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第5章 一元一次方程
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：判断各式是否是方程
【经典例题1-1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】解：根据方程的定义可得①③④⑤⑥是方程；
②是不等式，不是方程；
故有5个式子是方程．
故选：C．
【经典例题1-2】下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解：A、不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意；
B、是方程，故此选项符合题意；
C、不是等式，故此选项不符合题意；
D、不是等式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【经典例题1-3】下列式子中，方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：①中不含有未知数，不是方程；
②不是等式，不是方程；
③、④符合方程的定义；
⑤是代数式，不是等式，不是方程；
综上，方程有2个．
故本题选：A．
经典题型二：方程的解
【经典例题2-1】若是关于x的方程的解，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【经典例题2-2】已知是关于的方程的解，则的值为 ．
【答案】2026
【详解】解：把代入，得，
整理，得，
所以，
故答案为：2026．
【经典例题2-3】若a是方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】2023
【详解】解：∵a是方程的解，
∴即，
∴
，
故答案为：2023．
经典题型三：利用等式的性质判断
【经典例题3-1】已知等式，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A．，
当时，x与y的大小不确定，
故本选项不符合题意；
B．，
，
，
故本选项符合题意；
C．，
，
与不一定相等，
故本选项不符合题意；
D．，
，，
故本选项不符合题意；
故选：B．
【经典例题3-2】下列等式变形，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】解：A、若，则，则此项正确，不符合题意；
B、若，则，则此项正确，不符合题意；
C、若，则，则此项正确，不符合题意；
D、若，则当时，，则此项错误，符合题意；
故选：D．
【经典例题3-3】根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【详解】解：A、如果，那么，本选项不符合题意；
B、如果，那么，本选项不符合题意；
C、如果，那么，即：，本选项符合题意；
D、如果，那么，本选项不符合题意；
故选：C．
经典题型四：判断是否为一元一次方程
【经典例题4-1】下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A． ，未知数最高次数是2，是一元二次方程，故不是一元一次方程，不符合题意；
B．是一元一次方程，符合题意；
C．，含有两个未知数，故不是一元一次方程，不符合题意；
D．，不是整式方程，故不是一元一次方程，不符合题意；
故选：B．
【经典例题4-2】下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：、不含未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
、是一元一次方程，故本选项符合题意；
、含有两个未知数，故本选项不符合题意；
、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
【经典例题4-3】下列方程：①；②；③；④；⑤中，其中是一元一次方程的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：，不是整式方程，不是一元一次方程；故①错误；
，是一元一次方程，故②正确；
，含有2个未知数，不是一元一次方程；故③错误；
，最高项的次数为2，不是一元一次方程；故④错误；
，是一元一次方程，故⑤正确；
故选C．
经典题型五：利用一元一次方程的定义求参数
【经典例题5-1】已知是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，解得，
故答案为：．
【经典例题5-2】如果方程是关于x的一元一次方程，那么 ．
【答案】1
【详解】解：方程是关于x的一元一次方程，得：，
解得，
故答案为：1．
【经典例题5-3】若方程是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：由于方程是关于的一元一次方程，
所以，
解得：；
故答案为：．
经典题型六：解一元一次方程（计算题）
【经典例题6-1】解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【经典例题6-2】解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
去括号：
移项：，
合并同类项得：，
化系数为1：
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：
化系数为1：
【经典例题6-3】解方程：．
【答案】
【详解】解：，
，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
经典题型七：判断一元一次方程变形是否正确
【经典例题7-1】下列在解方程的过程中，变形正确的是（ ）
A．将去分母，得
B．将去括号，得
C．将移项，得
D．将，系数化为1，得
【答案】C
【详解】解：．，去分母，得，错误，故本选项不符合题意；
．，去括号，得，错误，故本选项不符合题意；
．将移项，得，正确，故本选项符合题意；
．，系数化为1，得，错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
【经典例题7-2】下列解方程步骤中正确的是（ ）．
A．由移项，得
B．由去分母，得
C．由去括号，得
D．由两边同除以3，得
【答案】C
【详解】A． 由移项，得，故选项错误；
B． 由去分母，得，故选项错误；
C． 由去括号，得，故选项正确；
D． 由两边同除以3，得，故选项错误．
故选：C．
【经典例题7-3】下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，未知数系数化为1，得
B．方程，移项，得
C．方程，去括号，得
D．方程，去分母后化成
【答案】D
【详解】A．方程，未知数系数化为1，得，原变形不正确，故不符合题意；
B．方程，移项，得，原变形不正确，故不符合题意；
C．方程，去括号，得，原变形不正确，故不符合题意；
D．，去分母得，原变形正确，故不符合题意．
故选：D．
经典题型八：一元一次方程与流程图的结合
【经典例题8-1】如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【详解】解：由题意知，，
解得，
若，解得，
若，解得，
∴满足条件的的值最多有2个．
故选：D．
【经典例题8-2】根据如图所示的计算程序，若输出的值为，则输入的值x为（ ）
A．或1 B．或 C．1或 D．或1或
【答案】A
【详解】解：当为正数时，则：，即：，解得：；
当为负数时，则：，解得：；
故选A．
【经典例题8-3】如图，按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值最多有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【详解】解：若运算一次即输出283，则，；
若运算两次输出283，则第一次输出94，令，；
若运算三次输出283，则第一次输出31，令，；
若运算四次输出283，则第一次输出10，令，，
若运算五次输出283，则第一次输出3，令，，因为为正整数，不合题意；
满足条件的的不同的值有4个．
故选：C．
经典题型九：一元一次方程中判断去分母是否正确
【经典例题9-1】在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，
方程的两边同时乘以，得：；
∴；
故选B．
【经典例题9-2】把方程去分母后，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：方程去分母，得，
故选：B．
【经典例题9-3】解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：方程两边同时乘以12，得，
即，
故选：B．
经典题型十：一元一次方程中特殊解法
【经典例题10-1】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，
方程的解，
即为的解，
的解为，
，
解得，
关于的一元一次方程的解为．
故选：D．
【经典例题10-2】若关于x的一元二次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的一元二次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程的解满足，
∴，
故选：D．
【经典例题10-3】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于m的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
∴关于y的一元一次方程的解为．
故选：D．
经典题型十一：一元一次方程中同解问题
【经典例题11-1】如果的解与的解相同，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：，
解得：，
把代入中得：，
解得：．
故选：A．
【经典例题11-2】如果方程的解与方程的解相同，求式子的值．
【答案】
【详解】解：解方程得：，
将代入得：，
解得： ，
∴．
【经典例题11-3】已知方程和方程的解相同，
(1)求的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：解方程
得，
解方程
，
得
由题意得：，
解之得：．
（2）将代入代数式中，
原式．
经典题型十二：判断一元一次方程解题步骤是否正确
【经典例题12-1】下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
任务一：填空
（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误；
任务二：请你求出方程正确的解．
【答案】任务一：（1）等式的性质2；（2）二；任务二：
【详解】解：任务一∶
（1）以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的，
故答案为∶ 等式的性质2；
（2）第二步开始出现错误，这一步的错误的原因是：括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号，
故答案为∶二；
任务二：正确解法为：
解：．
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
【经典例题12-2】下面是珍珍解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
解：______，得， ……第一步 去括号，得， ……第二步 移项，得， ……第三步 合并同类，得， ……第四步 系数化为1，得． ……第五步
(1)珍珍求解过程中，第一步中的横线上应填______．
(2)珍珍的解答过程在第______步开始出现错误，出现错误的原因是违背了______（填字母）；
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．去括号法则
(3)请给出该题的正确解答．
【答案】(1)去分母
(2)一，B
(3)见解析
【详解】（1）解：根据解一元一次方程的基本步骤，第一步应该是去分母，得，
故答案为：去分母．
（2）解：去分母，方程两边同时乘以6，这是等式的性质2，
得到的结果为：，第一步就出现了错误，
故答案为：一，B；
（3）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类，得，
系数化为1，得．
【经典例题12-3】小丽做作业时解方程的步骤如下：
解：①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，得；
④合并同类项，得；
⑤系数化为1，得．
(1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号）
(2)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)不正确，①；
(2)见解析
【详解】（1）解：小丽的解答过程不正确，最早出现错误的步骤是①，
故答案为：不正确，①；
（2）解：
去分母，得；
②去括号，得；
③移项，得；
④合并同类项，得；
⑤系数化为1，得．
经典题型十三：一元一次方程中定义新运算
【经典例题13-1】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）由题可知，，
则
整理得：，
解得：．
【经典例题13-2】定义一种新运算：
，，．
观察上述各式的运算方法，解答下列问题：
(1)________，________；
(2)若，则________；
(3)计算：．
【答案】(1)11，
(2)3
(3)
【详解】（1）解：由题意可得：，
，
故答案为：11，；
（2）解：∵，
∴，解得：，
故答案为：3；
（3）解：由题意可得：
．
【经典例题13-3】我们来定义一种运算：．例如；再如： ．按照这种定义，当时，x的值是多少？
【答案】
【详解】解：根据题意，得：，
解得．
经典题型十四：一元一次方程的实际应用之销售问题
【经典例题14-1】一件上衣先按成本提高标价，再以折出售，结果获利元，若设这件上衣的成本价是元，根据题意，可得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设这件上衣的成本价是元，根据题意，可得
故选：B．
【经典例题14-2】某电商平台决定举办“跨年”促销活动，对网上销售的某种蓝牙耳机按成本价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每个耳机仍可获利8元，若设这种耳机每件的成本为a元，则可列方程： ．
【答案】
【详解】解：设这种耳机每件的成本为a元，
根据题意可列方程：．
故答案为：．
【经典例题14-3】运用一元一次方程完成下题
某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 40 60
售价（元/件） 50 80
(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？第一次获得的总利润为多少元？
(2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品100件，乙种商品50件，第一次获得的总利润为2000元
(2)第二次乙商品是按原价打8折销售
【详解】（1）解：设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品件，
根据题意得：，
解得：，
∴，
第一次获得的总利润为：（元）
答：该超市第一次购进甲种商品100件，乙种商品50件，第一次获得的总利润为2000元；
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：，
解得：，
答：第二次乙商品是按原价打8折销售．
经典题型十五：一元一次方程的实际应用之配套问题
【经典例题15-1】用铝片做听装饮料瓶，现有200张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可以配成一套，为使瓶身和瓶底刚好配套，则需多少张铝片制瓶身？若设用x张铝片制瓶身，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设用x张铝片制瓶身，则用张铝片制瓶底，
根据题意可得：，
故选：A．
【经典例题15-2】某机械厂加工车间有名工人，平均每名工人每天只能加工大齿轮个或小齿轮个已知个大齿轮和个小齿轮配成一套，每天应分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有名，则可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：加工车间有名工人，设加工大齿轮的工人有名，则加工小齿轮的工人有人，
∵平均每名工人每天只能加工大齿轮个或小齿轮个，
∴加工大齿轮的数量为，加工小齿轮的数量为个，
∵个大齿轮和个小齿轮配成一套，
∴，
故答案为： ．
【经典例题15-3】七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个
(1)七年级四班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【答案】(1)男25人，女23人
(2)3人
【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人，
根据题意可得：，
解得：
则，
答：七年级四班有男生25人，女生23人．
（2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，
根据题意有：，
整理得：，
解得：，
答：需要3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
经典题型十六：一元一次方程的实际应用之方案选择问题
【经典例题16-1】某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：
甲商店：买一支网球拍送一筒网球；
乙商店：网球拍与网球均按付款．
(1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元；
(2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠；
(3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值
【答案】(1)，
(2)甲商店购买合算
(3)或
【详解】（1）解：依题意，甲商店购买需付款：元，
乙商店购买需付款：元；
故答案为：，；
（2）解：当时，
则甲商店需（元），
则乙商店需（元）；
∵，
∴甲商店购买合算；
（3）解：∵两家的优惠相差400元，
∴．
解得；
或，
解得．
∴x的值为或．
【经典例题16-2】七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话：
你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票．
(1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？
(2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？
(3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样．
【答案】(1)1班购票需要704元
(2)2班有46人
(3)当人数为63人时，两种方案所需钱数一样
【详解】（1）解：（元，
答：1班购票需要704元；
（2）解：设2班有人，由题意得，
解得，
答：2班有46人；
（3）解：设有人，由题意得，
解得，
当班级人数为63人时，两种方案费用相等．
【经典例题16-3】环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案．
方案一：全体人员打8折；
方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折．
(1)若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？
(2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？
【答案】(1)该团队应该选择方案一
(2)该团队有45人
【详解】（1）解：由题意可得：
方案一的花费为：（元，
方案二的花费为：（元，
，
答：该团队应该选择方案一．
（2）解：设团队有人，
根据题意得：，
解得：，
答：该团队有45人．
经典题型十七：一元一次方程的实际应用之比赛积分问题
【经典例题17-1】某市举办足球比赛，每队均需赛34场，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这次比赛中一场未负，共得70分，这个队在这次比赛中，胜了 场，平了 场．
【答案】 18 16
【详解】解：设这个队在这次比赛中，胜了x场，则平了场，
根据题意，得：，
解得：，
所以，
所以这个队在这次比赛中，胜了18场，平了16场．
故答案为：18；16．
【经典例题17-2】12月4日为全国法制宣传日，阳光中学组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
小宇 20 0 100
小辰 16 4 72
根据以上信息，请你解答下列问题：
(1)答对一题得________分，答错一题得________分；
(2)若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？答错了几道题？
【答案】(1)5，
(2)答对了15道题，答错了5道题
【详解】（1）解：由表格知：答对一题得分，答错一题得分，
故答案为：5，；
（2）解：设参赛学生小浩答对了道题，则答错了道题，
根据题意，得：，
解得：，
答错了：道，
答：参赛学生小浩答对了15道题，答错了5道题．
【经典例题17-3】“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况：
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
(1)由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分；
(2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？
【答案】(1)5，
(2)17
【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分，
由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题扣分，
故答案为：5，；
（2）解：设答对了x道题，则答错了道题，
根据题意，得，
解得，
答：答对了17道题．
经典题型十八：一元一次方程的实际应用之日历问题
【经典例题18-1】如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这个数的和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设“凹”型框中的个数分别为，，，，，
则，，，，
所以，
A、当时，，“凹”型框可取，不符合题意；
B、当时，，“凹”型框可取，不符合题意；
C、当时，，“凹”型框不可取，符合题意；
D、当时，，“凹”型框可取，不符合题意；
故选：C．
【经典例题18-2】如图是年月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中个数（如、、、、）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的个数，则这个数的和可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设阴影十字框中中间的数字为，则另外四个数分别是，，，，
∴这个数的和为，
A中，根据题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴选项A不符合题意；
B中，根据题意得：，
解得：，
∵日是日历中第一列，最后一行，没有左边数和下面的数，
∴选项B不符合题意；
C中，根据题意得：，
解得：，
根据日在日历中的位置，可知日符合题意，
∴选项C符合题意；
D．根据题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【经典例题18-3】如图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：
(1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
(2)“型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，的值能否等于74？若能，求的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)小明是星期二出发的
(2)的值不能等于，理由见解析
【详解】（1）解：设小明出发的日期是，则另外两天的日期分别是，，
根据题意得：，解得：，
月日是星期二，
小明是星期二出发的；
（2）解：的值不能等于，理由如下：
假设的值能等于，
“型”阴影覆盖的最小数字为，
“型”阴影覆盖的另外三个数字分别为，，，
根据题意得：，
解得：，
月日是星期日，在第一列，
不符合题意，舍去，
假设不成立，即的值不能等于．
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第5章 一元一次方程
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：判断各式是否是方程
【经典例题1-1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【经典例题1-2】下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题1-3】下列式子中，方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
经典题型二：方程的解
【经典例题2-1】若是关于x的方程的解，则 ．
【经典例题2-2】已知是关于的方程的解，则的值为 ．
【经典例题2-3】若a是方程的解，则代数式的值为 ．
经典题型三：利用等式的性质判断
【经典例题3-1】已知等式，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题3-2】下列等式变形，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【经典例题3-3】根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
经典题型四：判断是否为一元一次方程
【经典例题4-1】下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题4-2】下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题4-3】下列方程：①；②；③；④；⑤中，其中是一元一次方程的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
经典题型五：利用一元一次方程的定义求参数
【经典例题5-1】已知是关于的一元一次方程，则 ．
【经典例题5-2】如果方程是关于x的一元一次方程，那么 ．
【经典例题5-3】若方程是关于的一元一次方程，则 ．
经典题型六：解一元一次方程（计算题）
【经典例题6-1】解方程
(1)；
(2)．
【经典例题6-2】解下列方程
(1)
(2)
【经典例题6-3】解方程：．
经典题型七：判断一元一次方程变形是否正确
【经典例题7-1】下列在解方程的过程中，变形正确的是（ ）
A．将去分母，得
B．将去括号，得
C．将移项，得
D．将，系数化为1，得
【经典例题7-2】下列解方程步骤中正确的是（ ）．
A．由移项，得
B．由去分母，得
C．由去括号，得
D．由两边同除以3，得
【经典例题7-3】下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，未知数系数化为1，得
B．方程，移项，得
C．方程，去括号，得
D．方程，去分母后化成
经典题型八：一元一次方程与流程图的结合
【经典例题8-1】如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【经典例题8-2】根据如图所示的计算程序，若输出的值为，则输入的值x为（ ）
A．或1 B．或 C．1或 D．或1或
【经典例题8-3】如图，按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值最多有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
经典题型九：一元一次方程中判断去分母是否正确
【经典例题9-1】在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题9-2】把方程去分母后，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题9-3】解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
经典题型十：一元一次方程中特殊解法
【经典例题10-1】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题10-2】若关于x的一元二次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题10-3】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
经典题型十一：一元一次方程中同解问题
【经典例题11-1】如果的解与的解相同，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【经典例题11-2】如果方程的解与方程的解相同，求式子的值．
【经典例题11-3】已知方程和方程的解相同，
(1)求的值；
(2)求代数式的值．
经典题型十二：判断一元一次方程解题步骤是否正确
【经典例题12-1】下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
任务一：填空
（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误；
任务二：请你求出方程正确的解．
【经典例题12-2】下面是珍珍解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
解：______，得， ……第一步 去括号，得， ……第二步 移项，得， ……第三步 合并同类，得， ……第四步 系数化为1，得． ……第五步
(1)珍珍求解过程中，第一步中的横线上应填______．
(2)珍珍的解答过程在第______步开始出现错误，出现错误的原因是违背了______（填字母）；
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．去括号法则
(3)请给出该题的正确解答．
【经典例题12-3】小丽做作业时解方程的步骤如下：
解：①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，得；
④合并同类项，得；
⑤系数化为1，得．
(1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号）
(2)请写出正确的解答过程．
经典题型十三：一元一次方程中定义新运算
【经典例题13-1】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【经典例题13-2】定义一种新运算：
，，．
观察上述各式的运算方法，解答下列问题：
(1)________，________；
(2)若，则________；
(3)计算：．
【经典例题13-3】我们来定义一种运算：．例如；再如： ．按照这种定义，当时，x的值是多少？
经典题型十四：一元一次方程的实际应用之销售问题
【经典例题14-1】一件上衣先按成本提高标价，再以折出售，结果获利元，若设这件上衣的成本价是元，根据题意，可得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题14-2】某电商平台决定举办“跨年”促销活动，对网上销售的某种蓝牙耳机按成本价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每个耳机仍可获利8元，若设这种耳机每件的成本为a元，则可列方程： ．
【经典例题14-3】运用一元一次方程完成下题
某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 40 60
售价（元/件） 50 80
(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？第一次获得的总利润为多少元？
(2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
经典题型十五：一元一次方程的实际应用之配套问题
【经典例题15-1】用铝片做听装饮料瓶，现有200张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可以配成一套，为使瓶身和瓶底刚好配套，则需多少张铝片制瓶身？若设用x张铝片制瓶身，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题15-2】某机械厂加工车间有名工人，平均每名工人每天只能加工大齿轮个或小齿轮个已知个大齿轮和个小齿轮配成一套，每天应分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有名，则可列方程为 ．
【经典例题15-3】七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个
(1)七年级四班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
经典题型十六：一元一次方程的实际应用之方案选择问题
【经典例题16-1】某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：
甲商店：买一支网球拍送一筒网球；
乙商店：网球拍与网球均按付款．
(1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元；
(2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠；
(3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值
【经典例题16-2】七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话：
你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票．
(1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？
(2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？
(3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样．
【经典例题16-3】环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案．
方案一：全体人员打8折；
方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折．
(1)若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？
(2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？
经典题型十七：一元一次方程的实际应用之比赛积分问题
【经典例题17-1】某市举办足球比赛，每队均需赛34场，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这次比赛中一场未负，共得70分，这个队在这次比赛中，胜了 场，平了 场．
【经典例题17-2】12月4日为全国法制宣传日，阳光中学组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
小宇 20 0 100
小辰 16 4 72
根据以上信息，请你解答下列问题：
(1)答对一题得________分，答错一题得________分；
(2)若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？答错了几道题？
【经典例题17-3】“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况：
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
(1)由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分；
(2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？
经典题型十八：一元一次方程的实际应用之日历问题
【经典例题18-1】如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这个数的和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题18-2】如图是年月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中个数（如、、、、）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的个数，则这个数的和可能为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题18-3】如图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：
(1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
(2)“型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，的值能否等于74？若能，求的值；若不能，说明理由．
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