浙教版七年级上册一元一次方程应用分类训练（1）（含解析）

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浙教版七年级上册一元一次方程应用分类训练
——路程问题&分段计费问题
一、解答题
1．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动．
（1）求当运动时间为1秒时点P表示的有理数；
（2）当点P与点B重合时，求运动时间；
（3）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出运动时间．
2．如图，将两个形状完全相同的长方形，放置在数轴上，它们的长为2，宽为1，C与表示的点重合，F与表示3的点重合，长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t．
（1）当时，点C表示的数为______，点F表示的数为______．
（2）当点C和点F重合时，求t的值．
（3）在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分．
①请求出有重叠部分时持续的时间．
②若C和点F重合后两长方形开始改变运动速度，长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴继续向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度继续沿数轴向左运动．当重叠部分周长是长方形周长的一半时，请直接写出此时点C所表示的数为______．
3．如图，在数轴上有A，B两点，b，且（a+53）2+|b﹣79|＝0．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A、B两点间往返运动.在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，Q停止运动．
（1）AB＝　 　（填空），并求运动了多长时间后，点P，以及相遇点所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使MA+MB＝MC，若存在，求出点M对应的数，若不存在；
（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？
4．甲、乙两车站相距450 km.一列慢车从甲站开出，行驶速度为65 km/h，一列快车从乙站开出，行驶速度为85 km/h.
（1）两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇
（2）两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车
（3）两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距50 km
5．如图，点O为数轴的原点，点A表示的数为7，边长为1的正方形BCDE在数轴上，此时点C在点A左边，且点C与点A的距离为3.
（1）写出数轴上点B表示的数为　 　.
（2）若正方形BCDE以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点P以每秒3个单位长度从原点出发沿数轴向右运动.
①当P，B两点相遇时，请求出此时点C在数轴上表示的数
②在整个运动过程中，当点P遇到点B时，立即以原速度沿数轴向左运动.若点C与点A的距离等于点P与点O的距离，此时P在数轴上表示的数为 .（直接写出答案即可）
6．如图，已知数轴上，两点对应数分别为和4，为数轴上一动点，对应数为．
（1）若为线段的三等分点，求点对应的数．
（2）数轴上是否存在点，使点到点、点距离之和为10？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）若点、点和点（点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度分、2个单位长度分和1个单位长度分，则经过多长时间点为的中点？
7．如图，数轴上、两点对应的数分别为、，点为数轴上一动点，点对应的数为．
（1）填空：若时，点到点、点的距离之和为　 　．
（2）填空：若点到点、点的距离相等，则　 　．
（3）填空：若，则　 　．
（4）若动点以每秒个单位长度的速度从点向点运动，动点以每秒个单位长度的速度从点向点运动，两动点同时运动且一动点到达终点时另一动点也停止运动，经过秒，求的值．
8．为增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：
用水量 水价
不超过6m3的部分 2元/m3
超过6 m3且不超过10 m3的部分 4元/m3
超过10 m3的部分 8元/m3
（1）某用户3月份用水15 m3，应交水费　 　元．
（2）已知某用户4月份交水费20元，则该用户4月份的用水量为　 　m3
（3）如果该用户5月份、6月份共用水20 m3(6月份用水量超过5月份用水量)，共交水费64元，则该户居民5月份、6月份各用水多少？
二、计算题
9．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题．
两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0．
（1）求数轴上点H、A所表示的数？
（2）若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒．
①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）．
②求（用含x的式子表示，结果需化简）．
（3）若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值．
三、综合题
10．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且我们将A，B两点间的距离记为AB.
（1）a=　 　，b=　 　，AB=　 　；
（2）若点C在数轴上，且AC+BC=35，求点C表示的有理数；
（3）M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12. P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍.设运动时间为t秒，当OP=QM时，求t的值.
11．十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称“个税法草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：
税级 现行征税方法 草案征税方法
月应纳税额x 税率 速算扣除数 月应纳税额x 税率 速算扣除数
1 x≤500 5% 0 x≤1500 5% 0
2 500＜x≤2000 10% 25 1500＜x≤4500 10% 　 　
3 2000＜x≤5000 15% 125 4500＜x≤9000 20% 　 　
4 5000＜x≤20000 20% 375 9000＜x≤35000 25% 975
5 20000＜x≤40000 25% 1375 35000＜x≤55000 30% 2725
注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额．
“速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．
例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：
方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5%+1500×10%+600×15%=265（元）．
方法二：用“月应纳税额x适用税率﹣速算扣除数”计算，即2600×15%﹣125=265（元）．
（1）请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；
（2）甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？
（3）乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？
12．受连日暴雨影响，某地甲乙两个村庄穴发泥石流灾害，急需从市中心东，西两个储备仓库调运救灾物资．已知这两个储备仓库均有救灾物资吨，其中村需要吨，村需要吨．从东仓库运往、两村的运费分别为元/吨和元/吨，从西仓库运往、两村的运费分别为元/吨和元/吨．
（1）设从东仓调运吨救灾物资去村，完成下列表格：
　 运往村的物资/吨 运往村的物资/吨
东仓库 　
西仓库 　 　
（2）调运结束之后，结算运费时发现，支付给东西两个仓库的运费相差元，求的值．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
初步尝试：
（1）如果点A表示数，将点A向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是_______
（2）如果点A表示数2，将A点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点B表示的数是_______
深入研究：
（3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点A表示的数是，乙选择的游戏起点B表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下：
“剪刀、石头、布”的结果 两点移动方式
平局 点A向右移动个单位，点B向左移动个单位
甲胜 点A向右移动4个单位，点B向右移动3个单位
乙胜 点A向左移动3个单位，点B向左移动4个单位
设甲、乙两人共进行了m次“剪刀、石头、布”（m为正整数）．
①当时，其中平局一次，甲胜两次，点A最终位置表示的数为_______，点B最终位置求示的数为_______，此时两点间的距离为_______．
②若在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，请用含太的式子表示点A和点B最终表示的数；点A和点B会重合吗？如果能重合，请求出m的值；如果点A和点B最终表示的数相距2，请直接写出满足条件的m的值．
14．如图数轴上有两个点、，分别表示的数是，．请回答以下问题：
（1）与之间距离为________，，中点对应的数为________．
（2）若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请思考出所有的移动方法，并直接写出移动后对应的数________．
（3）若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动：
①当点运动多少秒时，点和点重合？
②当点运动多少秒时，，之间的距离为个单位长度？
答案解析部分
1．【答案】（1）点表示的有理数为
（2）运动时间为秒
（3）秒或秒或秒或秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示
2．【答案】（1），1
（2）的值为3
（3）①有重叠部分时持续的时间为1秒；或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示
3．【答案】（1）132
（2）解：存在点M，使MA+MB＝MC设点M对应的数是m，
①当M在A左侧，即m＜﹣53时，MA=-53-m，MB=79-m，MC=81-m，∵ MA+MB＝MC ∴-53-m+79-m=81-m，解得m=-55，符合题意；
②当M点在A和原点之间时，即-53≤m≤0，MA=m-（-53），MB=79-m，MC=81-m，∵ MA+MB＝MC ∴m-（-53）+79-m=81-m，解得m=-51，符合题意；
③当M点在B和原点之间时，即0≤m≤79，MA=m-（-53），MB=79-m，MC=81-m，∵ MA+MB＝MC ∴m-（-53）+79-m=81-m，解得m=-51，不符合题意，舍去；
④当M点在B点右侧C点左侧时，即79≤m≤81，MA=m-（-53），MB=m-79，MC=81-m，∵ MA+MB＝MC ∴m-（-53）+m-79=81-m，解得m=，不符合题意，舍去；
⑤当M点在C点右侧时，即81＜m，MA=m-（-53），MB=m-79，MC=m-81，∵ MA+MB＝MC ∴m-（-53）+m-79=m-81，解得m=-55，不符合题意，舍去.
∴点M对应的数是﹣55或﹣51；
（3）解：根据题意可知：，运动总时间为：，点P运动的路程为：，点P运动的情况为：，即点P运动了3个来回后，又运动了44个单位长度，
∴点P和点Q一共相遇了7次，
∵﹣53+44＝﹣9，
∴点P所在的位置表示的数为﹣9．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解： （1）∵（a+53）2+|b﹣79|＝0∴a+53=0，b-79=0；解得a=-53，b=79.∴A、B两点分别表示的数为-53，79.∴AB=；（2）（3）
【分析】（1）平方和绝对值都具有非负性，即都大于或等于0，所以可得a+53=0，b-79=0，求得A点表示-53，B点表示79，二者绝对值相加即可求得线段AB的长（总结：求数轴上两点之间距离可用较大的数减较小的数）；分类讨论点M的位置，①当M在A左侧，即m＜﹣53时；②当M点在A和原点之间时，即-53≤m≤0；③当M点在B和原点之间时，即0≤m≤79；④当M点在B点右侧C点左侧时即79≤m≤81；⑤当M点在C点右侧时，即79≤m≤81，共五种情况，用较大的数减去较小数表示出线段长度.然后再根据已知等式求出点M表示的数，选取符合条件的数；（3）P、Q两点运动的时间相同，根据点Q的运动轨迹计算出时间，进而可求出点P的运动长度，再用点P的路程除以点P的速度，可得出点P运动了三个来回后，相对点A又向右移动了44个单位，由此可知点P表示的数为﹣53+44＝﹣9，即点P所在的位置表示的数为﹣9．
4．【答案】（1）解：3h
（2）解：22.5 h
（3）解：h或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
5．【答案】（1）3
（2）解：①设P、B两点相遇时间为秒，
由题意得：，
解得：，
此时点表示的数为：；
②0
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵点表示的数为，点在点左边，且点与点的距离为3；
∴点表示的数为：，
由题意：，
∴点表示的数为：，
故答案为：3；
(2)②、由①可知：相遇时、表示的数为4.5，点表示的数为5.5，
设相遇后的运动时间为秒，
当点与点的距离等于点到点的距离时，，，
∴，
解得：，
∴当时，点表示的数为：，
故答案为：0．
【分析】（1）根据点在点左边且点与点的距离为3求出点C表示的数，再根据正方形的边长即可求出数轴上点表示的数；
（2）①设P、B两点相遇时间为秒，由题意得：，可求出相遇时需要的时间，即可求出相遇时点在数轴上表示的数；
②由①可知相遇时点在数轴上表示的数，然后根据条件列出方程，求出满足条件时的运动时间，再根据运动时间即可求出点在数轴上表示的数．
6．【答案】（1）解：为线段的三等分点，且点、的对应的数分别为，4，
点对应的数为0，2．
（2）解：存在．
设点对应的数为，
点到点、点距离之和为10，
①当点P在A左侧，
，
∴，
②当点P在B右侧，
，
∴，
③当点P在AB中间，此情况不存在，
解得：或．
（3）解：设经过分点为的中点，
由题意得：，
解得：，
即经过2分钟点为的中点．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）先求出AB之间的距离，再根据点P的位置，即可求出点P所对应的数；
（2）分两种情况讨论，①当点P在A左侧，②当点P在B右侧，③当点P在AB中间，分别计算即可；
（3）设经过分点为的中点，根据线段中点的性质列出方程，，进而即可求解.
7．【答案】（1）54
（2）-7
（3）或
（4）解：依题意可知，．
动点运动速度快，
动点先到达终点，
动点到达终点需要，当到达秒时，运动停止．
当时分两种情况：
相遇之前，
根据题意得，，解得，
，满足题意；
相遇之后，
根据题意得，，解得，
，满足题意．
综上所述，的值为或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
8．【答案】（1）68
（2）8
（3）①当5月份用水不超过6m3时，设5月份用水ym3，则6月份用水(20-y)m3，
根据题意得2y+2×6+4×4+8(20-y- 10)= 64，
解得y= >6，不符合题意，舍去．
②当5月份用水超过6m3，但小于10m3时，设5月份用水zm3，
则2×6+4(z-6)+2×6+4×4+8×(20-z-10)=64，
解得z=8，符合题意.6月份用水20-8=12(m3 )．
③当5月份用水不低于10m3时，根据6月份用水量超过5月份用水量，不符合题意．
综上，5月份用水8 m3，6月份用水12 m3．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：(1)应交水费 2×6+4×(10-6)+8×(15-10)=68(元)．
故答案为68．
(2) ∵该用户4月份交水费20元，当用水为6 m3时，应交水费2×6=12(元)；当用水为10 m3时，应交水费2×6+(10-6) × 4=28(元)．又12<20<28，
∴设该用户4月份用水x m3(6根据题意得6×2+4×(x-6)=20，
解得x=8．
答：该用户4月份用水8m3．
【分析】 （1）根据“不超过6m3，单价为2元/m3，超出超出6m3不超出10m3的部分，单价为4元/m3，超出10m3的部分，单价为8元/m3，根据“水费=单价×数量”，可列算式计算求得应收水费；
（2）可以首先求出当用水10m3时的费用，根据“该户居民4月份交水费20元”，可得出该户4月份用水量的范围，再列出方程求解；
（3）分“5月份不超过6m3，6月份10立方米以上；或5月份超过6m3，在6-10立方米之间；以及5月份在10m3以上”三种情况分别讨论，再根据计算结果分析得出结论．
9．【答案】（1）点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是
（2）①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时，
（3）9秒或13秒
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
10．【答案】（1）-36；-20；16
（2）解：设点C表示的有理数为c，根据题意得：AC+BC=35：
①当点C在点A的左侧时，c<-36，
∴-36-c+(-20)-c=35，
解得：
②当点C在点A和点B之间时，AC+BC=AB=16，
∴点C不可能在A、B之间，
③当点C在点B的右侧时，c>-20，
∴c-(-36)+c-(-20)=35，
解得：
综上，点C表示的有理数为 或
（3）解：由(1) 得，A：a=-36，B：b=-20.
∵36÷4=9，20÷2=10，
∴当t=9时，点P到达点O；当t=10时，点Q到达点O；
由题意得：OP=QM，
①当点P、Q都在点O左侧，即0OP=|-36+4t|=36-4t，QM=|-20+2t|+12=20-2t+12=32-2t，
∴36-4t=32-2t，
解得：t=2；
②当点P点O右侧，点Q在点O左侧，即9OP=2(t-9)，QM=32-2t，
∴2(t-9)=32-2t，
解得：t=12.5(舍)；
③当点P点O右侧，点Q在点O与点M之间，即10OP=2(t-9)，QM=12-4(t-10)=52-4t，
∴2(t-9)=52-4t，
解得：
④当点P点O右侧，点Q在点M右侧，即t>13时，
OP=2(t-9)，QM=4(t-10)-12=4t-52，
∴2(t-9)=4t-52，
解得：t=17；
当点P点O重合时，t=9，OP=0，QM=14，不合题意；
当点Q点O重合时，t=10，OP=2，QM=12，不合题意；
当点Q点M重合时，t=13，OP=8，QM=0，不合题意；
综上，t的值为2或 或17.
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】(1)解：∵，
∴a+36=0，b+20=0.
解得：a=-36，b=-20，
∴AB=b－a=|-20-(-36)|=|36-20|=16；
故答案为：-36；-20；16；
【分析】（1）根据和偶次方以及绝对值的非负性，可求得a和b的值，利用数轴右边的数－数轴左边的数即可得AB的长；
（2）设点C表示的有理数为c，根据AC+BC=35，分①点C在点A的左侧时，c<-36；②当点C在点A和点B之间时，③当点C在点B的右侧时，c>-20，三种情况表示出AC和BC的长，得到关于c的方程，求解即可；
（3）分别计算出点P和点Q到达点O的时间，然后分①当点P、Q都在点O左侧，即013时，四种情况分别表示出OP和QM，再利用OP=QM得关于t的方程，求解即可.最后再讨论点P和Q正好在O点或M点时是否满足条件.
11．【答案】（1）解：3000×10%﹣1500×5%﹣1500×10%=75．
5000×20%﹣1500×5%﹣3000×10%﹣500×20%=525．
故表中填写：75，525
（2）解：列出现行征税方法和草案征税方法月税额缴个人所得税y：
税级 现行征税方法月税额缴个人所得税y 草案征税方法月税额缴个人所得税y
1 y≤25 y≤75
2 25＜y≤175 75＜y≤375
3 175＜y≤625 375＜y≤1275
4 625＜y≤3625 1275＜y≤7775
5 3625＜y≤8625 7775＜y≤13775
设甲的应税款是x元，因为1060元在第4税级，
所以有20%x﹣375=1060，
解得：x=7175（元）．
则他按“个税法草案”的应缴税款1500×5%+3000×10%+（6175﹣4500）×20%=710（元）
（3）解：设今年3月份乙工资为z元，
0.2（z﹣2000）﹣375=0.25（z﹣3000）﹣975，
∴z=19000，
∴（19000﹣2000）×0.2﹣375=（19000﹣3000）×0.25﹣975=3025元．
故乙今年3月所缴税款的具体数额为3025元
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）可假设是3000和5000元，根据方法一和方法二进行运算，从而算出结果．（2）先算出月应纳税额，然后看看在“个税法草案”的那个阶段中，从而求出结果．设此时月应纳税额为x元．因为1060元，所以在第4阶段．（3）设今年3月份乙工资为y元，根据乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不变，结合（2）中表格，可知两种方案都是在第4阶段．
12．【答案】（1）解：如图所示，从东仓调运 吨救灾物资去 村，
∴根据上述图示填表如下，
　 运往 村的物资/吨 运往 村的物资/吨
东仓库
西仓库
（2）解：由题意知：支付给东仓库的运费为： ，
支付给西仓库的运费为： ，
若 ，解得 ，
若 ，解得： ，不符合题意，应舍去．
∴ 的值为 ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）根据题意，假设未知量，列数式，得出答案。
（2）计算出东西仓库运费，两仓库运费相差220元，则得到两个方程，解方程，舍去不符合题意的即可得到答案。
13．【答案】（1）；
（2）7；
（3）①；；；
②点A最终表示的数为，点B最终表示的数为，当A、B重合时，；当点A和点B最终表示的数相距2时，或
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的其他应用；数学思想；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1），则点B表示的数为1，
故答案为：；
（2），则B点表示的数是7，
故答案为：7；
（3）①当时，平局一次，甲胜两次，则乙胜一次，
则点A为，点B为，
∴距离为
故答案为；；；；
②在m次游戏中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次，
∴点A为，
点B为，
当A、B重合时，可得，
解得；
当A、B相距2时，可得，
解得或
【分析】（1）数轴上移动时，向左减，向右加，由此计算即可；
（2）数轴上移动时，向左减，向右加，由此计算即可；
（3）①先确定平局，甲胜，乙胜的次数，再根据移动规律计算得到点A和点B，进而得到AB距离；②确定平局，甲胜，乙胜的次数，再根据移动规律求解A、B点的表达式，结合题意列方程求解即可．
14．【答案】（1），
（2），，
（3）①秒；②秒或秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离
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