2024-2025学年第二学期八年级数学 第2章 一元二次方程 单元测试卷（含答案）

一元二次方程单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程有一个根是，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
3．方程 的根的情况是（　　）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（　　）
A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根
C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况
5．已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（　　）
A．﹣4，4 B．﹣4，1 C． D．
6．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值，对于方程-4x2+3=5x，下列叙述正确的是（　　）
A．a=-4，b=5，c=3 B．a=-4，b=-5，c=3
C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=-5，c=-3
7．已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 .下列结论错误的是（　　）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
8．如图，在一块长为米，宽为米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分即图中阴影部分改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求的值根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．若是方程的一个根，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．0
10．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （　　）．
A．a≤ B．a≥4
C．a≤或 a≥4 D．≤a≤4
二、填空题（每题3分，共18分）
11．设、是方程的两个实数根，则的值为　 　．
12．如果三角形的两条边长分别是4和7，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是　 　．
13．已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是　 　．
14．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　 　．
15．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是　 　．
16．如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是　 　．
三、计算题（每题3分，共9分）
17．按要求解方程：
（1）（用因式分解法）； （2） （用配方法）．
（用公式法）．
四、综合题（18-19、21每题6分，20每题7分，22、23每题9分，共43分）
18．已知关于 的方程 .
（1）求证： 取任何实数，方程总有实数根；
（2）若直角三角形 的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求 的值.
19．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
（1）若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
20．某酒店有50个标准房间提供住宿，所有房价价格一致．当房间单价定为180元/间·天时，酒店会全部住满．据测算，单价每增加10元，就会有一个房间空闲．有客人居住的房间，每个房间每天需要支出各种费用20元．
（1）若每个房间单价增加100元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若酒店某一天获利10640元，则房间单价定为多少元？
（3）房间单价定为多少元时，酒店可以获得最大利润？
21．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=x1x2﹣5，求k的值．
22．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
23．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1 x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 + 的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】A、∵方程的未知数的最高次是1次，∴A不是一元二次方程，不符合题意；
B、∵方程只有一个未知数，且未知数的最高次是2次，∴B是一元二次方程，符合题意；
C、∵方程有两个未知数，∴C不是一元二次方程，不符合题意；
D、∵方程是分式方程，∴D不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：B.
2．【答案】D
【解析】【解答】∵ 一元二次方程有一个根是，
∴将x=1代入方程，可得：1+m-4=0，
解得：m=3，
故答案为：D.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
4．【答案】A
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2＋bx＋a＝0的一个正根相等，
∴ax2＋bx＋1＝x2＋bx＋a，
解得x2＝1，
∴正根为1，
∵ax2＋bx＋1＝0的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程x2＋bx＋a＝0有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则1×m＝a＝，
∴m＝，
∴另一个根为，
∴x2＋bx＋a＝0的两个根分别为1，．
故选：D．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：将方程化为一般式可得，-4x2-5x+3=0
∴a=-4，b=-5，c=3
故答案为：B.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意.
故答案为：D.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：把小路平移，如图所示，
设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意得：
故答案为：D.
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】
12．【答案】15
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】且
16．【答案】2029
17．【答案】（1）或
（2），
（3），
18．【答案】（1）证明：∵
∴无论 取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵ ， ， ∴ ；
当斜边长为4时， 即 ，
∴ ，
解得： ，或 （舍去）；
k＞2时方程 的根为： ，
当直角边长为4，斜边为m时， ， ，
即
∴ ，
解得： ，或 （舍去）；
当直角边长为4，斜边为n时， ， ，
同理可得： ，或 （舍去）；
综上， 或 .
19．【答案】（1）.解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x 1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.解得m＝－4或m＝6.
又∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝4m2＋8m＋4－4m2－20＝8m－16≥0，解得m≥2.
∴m＝6
（2）解：7为底当边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2.
∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，
∴不能构成三角形．
当7为腰时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或4；当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7，或x＝15.
∵7＋7＜15，
∴不能组成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17
20．【答案】（1）解：(180 20+100)×(50 100÷10)=10400元．
（2）解：设每间房间定价a元，则(a 20)(50 )=10640，
解得a=300或a=400，
所以房间单价定为300元或400元．
（3）解：设每间房间定价a元，则(a 20)(50 )= ，
所以a=350元时，最大利润10890元．
21．【答案】（1）解：∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2=﹣8k+4≥0，
解得：k≤
（2）解：∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2，
∵x1+x2=x1x2﹣5，
∴2（k﹣1）=k2﹣5，即k2﹣2k﹣3=0，
解得：k=﹣1或k=3．
∵k≤ ，
∴k=﹣1
22．【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝ ，x2＝
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得 + +1＝0，
∴ 是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝ 是方程②的根
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，
∴a＝ ＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴ ＝1
23．【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1
（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，
∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，
当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，
+ = = = =﹣47；
当a=b时，原式=2
（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，
则 + = =﹣ ， = = ，
则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数
1 / 1