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第1章 解直角三角形 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 西湖区校级月考）的值是
A． B．1 C． D．
2．（2024 丽水一模）如图，在中，，，，则的值是
A． B． C． D．
3．（2023秋 东阳市期末）在中，，，则的值为
A． B． C． D．2
4．（2023秋 拱墅区校级月考）在中，若，则为
A． B． C． D．
5．（2023 义乌市校级模拟）在中，，下列等式不一定成立的
A． B．
C． D．
6．（2024春 萧山区期中）如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为
A．6米 B．米 C．米 D．米
7．（2023 西湖区模拟）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为，，，则，那么下列说法正确的是
A． B．
C． D．
8．（2024 吴兴区二模）如图，在△中，，，，则点到直线的距离为
A． B． C． D．
9．（2023 舟山开学）下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
10．（2023秋 义乌市校级月考）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题）
11．（2023 拱墅区校级二模）若，则锐角 ．
12．（2024秋 西湖区校级期中） （选填“”或“”或“” ．
13．（2023秋 鄞州区校级月考）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是 ．
14．（2023秋 余姚市校级月考）因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ．
15．（2024 武昌区模拟）某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约 （结果精确到，参考数据：．
16．（2024 吴兴区二模）如图，在中，，，，为边上一点，且，过点作，交于点，连结，若，则的值为
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 海曙区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024秋 海曙区校级月考）如图，在中，，，．
（1）求；
（2）求．
19．（2023 余杭区校级模拟）如图，在中，，点在边上，，过作，交边于点，平分，交线段于点．若，，求长．
20．（2020春 绍兴月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且；
（2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长．
21．（2024 浙江）如图，在中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
22．（2022秋 杭州月考）如图，在中，于，．
（1）求证：．
（2）若，，求的面积．
23．（2023秋 拱墅区校级期末）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的处．
（1）求处距离辽宁舰有多远；
（2）求处距离辽宁舰有多远（结果精确到．（参考数据：，，；，，
24．（2024 海宁市校级模拟）在中，，分别是，的中点，于点，于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，，时，求的长．
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第1章 解直角三角形 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 西湖区校级月考）的值是
A． B．1 C． D．
【答案】
【解析】．
故选．
2．（2024 丽水一模）如图，在中，，，，则的值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在中，，，，
，
故选．
3．（2023秋 东阳市期末）在中，，，则的值为
A． B． C． D．2
【答案】
【解析】如图：
，
，
设，则，
，
．
故选．
4．（2023秋 拱墅区校级月考）在中，若，则为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：
，，
，，
，，
，
故选．
5．（2023 义乌市校级模拟）在中，，下列等式不一定成立的
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故选．
6．（2024春 萧山区期中）如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为
A．6米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】分别过、作，，
四边形为矩形，
斜坡的坡比，即，不妨设，则，
在中根据勾股定理：，，
解得或（不合题意，舍去），
又背水坡的坡比，
，
在中根据勾股定理得：，
故选．
7．（2023 西湖区模拟）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为，，，则，那么下列说法正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据定义得，，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故符合题意；
，故不符合题意；
故选．
8．（2024 吴兴区二模）如图，在△中，，，，则点到直线的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作边的垂线，垂足为，
，
，
又，
，
．
在△中，
，，
，．
显然只有选项符合题意．
故选．
9．（2023 舟山开学）下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】因为当为锐角时，
的值随的增大而增大，的值随的增大而减小，
所以．
又因为，，且，
所以．
所以．
故选．
10．（2023秋 义乌市校级月考）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】如图，设，，则，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023 拱墅区校级二模）若，则锐角 ．
【答案】．
【解析】，
锐角．
故答案为：．
12．（2024秋 西湖区校级期中） （选填“”或“”或“” ．
【答案】．
【解析】 ，，
．
故答案为：．
13．（2023秋 鄞州区校级月考）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是 ．
【解析】如图，过点作的延长线于点，
则，，
在中，，
．
故答案为：．
14．（2023秋 余姚市校级月考）因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ．
【答案】．
【解析】，
．
故答案为：．
15．（2024 武昌区模拟）某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约 28.9 （结果精确到，参考数据：．
【解析】如图，延长交于，
由题意得，，，，，，
设 ，
在中，
，，
，
，
在中，，即，
，
解得：，
，
，
故答案为：28.9．
16．（2024 吴兴区二模）如图，在中，，，，为边上一点，且，过点作，交于点，连结，若，则的值为
【解析】如图，过点作于点，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
则：，即，
解得：
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 海曙区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
18．（2024秋 海曙区校级月考）如图，在中，，，．
（1）求；
（2）求．
【解析】（1）在中，，，，
，
，
（2）．
19．（2023 余杭区校级模拟）如图，在中，，点在边上，，过作，交边于点，平分，交线段于点．若，，求长．
【解析】，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
20．（2020春 绍兴月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且；
（2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长．
【解析】（1）如图，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
是直角三角形，且，
；
（2）如图，，
，，，
，，
，
，，
，
．
21．（2024 浙江）如图，在中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【解析】（1），，，
；
，
，
；
（2）是边上的中线，
，
，
，
，
．
22．（2022秋 杭州月考）如图，在中，于，．
（1）求证：．
（2）若，，求的面积．
【解析】（1）证明：，
，
在中，，
在中，，
，
，
；
（2）解：在中，，
，
，
，
，
，
，
的面积，
的面积为．
23．（2023秋 拱墅区校级期末）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的处．
（1）求处距离辽宁舰有多远；
（2）求处距离辽宁舰有多远（结果精确到．（参考数据：，，；，，
【解析】（1）由题意得，，，
在中，．
处距离辽宁舰约有．
（2）在中，，，
．
处距离辽宁舰约有．
24．（2024 海宁市校级模拟）在中，，分别是，的中点，于点，于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，，时，求的长．
【解析】（1）证明：于点，于点，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
点，分别是，的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，如图所示：
于点，
，
又点为的中点，
为的中位线，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
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