第4章 图形与坐标 单元检测能力提升卷（含解析）

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第4章 图形与坐标 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系中，点（﹣2，a2+3）一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．点M（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
3．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标一定是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）
4．在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
5．在平面直角坐标系中，将点M（﹣1，4）绕原点顺时针旋转90°后得到的点N的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（1，﹣4） C．（4，1） D．（﹣1，﹣4）
6．已知点A（a﹣1，2b﹣4）在y轴上，点B（3a﹣6，b+4）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（　　）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（﹣2，2） D．（﹣4，﹣2）
7．如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（　　）
A． B．（1，﹣1） C． D．
8．若点A（x，y）的坐标满足等式x+y﹣xy＝0，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为4，则该点的坐标为（　　）
A． 或（2，2） B． 或
C． 或（﹣2，﹣2） D． 或
9．下列说法中，正确的个数为（　　）
①若ab＜0，则点P（a，b）在第三象限；
②若点P（a，b）在第一象限的角平分线上，则a＝b；
③点P（a，b）到x轴的距离为|a|，到y轴的距离为|b|；
④若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（a，3），则直线AB∥x轴．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，电子蚂蚁P从点A1（﹣2，2）出发，第1次跳到A2（﹣1，2），第2次跳到A3（﹣1，1），第3次跳到A4（﹣2，1），第4次跳到A5（0，2），第5次跳到A6（0，1），……以此类推，那么第30次跳到了（　　）
A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在电影票上将“10排8号”前记为（10，8），那么（25，11）表示的意义是 　 　．
12．直角坐标系中，点P（a，3）关于原点的对称点为Q（2，﹣3），则a＝ 　 　．
13．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 　 　．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，3），B（a﹣1，a+2），且AB∥x轴，则点B的坐标是　 　．
15．在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是 　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，∠MON＝30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则B2024的横坐标为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知点P（2m﹣6，m+1），试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大5；
（3）在（2）的条件下，直线PQ∥y轴，且PQ＝4，直接写出点Q的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，2），B（2，7），C（0，3），将△ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到ΔOB'C'，其中B'、C'分别为点B、C的对应点，点P（m，n）为△ABC内一点，经上述平移后点P的对应点是点P'．
（1）直接写出，点B'的坐标 　 　，C′的坐标 　 　．
（2）直接写出，点P'的坐标是 　 　．
（3）求△ABC的面积．
19．在平面直角坐标系中，直线1为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣1，2）的一次反射点为（1，2），二次反射点为（2，1）．根据定义，回答下列问题：
（1）点（3，﹣4）的一次反射点为 　 　；二次反射点为 　 　；
（2）若P（m+1，2n﹣1）的第一次反射点和Q（﹣3，4）的第二次反射点重合，求m+n的值．
20．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O—C—B—A—O的线路移动．
（1）a＝　 　，b＝　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）当点P移动4秒时，求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
21．五子棋和象棋、围棋一样深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上先连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图（部分），甲执黑子先行．白①的位置是（﹣1，2），白③的位置是（0，﹣1）．若将白①向下平移2个单位，再向右平移3个单位后到白②的位置．
（1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy并直接写出白②的坐标；
（2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标．
22．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出格点A、B的坐标；
（2）将点A、B、C、D的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，依次得到点E、F、G、H，用线段顺次连接起来，画出四边形EFGH，则四边形EFGH与四边形ABCD有怎样的位置关系？
（3）求四边形EFGH的面积．
23．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 　 　；
（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．
24．“2024 ESG全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球ESG合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点P0（m，n）作如下“可持续发展”变换：若m≥n，则作它关于x轴的对称点；若m＜n，则作它关于y轴的对称点．点P0作第一次“可持续发展”变换得到点P1，再将点P1作第二次“可持续发展”变换得到点P2．若P0与P2重合，我们称点P0为“可持续发展点”；若P0与P2不重合，我们称点P0为“合作共赢点”．
（1）将点P0（3，2）作如上“可持续发展”变换，则点P1的坐标为 　 　，点P2的坐标为 　 　，由此，点P0为“　 　点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）；
（2）若点P0（m+n）为第三象限中的一点，求证：P0必为“合作共赢点”，且S＝2mn；
（3）若点P0（m，n）为第三象限中的一点，且P0P1＝18，S＝18．若t为实数，m＞n，当|t2﹣mn|﹣m＝10+n时，求出t的值和P0的坐标．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点（﹣2，a2+3）一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】先判断出点的纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解析】解：∵a2≥0，
∴a2+3＞0，
∴点（﹣2，a2+3）一定在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握平面直角坐标系中各个象限内坐标的符号特点是关键．
2．点M（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
【点拨】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解析】解：由M（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标一定是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）
【点拨】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解析】解：∵点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标是2，纵坐标是﹣3，
∴点P的坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
4．在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
【点拨】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解析】解：∵点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，
∴a＝5，b＝﹣1，
∴a﹣b＝5+1＝6．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
5．在平面直角坐标系中，将点M（﹣1，4）绕原点顺时针旋转90°后得到的点N的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（1，﹣4） C．（4，1） D．（﹣1，﹣4）
【点拨】过点M作MG⊥x轴于点G，过点N作NH⊥x轴于点H，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可．
【解析】解：过点M作MG⊥x轴于点G，过点N作NH⊥x轴于点H，
∵∠MGO＝∠OHN＝90°，∠MON＝90°，
∴∠GOM+∠GMO＝90°，∠GOM+∠HON＝90°，
∴∠GMO＝∠HON，
在△MGO和△OHN中，
∴△MGO≌△OHN（AAS），
∴MG＝OH，GO＝HN．
∵点M（﹣1，4），
∴MG＝OH＝4，GO＝HN＝1，
∵点N在第一象限，
故点N（4，1），
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．已知点A（a﹣1，2b﹣4）在y轴上，点B（3a﹣6，b+4）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（　　）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（﹣2，2） D．（﹣4，﹣2）
【点拨】在y轴上的点横坐标为0，在x轴上的点的纵坐标是0，据此进行解答即可．
【解析】解：由条件可知：a﹣1＝0，b+4＝0，
解得a＝1，b＝﹣4，
∴C（1，﹣4），
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标轴上的点的特征，在y轴上的点横坐标为0，在x轴上的点的纵坐标为0是解答本题的关键．
7．如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（　　）
A． B．（1，﹣1） C． D．
【点拨】A1B1交x轴于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB＝45°，再利用旋转的性质得A1B1＝AB＝2，∠1＝45°，∠OA1B1＝45°，则∠2＝45°，于是可判断OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到OH＝A1H＝B1H＝A1B1＝1，然后写出点A1的坐标．
【解析】解：A1B1交x轴于H，如图，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，
∴A1B1＝AB＝2，∠1＝45°，∠OA1B1＝45°，
∴∠2＝45°，
∴OH⊥A1B1，
∴OH＝A1H＝B1H＝A1B1＝1，
∴点A1的坐标为（1，﹣1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是判断A1B1被x轴垂直平分．
8．若点A（x，y）的坐标满足等式x+y﹣xy＝0，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为4，则该点的坐标为（　　）
A． 或（2，2） B． 或
C． 或（﹣2，﹣2） D． 或
【点拨】根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标．
【解析】解：∵到x轴的距离为4，
∴y＝4或y＝﹣4，
当y＝4时，
x+y﹣xy＝x+4﹣4x＝0，
解得x＝，
∴该点的坐标为（，4）；
当y＝﹣4时，
x+y﹣xy＝x﹣4+4x＝0，
解得x＝，
∴该点的坐标为（，﹣4）．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是用代入法来求出点的坐标．
9．下列说法中，正确的个数为（　　）
①若ab＜0，则点P（a，b）在第三象限；
②若点P（a，b）在第一象限的角平分线上，则a＝b；
③点P（a，b）到x轴的距离为|a|，到y轴的距离为|b|；
④若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（a，3），则直线AB∥x轴．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】①根据ab＜0，得出a与b异号，进而判断点P（a，b）所在的象限；
②根据角平分线的性质以及第一象限内点的坐标特征即可判断a与b的大小关系；
③根据点的坐标以及点到直线的距离的定义即可判断；
④根据点的坐标的定义即可判断．
【解析】解：①∵ab＜0，∴a与b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，∴点P（a，b）在第四或第二象限，故说法①错误；
②若点P（a，b）在第一象限的角平分线上，则a＝b，故说法②正确；
③点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，故说法③错误；
④若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（a，3），则直线AB∥x轴，故说法④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，各象限内点的坐标特征，角平分线的性质，点到直线的距离等知识，难度适中．
10．如图，电子蚂蚁P从点A1（﹣2，2）出发，第1次跳到A2（﹣1，2），第2次跳到A3（﹣1，1），第3次跳到A4（﹣2，1），第4次跳到A5（0，2），第5次跳到A6（0，1），……以此类推，那么第30次跳到了（　　）
A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3）
【点拨】最左边一列的点分别是电子蚂蚁第1次，第4次，第9次，第16次到达的点，判断出第25次到达的点也在最左边一列，进而往后面数5个点，可得到第30次跳的位置．
【解析】解：∵最左边一列的点分别是电子蚂蚁第1次，第4次，第9次，第16次到达的点，
∴接近30次且小于30次的第25次到达的点也在最左边一列，
∴从点（3，3）开始，再数5个点到达点（3，﹣2）即为电子蚂蚁第30次到达的位置．
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标的规律性问题．找到图中最左边一列的点是第几次到达的点的规律，是解决本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在电影票上将“10排8号”前记为（10，8），那么（25，11）表示的意义是 　25排11号　．
【点拨】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数，然后写出即可．
【解析】解：∵“10排8号”记为（10，8），
∴（25，11）表示的意义是25排11号．
故答案为：25排11号．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
12．直角坐标系中，点P（a，3）关于原点的对称点为Q（2，﹣3），则a＝ 　﹣2　．
【点拨】根据关于原点对称的两点纵横坐标互为相反数解答即可．
【解析】解：∵点P（a，3）与点Q（2，﹣3）关于原点对称，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟知关于原点对称的两点纵横坐标互为相反数是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 　（﹣1，1）　．
【点拨】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加计算即可．
【解析】解：点A（1，﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，此时坐标为（1﹣2，﹣2+3）．
即（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变换，熟知向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加是解题的关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，3），B（a﹣1，a+2），且AB∥x轴，则点B的坐标是　（0，3）　．
【点拨】根据AB∥x轴，两点的纵坐标相同，列方程求出a值，即可得到点B坐标．
【解析】解：∵A（2，3），B（a﹣1，a+2），且AB∥x轴，
∴a+2＝3，
解得：a＝1，
∴B（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平行于x轴直线上的点的纵坐标相同是关键．
15．在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是 　　．
【点拨】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得，解不等式组可得答案．
【解析】解：因为在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，
所以，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，∠MON＝30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则B2024的横坐标为 　3×22022　．
【点拨】过点B1作B1C⊥x轴于点C，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得A1B1＝OA1＝1，然后利用等腰三角形的性质可得A1C的长，即可得点B1的横坐标，同样的方法分别求出点B2，B3，B4的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得．
【解析】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠A2A1B1＝60°，
∴∠OB1A1＝30°＝∠A1OB1，
∴A1B1＝OA1＝1，A1A2＝A1B1＝1，
∴，
∴，即点B1的横坐标为，
同理可得：点B2的横坐标为，
点B3的横坐标为，
点B4的横坐标为，
点B5的横坐标为24×，
点B6的横坐标为25×，
点B7的横坐标为26×，
……，
归纳类推得：点Bn的横坐标为（n为正整数），
则点B2024的横坐标为3×22024﹣2＝3×22022，
故答案为：3×22022．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质，找到坐标规律是关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知点P（2m﹣6，m+1），试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大5；
（3）在（2）的条件下，直线PQ∥y轴，且PQ＝4，直接写出点Q的坐标．
【点拨】（1）y轴上的点的横坐标为0，从而可求得m的值，则问题可解；
（2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可；
（3）根据题意解答即可．
【解析】解：（1）∵点P在y轴上，
∴2m﹣6＝0，
∴m＝3，
∴m+1＝4，
∴P（0，4）；
（2）∵点P的纵坐标比横坐标大5，
∴m+1﹣（2m﹣6）＝5，
解得m＝2，
∴2m﹣6＝﹣2，m+1＝3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）；
（3）∵P（﹣2，3），PQ＝4，直线PQ∥y轴，
∴Q（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，2），B（2，7），C（0，3），将△ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到ΔOB'C'，其中B'、C'分别为点B、C的对应点，点P（m，n）为△ABC内一点，经上述平移后点P的对应点是点P'．
（1）直接写出，点B'的坐标 　（﹣2，5）　，C′的坐标 　（﹣4，1）　．
（2）直接写出，点P'的坐标是 　（m﹣4，n﹣2）　．
（3）求△ABC的面积．
【点拨】（1）根据平移的规律即可得到结论；
（2）根据平移的规律即可得到结论；
（3）利用割补法求解即可．
【解析】解：（1）由△ABC得到ΔOB'C'的一种平移方式为：先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度；
所以点B'的坐标（﹣2，5），C′的坐标（﹣4，1）；
故答案为：（﹣2，5），（﹣4，1）；
（2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣2）；
故答案为：（m﹣4，n﹣2）；
（3）△ABC的面积＝5×4﹣×4×1﹣×2×4﹣×2×5＝9．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移和三角形面积，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
19．在平面直角坐标系中，直线1为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣1，2）的一次反射点为（1，2），二次反射点为（2，1）．根据定义，回答下列问题：
（1）点（3，﹣4）的一次反射点为 　（﹣3，﹣4）　；二次反射点为 　（﹣4，﹣3）　；
（2）若P（m+1，2n﹣1）的第一次反射点和Q（﹣3，4）的第二次反射点重合，求m+n的值．
【点拨】（1）根据题干中的一次反射点，二次反射点的定义求解即可；
（2）依据题意，分别P的第一次反射点和Q的第二次反射点重合，进而列式计算可以得解．
【解析】解：（1）根据题意，结合平面直角坐标系，可得到：
点（3，﹣4）的一次反射点为（﹣3，﹣4），
二次反射点为（﹣4，﹣3），
故答案为：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3）；
（2）由题意，∵P为（m+1，2n﹣1），
∴P的第一次反射点（﹣m﹣1，2n﹣1）．
又∵Q为（﹣3，4），
∴Q的第一次反射点为（3，4）．
∴Q的第二次反射点为（4，3）．
又∵P（m+1，2n﹣1）的第一次反射点和Q（﹣3，4）的第二次反射点重合，
∴﹣m﹣1＝4，2n﹣1＝3．
∴m＝﹣5，n＝2．
∴m+n＝﹣5+2＝﹣3．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题时要熟练掌握并能灵活借助数形结合是关键．
20．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O—C—B—A—O的线路移动．
（1）a＝　4　，b＝　6　，点B的坐标为 　（4，6）　；
（2）当点P移动4秒时，求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【点拨】（1）根据，可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；
（2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
【解析】解：（1）∵a、b满足，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得：a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6）．
故答案为：4；6；（4，6）．
（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，
∴2×4＝8，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8﹣6＝2，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（2，6）．
（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况：
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：5÷2＝2.5（秒），
第二种情况，当点P在BA上时，
点P移动的时间是：（6+4+1）÷2＝5.5秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
21．五子棋和象棋、围棋一样深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上先连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图（部分），甲执黑子先行．白①的位置是（﹣1，2），白③的位置是（0，﹣1）．若将白①向下平移2个单位，再向右平移3个单位后到白②的位置．
（1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy并直接写出白②的坐标；
（2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标．
【点拨】（1）根据白①的位置是（0，3），画出直角坐标系即可；
（2）根据五子连棋的规则，据此即可确定点的坐标．
【解析】解：（1）画出平面直角坐标系xOy如图所示：
白②的坐标是（2，0）．
（2）结合图形可知，甲的落子位置为（3，3）或（5，1）或（1，﹣2）或（4，3）．
【点睛】本题考查了坐标确定点的位置的方法．关键是根据题目所给的表示方法，结合图形确定黑棋的落点．
22．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出格点A、B的坐标；
（2）将点A、B、C、D的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，依次得到点E、F、G、H，用线段顺次连接起来，画出四边形EFGH，则四边形EFGH与四边形ABCD有怎样的位置关系？
（3）求四边形EFGH的面积．
【点拨】（1）写出点A、B坐标即可；
（2）根据横坐标分别乘﹣1，得到横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得出两个图形关于y轴对称；
（3）分割法求四边形的面积即可．
【解析】解：（1）A（﹣4，4），B（﹣5，3）；
（2）A（﹣4，4），B（﹣5，3），C（﹣4，1），D（﹣1，3），
横坐标分别乘﹣1，依次得到点E（4，4）、F（5，3）、G（4，1）、H（1，3），
作图如下：
由图可知：两个图形关于y轴对称；
（3）由图可知：四边形的面积为：．
【点睛】本题考查坐标与轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键．
23．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 　（2，14）　；
（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．
【点拨】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐标．
【解析】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（x，y）的“2级开心点”是点Q（4，8），
∴
解得，
∴点P的坐标为（0，4）；
（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），
①P′位于x轴上，
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，
解得：m＝﹣，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝，
∴P′（，0）．
②P′位于y轴上，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝3
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，
∴P′（0，﹣16）．
综上所述，点P′的坐标为（，0）或（0，﹣16）．
【点睛】本题考查点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．“2024 ESG全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球ESG合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点P0（m，n）作如下“可持续发展”变换：若m≥n，则作它关于x轴的对称点；若m＜n，则作它关于y轴的对称点．点P0作第一次“可持续发展”变换得到点P1，再将点P1作第二次“可持续发展”变换得到点P2．若P0与P2重合，我们称点P0为“可持续发展点”；若P0与P2不重合，我们称点P0为“合作共赢点”．
（1）将点P0（3，2）作如上“可持续发展”变换，则点P1的坐标为 　（3，﹣2）　，点P2的坐标为 　（3，2）　，由此，点P0为“　可持续发展　点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）；
（2）若点P0（m+n）为第三象限中的一点，求证：P0必为“合作共赢点”，且S＝2mn；
（3）若点P0（m，n）为第三象限中的一点，且P0P1＝18，S＝18．若t为实数，m＞n，当|t2﹣mn|﹣m＝10+n时，求出t的值和P0的坐标．
【点拨】（1）根据“可持续发展”变换的定义及“可持续发展点”的定义进行求解即可；
（2）分为①当n≤m＜0时，②当m＜n＜0时，两种情况结合新定义求解即可；
（3）先根据新定义求得m＝﹣1，n＝﹣9，即P0的坐标为（﹣1，﹣9），再由|t2﹣mn|﹣m＝10+n，求得t＝±3，即可求解．
【解析】（1）解：∵P0（3，2）中，3＞2，
∴点P0作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点P1（3．﹣2），
∵P1（3，﹣2）中，3＞﹣2，
∴点P1作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点P2（3，2），
∴P0与P2重合，
∴P0（3，2）为“可持续发展点”，
故答案为：（3，﹣2）；（3，2）；可持续发展；
（2）证明：①当n≤m＜0时，作点P0关于x轴的对称点P1（m，﹣n），
∵n≤m＜0，
∴﹣n＞m，
∴作点P1关于y轴的对称点P2（﹣m，﹣n），
∴P0P1＝﹣2n，P1P2＝﹣2m，且P0P1⊥P1P2，
∴．
②当m＜n＜0时，作点P0关于y轴的对称点P1（﹣m，n），
∵m＜n＜0，
∴﹣m＞n，
∴作点P关于x轴的对称点P2（﹣m，﹣n），
∴P0P1＝﹣2m，P1P2＝﹣2n，且P0P1⊥P1P2，
∴，
综上所述，P0（m，n）与P2（﹣m，﹣n）不重合，
∴P0必为“合作共赢点”，且，
（3）解：∵m＞n，
∴作点P0关于x轴的对称点P1（m，﹣n），
∴P0P1＝﹣2n＝18，
∴n＝﹣9，
又由（2）可知，，
∴，
求得m＝﹣1，n＝﹣9，
即P0的坐标为（﹣1，﹣9），
∵|t2﹣mn|﹣m＝10+n，
∴|t2﹣9|＝0，
∴t＝±3．
∴t＝±3，P0的坐标为（﹣1，﹣9）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化，新定义问题和三角形的面积，深入理解“可持续发展”变换是解决问题的关键．
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