【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上4.3 相似三角形 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·青神期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·阜阳期中）如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．．
3．如图 所示， ， 则 的长为( )
A．4 B． C．2 D．3
4．（2023九上·新北月考）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题
得分
5． 如图， 在 中， ， 点 在 上且 ， 点 在 上， 连结 ．若 与 相似， 则
6．（【全品中考】复习方案数学作业手册B本常见易错点提醒）如图， 在矩形 中， 为 边上的动点， 当 与 相似时， .
阅卷人 三、解答题
得分
7．如图，BC平分∠ABD，AB=4，BD=9．若△ABC∽△CBD，求BC的长．
8．（2022九上·温州期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.
9．（2024九上·婺城开学考）如图，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
10．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段所在的直线叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
11．如图，已知△ABC∽△ADE，AE=6，EC=4，BC=8，∠A=40°，∠C=35°．求：
（1）∠AED和∠ADE的大小．
（2）DE的长．
12．（2024·金平模拟）如图，、为的直径，连接、、、.点M在上，点N在上，且，.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴AC2=AD×AB，
∴A、B、C三个选项均成立，不符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的性质可得，再化简可得AC2=AD×AB，最后逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△AED，
∴，
∴A不成立；C不成立；
B：可得出 ，所以B不成立；
D： 可得，所以D成立。
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AD=1，AB=2，
∴，
∴AC=4，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边成比例的性质得，然后代入AD、AB的值，即可求出AC的值.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，
即x：（8﹣x）=3：4，
解得：x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，
即x：4=3：（8﹣x），
解得：x=2或x=6．
综上可得：满足条件的点P的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，然后根据相似三角形对应边的比相等可得关于x的方程，解方程求出AP的长，即可求解．
5．【答案】5 或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当△AEF∽△ABC时
∴，即
解得：
当△AEF∽△ACB时
∴，即
解得：AF=5
综上所述，AF=5 或
故答案为：5 或
【分析】根据相似三角形性质分情况讨论：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时，根据相似比，代值计算即可求出答案.
6．【答案】1 或 4 或 2.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，
①当△ADP与△BCP相似但不全等时，
，即，
解得：DP=1或DP=4；
②当△ADP与△BCP相似且全等时，
DP=CP=CD=2.5；
综上可得：当△ADP与△BCP相似时，DP的长为1或4或2.5.
故答案为：1或4或2.5.
【分析】由题意分两种情况，①当△ADP与△BCP相似但不全等时，可得比例式求解；
②当△ADP与△BCP相似且全等时，可得点P为CD的中点，根据线段中点的定义即可求解.综合两种情况即可求解.
7．【答案】解：∵ △ABC∽△CBD ，
∴，
∵AB=4，BD=9 ，
∴BC2=AB·BD=4×9=36，
∴BC=6，
【知识点】相似三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例即可求解.
8．【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
即的长度为5.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例得 ，代入数值计算即可得出DF的长，再根据矩形的对边相等得DC的长，最后根据FC=DC-DF即可算出答案.
9．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）根据的值，然后代入AE的长求解即可．
（1）∵
∴
（2）∵，
∴．
10．【答案】（1）解：.
，
；
（2）解：由已知可得，
.
设，则，
.
，即.
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得，利用相似三角形的性质可得， 再利用角的和差即可求解；
（2）设BD=x，则AB=x+2，由题意知可得，据此求出x值，即得BD的长，再根据相似三角形的性质即可求解.
11．【答案】（1）解：由图和已知： ∠A=40°，∠C=35°，
由三角形内角和定理可算得∠B=180°-（∠A+∠C）=180°-（40°＋35°） =105°，
又 △ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠C=35°，∠ADE=∠B=105°.
（2）解：由已知AE=6，EC=4， 得AC=AE+EC=10，又 BC=8，
由相似三角形的性质得，
即，
解之得.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理先算得∠B，再由相似三角形的性质对应角相等可得∠AED和∠ADE的大小；
（2）先由已知 AE=6，EC=4，算得AC，再由三角形相似的性质对应边成比例列比例式可算得DE的长.
12．【答案】（1）证明：、为的直径，
，
四边形为矩形，
.
，
，
；
（2）证明：延长交于点E，连接、.
，
∴根据垂径定理得，，
.
，，
∴OM是中位线，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
；
（3）解：设，则，
，，
，
，
∴，
，
，
解得x1=3，x2=-8，
，
，
，
在中，，
由（2）得，，
，，
.
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）先根据圆的性质证四边形ABCD是矩形，得∠ADC=90°，再根据得∠ADC=∠AMD=90°，从而DM⊥AC；
（2）延长DM交于点E，连接BE，CE，由（1）有DM⊥AC，根据垂直定理得MD=ME，CD=CE，从而得∠DAC=∠CBE，接下来证OM是中位线，得出BE的长，从而得AN=BE，再利用矩形的性质得AD=BC，证出，得∠ADN=∠BCE，利用“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”得∠BDE=∠BCE，最后得证∠ADN=∠ODM；
（3）设ON=X，则AO=2+x，从而求出AM=3+x、AC=4+2x的长，利用相似三角形的性质得，然后列出关于x的方程，解方程求出x的值，再利用勾股定理求CD的长，最后由（2）得DN=CD.
1 / 1【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上4.3 相似三角形 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·青神期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴AC2=AD×AB，
∴A、B、C三个选项均成立，不符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的性质可得，再化简可得AC2=AD×AB，最后逐项分析判断即可.
2．（2023九上·阜阳期中）如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△AED，
∴，
∴A不成立；C不成立；
B：可得出 ，所以B不成立；
D： 可得，所以D成立。
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，即可得出答案。
3．如图 所示， ， 则 的长为( )
A．4 B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AD=1，AB=2，
∴，
∴AC=4，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边成比例的性质得，然后代入AD、AB的值，即可求出AC的值.
4．（2023九上·新北月考）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，
即x：（8﹣x）=3：4，
解得：x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，
即x：4=3：（8﹣x），
解得：x=2或x=6．
综上可得：满足条件的点P的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，然后根据相似三角形对应边的比相等可得关于x的方程，解方程求出AP的长，即可求解．
阅卷人 二、填空题
得分
5． 如图， 在 中， ， 点 在 上且 ， 点 在 上， 连结 ．若 与 相似， 则
【答案】5 或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当△AEF∽△ABC时
∴，即
解得：
当△AEF∽△ACB时
∴，即
解得：AF=5
综上所述，AF=5 或
故答案为：5 或
【分析】根据相似三角形性质分情况讨论：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时，根据相似比，代值计算即可求出答案.
6．（【全品中考】复习方案数学作业手册B本常见易错点提醒）如图， 在矩形 中， 为 边上的动点， 当 与 相似时， .
【答案】1 或 4 或 2.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，
①当△ADP与△BCP相似但不全等时，
，即，
解得：DP=1或DP=4；
②当△ADP与△BCP相似且全等时，
DP=CP=CD=2.5；
综上可得：当△ADP与△BCP相似时，DP的长为1或4或2.5.
故答案为：1或4或2.5.
【分析】由题意分两种情况，①当△ADP与△BCP相似但不全等时，可得比例式求解；
②当△ADP与△BCP相似且全等时，可得点P为CD的中点，根据线段中点的定义即可求解.综合两种情况即可求解.
阅卷人 三、解答题
得分
7．如图，BC平分∠ABD，AB=4，BD=9．若△ABC∽△CBD，求BC的长．
【答案】解：∵ △ABC∽△CBD ，
∴，
∵AB=4，BD=9 ，
∴BC2=AB·BD=4×9=36，
∴BC=6，
【知识点】相似三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例即可求解.
8．（2022九上·温州期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.
【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
即的长度为5.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例得 ，代入数值计算即可得出DF的长，再根据矩形的对边相等得DC的长，最后根据FC=DC-DF即可算出答案.
9．（2024九上·婺城开学考）如图，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）根据的值，然后代入AE的长求解即可．
（1）∵
∴
（2）∵，
∴．
10．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段所在的直线叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【答案】（1）解：.
，
；
（2）解：由已知可得，
.
设，则，
.
，即.
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得，利用相似三角形的性质可得， 再利用角的和差即可求解；
（2）设BD=x，则AB=x+2，由题意知可得，据此求出x值，即得BD的长，再根据相似三角形的性质即可求解.
11．如图，已知△ABC∽△ADE，AE=6，EC=4，BC=8，∠A=40°，∠C=35°．求：
（1）∠AED和∠ADE的大小．
（2）DE的长．
【答案】（1）解：由图和已知： ∠A=40°，∠C=35°，
由三角形内角和定理可算得∠B=180°-（∠A+∠C）=180°-（40°＋35°） =105°，
又 △ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠C=35°，∠ADE=∠B=105°.
（2）解：由已知AE=6，EC=4， 得AC=AE+EC=10，又 BC=8，
由相似三角形的性质得，
即，
解之得.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理先算得∠B，再由相似三角形的性质对应角相等可得∠AED和∠ADE的大小；
（2）先由已知 AE=6，EC=4，算得AC，再由三角形相似的性质对应边成比例列比例式可算得DE的长.
12．（2024·金平模拟）如图，、为的直径，连接、、、.点M在上，点N在上，且，.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长。
【答案】（1）证明：、为的直径，
，
四边形为矩形，
.
，
，
；
（2）证明：延长交于点E，连接、.
，
∴根据垂径定理得，，
.
，，
∴OM是中位线，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
；
（3）解：设，则，
，，
，
，
∴，
，
，
解得x1=3，x2=-8，
，
，
，
在中，，
由（2）得，，
，，
.
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）先根据圆的性质证四边形ABCD是矩形，得∠ADC=90°，再根据得∠ADC=∠AMD=90°，从而DM⊥AC；
（2）延长DM交于点E，连接BE，CE，由（1）有DM⊥AC，根据垂直定理得MD=ME，CD=CE，从而得∠DAC=∠CBE，接下来证OM是中位线，得出BE的长，从而得AN=BE，再利用矩形的性质得AD=BC，证出，得∠ADN=∠BCE，利用“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”得∠BDE=∠BCE，最后得证∠ADN=∠ODM；
（3）设ON=X，则AO=2+x，从而求出AM=3+x、AC=4+2x的长，利用相似三角形的性质得，然后列出关于x的方程，解方程求出x的值，再利用勾股定理求CD的长，最后由（2）得DN=CD.
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