
22．（10分）某工厂生产的边长为1米的正方形装饰材料如图所示，点在上，点是的中点，、和四边形分别由Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种材料制成．
（1）设，请用含的代数式分别表示和的面积；
（2）已知1型、Ⅱ型、Ⅲ型三种材料每平方米的价格分别为50元、100元和40元，若要求制成这样一块装饰材料的成本为50元，求点的位置；
（3）由于市场变化，1型材料和Ⅱ型材料每平方米的价格变为70元和80元，Ⅲ型材料的价格不变，现仍要生产（2）中式样的装饰材料，则每块的成本将有何变化？变化多少元？
【思路点拔】（1）根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）用单价乘以面积，然后把三部分价格相加等于成本50元，列出方程求解即可；
（3）把各部分的单价乘以相应的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1），
；
（2）Ⅲ型材料的面积为，
所以，，
解得，
点在的中点处；
（3）
元．
【点评】本题考查了列代数式，主要利用了直角三角形的面积公式，难点在于表示出材料Ⅲ所占的面积．
23．（10分）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且
（1）若，求的长．
（2）当在线段的延长线上时，如图②所示，若点，分别是线段，的中点，求的长．
（3）当运动到某一时刻，使得点与点重合时，若点是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
【思路点拔】先根据非负数的性质求出，，则，．
（1）若，则有以下两种情况，①当点在点的左侧时，则，根据可得的长；②当点在点的右侧时，根据可得的长；
（2）设，则，根据线段中点定义得，，，从而得，由此可得的长；
（3）设，根据点与点重合，点在点的左侧得点在线段上，再根据点在线段的延长线上画出图形，结合图形得，，则，据此可得出结论．
【解答】解：，，，
，，
解得：，，
，，
（1）若，则有以下两种情况，
①当点在点的左侧时，如图1①所示：
，，，
，
；
②当点在点的右侧时，如图1②所示：
，，，
；
综上所述：线段的长为17或25．
（2）设，如图2所示：
，
点，分别是线段，的中点，
，，
，
；
（3）为定值，理由如下：
设，
点与点重合，点在点的左侧，
点在线段上，
又点在线段的延长线上，如图3所示：
，，
，
．
【点评】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．
24．（12分）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．
（1）若， ；若，则 ；并猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
（2）如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系，请说明理由；
（3）已知，（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的大小相等的关系（用含有，的式子表示）．
【思路点拔】（1）若，根据计算的度数，再计算的度数；若，同理，反之计算可得结果；先计算，再加上可得与的关系；
（2）先计算，再加上可得结果；
（3）先计算，再加上可得结果．
【解答】解：（1）若，
，，
，
，
；
若，
，
，
，
，
故答案为：；；
，
理由：，
；
（2），
理由：，
；
（3），
理由：，
．
【点评】本题考查了余角和补角，熟知如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，注意角的和与差．中小学教育资源及组卷应用平台
第6章《图形的初步知识》培优训练试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“力旺杯”足球赛在我校顺利进行，九年1班的足球队争得了冠军，如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是
A．球体 B．圆柱体 C．长方体 D．四棱锥
2．（3分）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3．（3分）如图，货船与港口相距40海里，港口相对货船的位置可描述为
A．南偏西方向，相距40海里处
B．北偏西方向，相距40海里处
C．北偏东方向，相距40海里处
D．北偏东方向，相距40海里处
4．（3分）如图，、分别平分、，，则
A． B． C． D．
5．（3分）点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为
A． B． C．或 D．不能确定
6．（3分）如图，，，平分，则的度数是
A． B． C． D．
7．（3分）将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为
A． B． C． D．
8．（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是
A． B．
C． D．
9．（3分）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则
A． B． C． D．
10．（3分）在直线上任取一点，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为
A． B． C．或 D．或
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个角的余角加上后，等于这个角的补角的倍，则这个角度数为 度．
12．（3分）小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），的钟面角为 度．
13．（3分）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么 ．
14．（3分）如图，点，在线段上，已知，，，则线段长为 ．
15．（3分）已知和是共顶点的两个角，的边始终在的内部，并且的边把分为的两个角，若，，则的度数是 ．
16．（3分）已知，，，则的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
18．（8分）如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
（1）画直线；
（2）画射线；
（3）连接并延长到，使得；
（4）在线段上取点，使的值最小．
19．（8分）已知角，都是锐角，是钝角．
（1）在计算的度数时有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，根据以上信息，求的值；
（2）在（1）的情况下，若锐角比锐角小，是的两倍，求的补角的度数．
20．（8分）如图1，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部．
（1）如图2，若，求和的度数．
（2）若．
①和有什么关系？请说明理由．
②当时，求的度数．
21．（8分）已知：如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点，
（1）若线段，，，求的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段的长；
（3）如图2，若，，求线段的长．
22．（10分）某工厂生产的边长为1米的正方形装饰材料如图所示，点在上，点是的中点，、和四边形分别由Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种材料制成．
（1）设，请用含的代数式分别表示和的面积；
（2）已知1型、Ⅱ型、Ⅲ型三种材料每平方米的价格分别为50元、100元和40元，若要求制成这样一块装饰材料的成本为50元，求点的位置；
（3）由于市场变化，1型材料和Ⅱ型材料每平方米的价格变为70元和80元，Ⅲ型材料的价格不变，现仍要生产（2）中式样的装饰材料，则每块的成本将有何变化？变化多少元？
23．（10分）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且
（1）若，求的长．
（2）当在线段的延长线上时，如图②所示，若点，分别是线段，的中点，求的长．
（3）当运动到某一时刻，使得点与点重合时，若点是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
24．（12分）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．
（1）若， ；若，则 ；并猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
（2）如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系，请说明理由；
（3）已知，（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的大小相等的关系（用含有，的式子表示）．
第6章《图形的初步知识》培优训练试题
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A C A D A D C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“力旺杯”足球赛在我校顺利进行，九年1班的足球队争得了冠军，如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是
A．球体 B．圆柱体 C．长方体 D．四棱锥
【分析】根据常见几何体解答即可．
【解答】解：如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是圆柱体．
故选：．
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，找出各立体图形的表面包含的平面图形是解题的关键
2．（3分）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
故选：．
【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
3．（3分）如图，货船与港口相距40海里，港口相对货船的位置可描述为
A．南偏西方向，相距40海里处
B．北偏西方向，相距40海里处
C．北偏东方向，相距40海里处
D．北偏东方向，相距40海里处
【分析】根据方向角的概念即可解答．
【解答】解：根据图形可知：位置可描述为南偏西方向，相距40海里处．
故选：．
【点评】本题主要考查的是方向角，掌握方向角的概念是关键．
4．（3分）如图，、分别平分、，，则
A． B． C． D．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后整理求出．
【解答】解：、分别平分、，
，，
由三角形的外角性质得，，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用．
5．（3分）点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为
A． B． C．或 D．不能确定
【分析】根据线段中点的性质推出，，结合题意可分点在点左侧和点在点右侧两种情况进行讨论，进而根据线段之间的和差关系进行求解即可．
【解答】解：，，为中点，为中点，
，，
当点在点左侧时，
；
当点在点右侧时，
，
综上，的长度为或．
故选：．
【点评】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据线段中点的性推出，，并结合题意分类讨论（当点在点左侧时和当点在点右侧时），也可以作出图形进行求解．
6．（3分）如图，，，平分，则的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据题意：因为平分，可以先求，再求，利用角的和差关系求的度数．
【解答】解：，，
，
平分，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了垂线和角平分线的定义，难度较小．
7．（3分）将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】先由折叠性质得，，再根据得，由此可得的度数．
【解答】解：由折叠性质得：，，
，，
，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了角的计算，图形的折叠及其性质，熟练掌握角的计算，理解图形的折叠及其性质是解决问题的关键．
8．（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是
A． B．
C． D．
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
【解答】解：、与互余，故本选项符合题意；
、，但与不一定互余，故本选项不合题意；
、，但与不互余，故本选项不合题意；
、与不互余，和互补，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
9．（3分）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则
A． B． C． D．
【分析】分两种情况如图①所示，当时，根据角平分线的定义得，，根据，得，再根据已知条件与互补，得，进而得；
如图②所示，当时，根据角平分线的定义得，，根据，得，再根据已知条件与互补，得，进而得．
【解答】解：①如图①所示，当时，
，分别为，的平分线，
，，
，
，
与互补，
，
，
；
②如图②所示，当时，
，分别为，的平分线，
，，
，
，
与互补，
，
，
，
综上所述：或，；
故选：．
【点评】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，掌握余角和补角、角平分线的定义的综合应用，分两种情况是解题关键．
10．（3分）在直线上任取一点，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为
A． B． C．或 D．或
【分析】画出图形，得出两种情况，分别求出和长，即可求出答案．
【解答】解：①，在点同侧时如图，
是的中点，是的中点，
，，
．
②，在点两侧时如图，
是的中点，是的中点，
，，
．
综上：与之间距离为或，
故选：．
【点评】本题考查了求两点之间距离的应用，注意要进行分类讨论．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个角的余角加上后，等于这个角的补角的倍，则这个角度数为 60 度．
【分析】利用题中的“一个角的余角这个角的补角的”作为相等关系列方程求解．
【解答】解：设这个角的度数是，
则，
解得．
这个角的度数为．
故答案为：60
【点评】主要考查了余角和补角的概念以及运用．解此题的关键是熟悉互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为．
12．（3分）小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），的钟面角为 22.5 度．
【分析】根据钟面上一大格是，时针1分钟转，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
故答案为：22.5．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握钟面上一大格是，时针1分钟转是解题的关键．
13．（3分）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么 ．
【分析】首先计算出的度数，再计算的度数即可．
【解答】解：由题意得：，，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
14．（3分）如图，点，在线段上，已知，，，则线段长为 2 ．
【分析】根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查线段的和差，正确地识别图形是解题的关键．
15．（3分）已知和是共顶点的两个角，的边始终在的内部，并且的边把分为的两个角，若，，则的度数是 或或 ．
【分析】根据角的和差和角的倍分关系即可得到结论．
【解答】解：如图1，，，把分为的两个角，
，
；
如图2，
，，把分为的两个角，
，
；
如图3，，，把分为的两个角，
，
；
如图4，
，，把分为的两个角，
，
；
综上所述，的度数是或或．
故答案为：或或．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和、差、倍分关系是解题的关键．
16．（3分）已知，，，则的度数为 或或 ．
【分析】根据题意，可以分四种情况画图讨论计算．
【解答】解：（1）如图1所示：
当射线在的内部时，①若射线在内部，
设，则，
，
，
，
，
，
，
②如图2所示，若射线在外部，
设，则，，
，
，
，
．
；
（2）当射线在外部时，根据题意，此时射线靠近射线，
，，
射线的位置也只有两种可能；
①若射线在内部，如图3所示，
，
设，则，
，
，
，
，
；
②若射线在外部，如图4所示，
设，则，
，
，
，
，
解得，
此种情况不符合题意，
综上所述：的度数为：，，．
【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分四种情况讨论．比较复杂，不容易做对．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据角平分线定义得到，然后根据对顶角相等得到；
（2）先设，，根据平角的定义得，解得，则，然后与（1）的计算方法一样．
【解答】解：（1）平分，
，
；
（2）设，，根据题意得，解得，
，
，
．
【点评】考查了角的计算：1直角；1平角．也考查了角平分线的定义和对顶角的性质．
18．（8分）如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
（1）画直线；
（2）画射线；
（3）连接并延长到，使得；
（4）在线段上取点，使的值最小．
【分析】根据直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短画图即可．
【解答】解：如图所画：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【点评】本题考查的是直线、射线、线段的概念和画法，掌握直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短是解题的关键．
19．（8分）已知角，都是锐角，是钝角．
（1）在计算的度数时有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，根据以上信息，求的值；
（2）在（1）的情况下，若锐角比锐角小，是的两倍，求的补角的度数．
【分析】分别计算，，，则、、三个数值其中一个是、、三个角的和，由于三角中，有两个锐角，一个钝角，根据锐角和钝角的定义知，，所以是正确的．
【解答】解：（1）、、中有两个锐角和一个钝角，
，，，
，
，，，
．
答：的值是；
（2）设为，则为，为，
解得：
，
．
答：的补角的度数为．
【点评】考查了角的计算，解决本题的关键是准确掌握锐角、钝角的概念，锐角是大于0度小于90度的角，直角是等于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角．
20．（8分）如图1，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部．
（1）如图2，若，求和的度数．
（2）若．
①和有什么关系？请说明理由．
②当时，求的度数．
【分析】（1）根据题意可得：，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（2）①根据题意可得：，然后利用角的和差关系可得，进行计算即可解答；
②利用①的结论，进行计算可求出，然后再利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
，
，
，，
的度数为，的度数为；
（2）①，
理由：，
，
；
②，，
，
，
，
，
的度数为．
【点评】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21．（8分）已知：如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点，
（1）若线段，，，求的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段的长；
（3）如图2，若，，求线段的长．
【分析】（1）由，根据非负数的性质即可推出、的值，代入计算即可；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出和的长度，根据图形即可推出，然后由，即可推出的长度，由为的中点，即可推出的长度；
（3）首先设，根据线段中点的性质推出、关于的表达式，即，由图形推出，即可得方程：，通过解方程推出，即，最后由，即可求出的长度．
【解答】解：（1），
，，
，，
；
（2）点为线段的中点，，，
，
，
点为线段的中点，
，
（3）设，则，
点为线段的中点，
，
，
，
，
解方程得：，即，
，为中点，
，
．
【点评】本题主要考查线段中点的性质，解题的关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．
22．（10分）某工厂生产的边长为1米的正方形装饰材料如图所示，点在上，点是的中点，、和四边形分别由Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种材料制成．
（1）设，请用含的代数式分别表示和的面积；
（2）已知1型、Ⅱ型、Ⅲ型三种材料每平方米的价格分别为50元、100元和40元，若要求制成这样一块装饰材料的成本为50元，求点的位置；
（3）由于市场变化，1型材料和Ⅱ型材料每平方米的价格变为70元和80元，Ⅲ型材料的价格不变，现仍要生产（2）中式样的装饰材料，则每块的成本将有何变化？变化多少元？
【分析】（1）根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）用单价乘以面积，然后把三部分价格相加等于成本50元，列出方程求解即可；
（3）把各部分的单价乘以相应的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1），
；
（2）Ⅲ型材料的面积为，
所以，，
解得，
点在的中点处；
（3）
元．
【点评】本题考查了列代数式，主要利用了直角三角形的面积公式，难点在于表示出材料Ⅲ所占的面积．
23．（10分）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且
（1）若，求的长．
（2）当在线段的延长线上时，如图②所示，若点，分别是线段，的中点，求的长．
（3）当运动到某一时刻，使得点与点重合时，若点是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
【分析】先根据非负数的性质求出，，则，．
（1）若，则有以下两种情况，①当点在点的左侧时，则，根据可得的长；②当点在点的右侧时，根据可得的长；
（2）设，则，根据线段中点定义得，，，从而得，由此可得的长；
（3）设，根据点与点重合，点在点的左侧得点在线段上，再根据点在线段的延长线上画出图形，结合图形得，，则，据此可得出结论．
【解答】解：，，，
，，
解得：，，
，，
（1）若，则有以下两种情况，
①当点在点的左侧时，如图1①所示：
，，，
，
；
②当点在点的右侧时，如图1②所示：
，，，
；
综上所述：线段的长为17或25．
（2）设，如图2所示：
，
点，分别是线段，的中点，
，，
，
；
（3）为定值，理由如下：
设，
点与点重合，点在点的左侧，
点在线段上，
又点在线段的延长线上，如图3所示：
，，
，
．
【点评】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．
24．（12分）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．
（1）若， ；若，则 ；并猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
（2）如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系，请说明理由；
（3）已知，（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的大小相等的关系（用含有，的式子表示）．
【分析】（1）若，根据计算的度数，再计算的度数；若，同理，反之计算可得结果；先计算，再加上可得与的关系；
（2）先计算，再加上可得结果；
（3）先计算，再加上可得结果．
【解答】解：（1）若，
，，
，
，
；
若，
，
，
，
，
故答案为：；；
，
理由：，
；
（2），
理由：，
；
（3），
理由：，
．
【点评】本题考查了余角和补角，熟知如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，注意角的和与差．
