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第6章 图形的初步知识
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：立体图形的分类
【经典例题1-1】如图，图中柱体的个数是 个．
【经典例题1-2】如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号）
【经典例题1-3】将下图中的立体图形分类．
柱体 ；锥体 ；球体 ．
经典题型二：几何体的点、棱、面
【经典例题2-1】小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（ ）
A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等
C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形
【经典例题2-2】如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱．
【经典例题2-3】五棱柱有 个顶点， 个面， 条棱， 个侧面，侧面形状是 形，底面形状是 形．
经典题型三：求平面图形旋转后所得立体图形的体积或表面积
【经典例题3-1】如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．这两个圆柱的侧面积之比为： ．
【经典例题3-2】如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗 如果不相等，哪个体积大 （π取3）
【经典例题3-3】，，．求此三角形绕着它的边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为多少．
经典题型四：用七巧板拼图形
【经典例题4-1】用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【经典例题4-2】七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S 的值为 ．
【经典例题4-3】用边长为4的正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，那么阴影部分的面积是 ．
经典题型五：直线、射线、线段三者的区别与联系
【经典例题5-1】观察图形，下列说法正确的有（ ）
（1）直线和直线是同一条直线；
（2）线段和线段是两条不同的线段；
（3）射线和射线是同一条射线；
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题5-2】如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点A在直线外
B．点A到点C的距离是线段的长度
C．射线与射线是同一条
D．直线和直线相交于点B
【经典例题5-3】下列语句准确规范的是（ ）
A．直线相交于一点
B．延长直线
C．延长线段到，使
D．反向延长射线（是端点）
经典题型六：画出直线、射线、线段
【经典例题6-1】如图，在平面上有四个点A，B，C，D，按要求完成下列问题：
(1)画射线；
(2)连接，与射线相交于点O．
【经典例题6-2】根据题中的要求，画出相应的图形：
(1)画直线；
(2)画线段；
(3)画射线．
【经典例题6-3】如图，正方形网格中有四个点，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题：
(1)画出直线，并找出线段的中点O；
(2)画出射线和射线．
经典题型七：两点确定一条直线
【经典例题7-1】在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【经典例题7-2】在开会前，工作人员进行会场布置，如图所示为两名工作人员拉着一条绳子，然后依“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（ ）
A．两点之间线段最短 B．过一点可以做无数条直线
C．两点确定一条直线 D．线段的长度就是、两点间的距离
【经典例题7-3】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ．
经典题型八：尺规作图作线段
【经典例题8-1】如图，已知线段a，b（），按要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)求作线段c，使；
(2)求作线段d，使．
【经典例题8-2】如图，平面上有射线和点，请用尺规按下列要求作图：
（1）连接，并在射线上截取；
（2）连接，并延长到E，使．
【经典例题8-3】已知平面内，，，四点的位置如图所示，请完成下列问题：
(1)作射线交直线于点；
(2)连接，用圆规在线段的延长线上截取；
(3)在线段上确定点，使点到点，的距离之和最小．
经典题型九：线段中关于中点的计算
【经典例题9-1】如图，点B，D都在线段上，，点是线段的中点，，求的长．
【经典例题9-2】如图，线段，是线段上一点，，是的中点，是的中点．
(1)求线段的长；
(2)求线段的长．
【经典例题9-3】如图，C为的中点，点D在线段上，且，若，则的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
经典题型十：线段中n等分点的计算
【经典例题10-1】如图，，延长到，使，是线段的中点．
(1)求线段的长度；
(2)若点是线段的三等分点，直接写出线段的长．
【经典例题10-2】根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且．
(1)如图1，当点C在线段上时，求的长；
(2)如图2，当点C在延长线上时，求的长；
(3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长．
【经典例题10-3】已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ．
经典题型十一：线段之间的比值关系
【经典例题11-1】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【经典例题11-2】已知，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点．
(1)如果，求的长；
(2)如果，求的长．
【经典例题11-3】如图，已知线段，两点A、B，请按要求解答下列问题．
(1)用直尺和圆规作图，作直线，在射线上作，D为的中点；
(2)若，．
①求的长；
②E是直线上一点，F是线段的中点，，求的长．
经典题型十二：线段上的动点问题
【经典例题12-1】已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．
(1)若，求和的长；
(2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．
①如图，当点E为中点时，求的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长．
【经典例题12-2】如图，，点是线段上一点，且，点C从点A出发，以的速度向点B运动．同时点D从点P出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为．
(1)当时，___________，__________，此时线段，，之间的数量关系是___________．
(2)当点C在线段上运动时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)当点C在线段上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．
【经典例题12-3】定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
(1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则；
(2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒．
①当t为何值时，点C是线段的三等分点
②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度．
经典题型十三：角与时钟的综合
【经典例题13-1】如图，钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为 ．
【经典例题13-2】在植树节到来之际，为了增强“生态和环保意识”，班长小明组织同学到植物园开展“爱绿、植树、护绿”实践活动，要求同学们集合的时间是9点10分，此时钟面上时针与分针的夹角是 ．
【经典例题13-3】（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？
（2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？
（3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？
经典题型十四：角的四则运算
【经典例题14-1】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题14-2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【经典例题14-3】计算：
(1)（结果用度、分、秒表示）；
(2)（结果用度表示）．
经典题型十五：三角板中的角度计算
【经典例题15-1】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【经典例题15-2】将一副三角尺叠放在一起．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若，求的度数
【经典例题15-3】如图，将一副三角尺叠放在一起．
(1)若，求的度数；
(2)若2，求的度数．
经典题型十六：几何图形中的角度计算
【经典例题16-1】如图，点O在直线上，平分，，，则 ．
【经典例题16-2】如图，在的内部有3条射线，，．若，，，则 °．
经典题型十七：实际问题中角度计算问题
【经典例题17-1】一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ．
【经典例题17-2】如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？
【经典例题17-3】如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？
经典题型十八：角平分线的有关计算
【经典例题18-1】探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分．
(1)如图1，若，则________．
(2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数．
【经典例题18-2】如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）
【经典例题18-3】点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得．
(1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数；
(2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分，
①若，求的度数；
②若，则的度数是 ；
(3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数．
经典题型十九：余角和补角的计算
【经典例题19-1】如图，，则下列说法错误的是（ ）
A．与不互为余角 B．与互为余角
C．与互为余角 D．与互为余角
【经典例题19-2】如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线．
(1)的补角是_____；
(2)若，求和的度数；
【经典例题19-3】如图，已知：平分，平分．
(1)若，
①求出及其补角的度数；
②求出和的度数，并判断与是否互补；
(2)若，则与是否互补？请说明理由．
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第6章 图形的初步知识
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：立体图形的分类
【经典例题1-1】如图，图中柱体的个数是 个．
【答案】5
【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个．
故答案为：5．
【经典例题1-2】如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号）
【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧
【详解】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，
【经典例题1-3】将下图中的立体图形分类．
柱体 ；锥体 ；球体 ．
【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③
【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③．
经典题型二：几何体的点、棱、面
【经典例题2-1】小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（ ）
A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等
C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形
【答案】C
【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意；
．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意；
．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意；
．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意；
【经典例题2-2】如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱．
【答案】 五 7 10 15
【详解】解：这个棱柱的底面是五边形，
它有7个面，有10个顶点，有15条棱．
故答案为：五；7；10；15．
【经典例题2-3】五棱柱有 个顶点， 个面， 条棱， 个侧面，侧面形状是 形，底面形状是 形．
【答案】 10 7 15 5 长方 五边
【详解】解：五棱柱有10个顶点，7个面，15条棱，5个侧面，侧面形状是长方形，底面形状是五边形．
经典题型三：求平面图形旋转后所得立体图形的体积或表面积
【经典例题3-1】如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．这两个圆柱的侧面积之比为： ．
【答案】1/
【详解】解：如图（1），圆柱的侧面积为，
如图（2），圆柱的侧面积为，
∴这两个圆柱的侧面积之比为。
【经典例题3-2】如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗 如果不相等，哪个体积大 （π取3）
【答案】得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大
【详解】解：将长方形分别绕它的长和宽旋转一周，得到都是圆柱体，
将长和宽分别为和的长方形绕它的长旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为，
将长和宽分别为和的长方形绕它的宽旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为，
所以得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大．
【经典例题3-3】，，．求此三角形绕着它的边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为多少．
【答案】或或
【详解】解：三角形绕着边所在直线旋转一周，所得几何体的体积是
三角形绕着边所在直线旋转一周，所得几何体的体积是；
三角形绕边所在直线旋转一周，所得几何体是底面相同的一个正立，一个倒立的圆锥组合体，所以体积是．
经典题型四：用七巧板拼图形
【经典例题4-1】用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：
（平方分米）
答：阴影部分的面积为．
【经典例题4-2】七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S 的值为 ．
【答案】3
【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为，
根据题意可得，又，
∴，
【经典例题4-3】用边长为4的正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，那么阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【详解】解：如图，阴影部分是由正方形中1，2，3，4四部分组合而成的，
∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为；
由图可知：1的面积是正方形面积的，3的面积是正方形面积的，2和4的直角边的长度为正方形对角线长度的，
∴2和4的面积均为，
∴阴影部分的面积等于；
经典题型五：直线、射线、线段三者的区别与联系
【经典例题5-1】观察图形，下列说法正确的有（ ）
（1）直线和直线是同一条直线；
（2）线段和线段是两条不同的线段；
（3）射线和射线是同一条射线；
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：（1）直线和直线是同一条直线，正确；
（2）线段和线段是同一条线段，故不正确；
（3）射线和射线是同一条射线，正确；
（4）三条直线两两相交时，不一定有三个交点，故不正确，如下图．
【经典例题5-2】如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点A在直线外
B．点A到点C的距离是线段的长度
C．射线与射线是同一条
D．直线和直线相交于点B
【答案】C
【详解】解：A. 点A在直线外，说法正确，不符合题意；
B. 点A到点C的距离是线段的长度，说法正确，不符合题意；
C. 射线与射线不是同一条，说法错误，符合题意；
D. 直线和直线相交于点B，说法正确，不符合题意；
【经典例题5-3】下列语句准确规范的是（ ）
A．直线相交于一点
B．延长直线
C．延长线段到，使
D．反向延长射线（是端点）
【答案】C
【详解】解：A、交点应该用大写字母，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、延长线段到，使，原说法正确，故本选项符合题意；
D、反向延长射线，端点是应该点，原说法错误，故本选项不符合题意；
经典题型六：画出直线、射线、线段
【经典例题6-1】如图，在平面上有四个点A，B，C，D，按要求完成下列问题：
(1)画射线；
(2)连接，与射线相交于点O．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求；
（2）解：如图所示，线段和点O即为所求．
【经典例题6-2】根据题中的要求，画出相应的图形：
(1)画直线；
(2)画线段；
(3)画射线．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：如图，
（3）解：如图，
【经典例题6-3】如图，正方形网格中有四个点，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题：
(1)画出直线，并找出线段的中点O；
(2)画出射线和射线．
【详解】（1）解：如图所示，
∴直线，点即为所求；
（2）解：如图所示，
∴射线即为所求．
经典题型七：两点确定一条直线
【经典例题7-1】在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
所以，在上列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有3个，
【经典例题7-2】在开会前，工作人员进行会场布置，如图所示为两名工作人员拉着一条绳子，然后依“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（ ）
A．两点之间线段最短 B．过一点可以做无数条直线
C．两点确定一条直线 D．线段的长度就是、两点间的距离
【答案】C
【详解】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，
【经典例题7-3】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ．
【答案】两点确定一条直线
【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，
经典题型八：尺规作图作线段
【经典例题8-1】如图，已知线段a，b（），按要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)求作线段c，使；
(2)求作线段d，使．
【答案】(1)图见解析(2)图见解析
【详解】（1）解：作射线，用圆规在射线上截取，在线段上截取，则线段就是所求作的线段，如答图所示：
（2）解：作射线，用圆规在射线上顺次截取，，则线段就是所求作的线段，如答图所示：
【经典例题8-2】如图，平面上有射线和点，请用尺规按下列要求作图：
（1）连接，并在射线上截取；
（2）连接，并延长到E，使．
【答案】见解析
【详解】（1）连接，并在射线上截；
如图1所示：
（2）连接，并延长到E，使．
如图2所示：
【经典例题8-3】已知平面内，，，四点的位置如图所示，请完成下列问题：
(1)作射线交直线于点；
(2)连接，用圆规在线段的延长线上截取；
(3)在线段上确定点，使点到点，的距离之和最小．
【详解】（1）如图，
（2）如图，
（3）如图，连接，与交于点
根据两点之间线段最短可知，点即为所求．
经典题型九：线段中关于中点的计算
【经典例题9-1】如图，点B，D都在线段上，，点是线段的中点，，求的长．
【答案】21
【详解】解：因为，点是线段的中点，
所以．
因为，
所以，
所以．
【经典例题9-2】如图，线段，是线段上一点，，是的中点，是的中点．
(1)求线段的长；
(2)求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，是的中点，
，
，
；
（2）解：，是的中点，
，
．
【经典例题9-3】如图，C为的中点，点D在线段上，且，若，则的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】解：设，
为的中点，
∴，
，
，，
，
解得，
，
经典题型十：线段中n等分点的计算
【经典例题10-1】如图，，延长到，使，是线段的中点．
(1)求线段的长度；
(2)若点是线段的三等分点，直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：，，
，
是的中点，
，
．
（2）解：∵，点是线段的三等分点，
∴或．
【经典例题10-2】根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且．
(1)如图1，当点C在线段上时，求的长；
(2)如图2，当点C在延长线上时，求的长；
(3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长．
【答案】(1)6 (2)6 (3)见解析，6
【详解】（1）解：∵，
∴，，，，
如图1：当点C在线段AB上时，．
（2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，．
（3）解：如图：
当点C在延长线上时，．
【经典例题10-3】已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ．
【答案】或
【详解】解：如图1，
∵为的中点，且，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2，
∵为的中点，且，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：的长是或．
经典题型十一：线段之间的比值关系
【经典例题11-1】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：①当点在线段上时，如下图：
，，
，，
点是线段的中点，
，
；
②当点在线段外时，如下图：
，，
，，
点是线段的中点，
，
；
综上所述，或．
故选：．
【经典例题11-2】已知，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点．
(1)如果，求的长；
(2)如果，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为点是线段的中点，点是线段的中点，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（2）因为，
所以．
因为，
所以，
所以．
【经典例题11-3】如图，已知线段，两点A、B，请按要求解答下列问题．
(1)用直尺和圆规作图，作直线，在射线上作，D为的中点；
(2)若，．
①求的长；
②E是直线上一点，F是线段的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①10；②8
【详解】（1）解：如图所示，，D为的中点；
（2）①∵，，D为的中点，
∴设，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②当点E在点A的左侧时，如图所示：
由①得，不符合题意，舍去；
当点E在点A的右侧时，如图所示：
∵，，
∴，
∵F是线段的中点，
∴．
经典题型十二：线段上的动点问题
【经典例题12-1】已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．
(1)若，求和的长；
(2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．
①如图，当点E为中点时，求的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)，
(2)①6.5；②或．
【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，．
∵，，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示．
∵，，
∴，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
②分两种情况：
（i）如图1所示，当点F在点C右侧时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（ii）如图2所示，当点F在点C左侧时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【经典例题12-2】如图，，点是线段上一点，且，点C从点A出发，以的速度向点B运动．同时点D从点P出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为．
(1)当时，___________，__________，此时线段，，之间的数量关系是___________．
(2)当点C在线段上运动时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)当点C在线段上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)，，
(2)，见解析
(3)
【详解】（1）解：当时，
；
，
此时，；
故答案为：，，
（2）解：猜想：；
证明：当点C在线段上运动时，
根据题意可知：，，
，
，
即；
（3）解：猜想；
证明：点C在线段上运动时，
，
，
，
，
则．
【经典例题12-3】定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
(1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则；
(2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒．
①当t为何值时，点C是线段的三等分点
②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度．
【答案】(1)3
(2)①或27；②或或
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）①由题意，得：，，
当时，则：，
∴
∴；
当时，则：，
∴，
∴；
综上：或；
②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或．
经典题型十三：角与时钟的综合
【经典例题13-1】如图，钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为 ．
【答案】/75度
【详解】解：钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为，
故答案为：．
【经典例题13-2】在植树节到来之际，为了增强“生态和环保意识”，班长小明组织同学到植物园开展“爱绿、植树、护绿”实践活动，要求同学们集合的时间是9点10分，此时钟面上时针与分针的夹角是 ．
【答案】145
【详解】解：时针经过10分钟所走的度数为，
此时分钟指向2点的位置，与9点之间的夹角为，
∴9点10分时，钟面上时针与分针夹角的度数是．
【经典例题13-3】（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？
（2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？
（3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？
【答案】（）时分时，时针与分针的夹角是，时分时，时针与分针的夹角是；（）分针转过的角度是，时针转过的角度是；（）分针按顺时针旋转时与时针第一次重合．
【详解】解：（）因为分针每分钟走小格，时针每分钟走小格，
所以时分时，时针与分针的夹角是，
时分时，时针与分针的夹角是．
（）从时分到时分，，经过了，
所以分针转过的角度是，
时针转过的角度是；
（）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针）．
因为时整时针与分针的夹角是，
所以列方程得，
解得，
所以，
所以分针按顺时针旋转时与时针第一次重合．
经典题型十四：角的四则运算
【经典例题14-1】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意.
【经典例题14-2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【经典例题14-3】计算：
(1)（结果用度、分、秒表示）；
(2)（结果用度表示）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
经典题型十五：三角板中的角度计算
【经典例题15-1】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，
，
【经典例题15-2】将一副三角尺叠放在一起．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若，求的度数
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
（2）解：由题图可知，，
所以．
又因为，
所以，
所以．
【经典例题15-3】如图，将一副三角尺叠放在一起．
(1)若，求的度数；
(2)若2，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
经典题型十六：几何图形中的角度计算
【经典例题16-1】如图，点O在直线上，平分，，，则 ．
【答案】/20度
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【经典例题16-2】如图，在的内部有3条射线，，．若，，，则 °．
【答案】10
【详解】解：设，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
经典题型十七：实际问题中角度计算问题
【经典例题17-1】一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ．
【答案】/120度
【详解】解：过点作法线，得到界面，
由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线，
界面，
，得到，
入射角等于反射角，
，
与界面的夹角是，
，
故；
故答案为120°．
【经典例题17-2】如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？
【答案】轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为．
【详解】解：∵一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，
∴这个夹角的度数为360°÷15=24°．
∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，
∴这个夹角的度数为360°÷22≈16.36°≈．
∴轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为．
【经典例题17-3】如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？
【答案】把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份．
【详解】解：360°÷8=45°；
360°÷15°=24．
答：把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份．
经典题型十八：角平分线的有关计算
【经典例题18-1】探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分．
(1)如图1，若，则________．
(2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
∴，
∵平分，
∴，
∴
．
【经典例题18-2】如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
【经典例题18-3】点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得．
(1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数；
(2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分，
①若，求的度数；
②若，则的度数是 ；
(3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或
【详解】（1）解：∵，
，
平分，
，
，
故答案为：；
（2）解：①
，
平分平分，
，
；
②，
，
平分平分，
，
，
故答案为：；
（3）解：当在内部时，如图：
平分，
，
，
，
平分，
；
当在外部时，如图：
平分，
，
，
，
平分，
，
综上可知，的度数是或，
经典题型十九：余角和补角的计算
【经典例题19-1】如图，，则下列说法错误的是（ ）
A．与不互为余角 B．与互为余角
C．与互为余角 D．与互为余角
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，即与互为余角，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，即与互为余角，故A选项错误，符合题意；
∴，即与互为余角，故D选项正确，不符合题意；
∴，即与互为余角，故C选项正确，不符合题意；
【经典例题19-2】如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线．
(1)的补角是_____；
(2)若，求和的度数；
【答案】(1)或
(2)，
【详解】（1）解：∵是的平分线，
∴，
又∵，，
∴
∴的补角是或；
（2）∵是的平分线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴．
【经典例题19-3】如图，已知：平分，平分．
(1)若，
①求出及其补角的度数；
②求出和的度数，并判断与是否互补；
(2)若，则与是否互补？请说明理由．
【答案】(1)①，的补角的度数为；②，；与互补；
(2)与不一定互补，理由见解析
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴的补角的度数为；
②∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴与互补；
（2）解：与不一定互补，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵不一定为，
∴不一定为
∴与不一定互补．
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