第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形（1）
【教学目标】
知识与技能
1、经历探索矩形的概念和有关性质的过程，掌握矩形的概念和矩形的性质定理。
2、了解矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
过程与方法
经历利用矩形的定义探索矩形的性质的过程，培养学生的动手实践能力、观察、推理的意识，发展学生的逻辑思维，获得从一般到特殊的数学思维经验，掌握转化数学思想。
情感、态度与价值观
在探索矩形的性质的活动中获得成功的体验，体会直观操作和逻辑推理相结合的思维价值，让学生感受数学美。
【教学重难点】
重点：矩形的概念与性质
难点：矩形性质定理的探索和应用
【导学过程】
【情景导入】
用6根小棒首尾相接摆成一个平行四边形。
议一议：
1）能摆成多少个不同的平行四边形？它们有什么共同的特点？
（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一
个平行四边形？说出你的理由.
（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特
点？比较它的两条对角线的长度，你又发现了什么？
概括出矩形的概念(有一个角为直角的平行四边形).
强调:①矩形与小学长方形、正方形的关系；
②矩形与平行四边形的关系.
操作形式：动手操作、类比探究.
【新知探究】
探究一、通过类比教学，让学生从边、角、对角线的角度自己探索矩形所特有的性质.
得出：性质定理1、矩形的四个角都是直角
探究二、性质定理2、矩形的对角线相等
操作形式：尝试探索，合作交流
已知：如图，AC和BD是矩形ABCD的对角线；求证：AC=BD
教师板演结束后，追问：还有其他方法证明吗？
这个过程中先让学生思考，并且允许相互之间讨论，之后让学生上台讲解。在这个过程方法会有很多样，比如：1、利用勾股定理；2、证明三角形全等；3、利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等等。
在这个解题的过程中，不难发现学生都是利用三角形进行解题，因此趁机可以把转化思想进行渗透，让学生感受到四边形问题可以转化为三角形问题进行解决，让学生化不熟悉为熟悉的知识解题。
【随堂练习】
1、（课内练习1）在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，
求证：四边形AEFD是矩形.
2、矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,图中
(1)有多少个直角三角形？
(2)有多少个等腰三角形？
(3) 有多少对全等三角形？
操作形式：新旧结合，转化思想
例1：如图，矩形的对角线相交于点.
若∠AOD=120°，你能得出哪些结论？
若∠AOD=120°，你能再添加一个条件_________，
求得对角线AC的长.
操作形式：独立思考，应用交流
变式:如图, 矩形的对角线相交于点，
过点作∥交的延长线于点,求证:
【知识梳理】这节课你收获了什么？
矩形区别于平行四边形的性质有三个：
1、______________________
2、______________________
3、______________________
四边形问题可以
转化成_________________来解决，也就是数学中的_____________思想。
【达标测评】
（1）在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若AE=OE=1，则AC=________，
AD=________，∠AOD=_________
（2）已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，且DE=DC，CF⊥DE于点F.
求证：BE=EF
第（2）题为本节课的提升题，图中需要辅助线的引用。在两题中不仅运用了本节课所学生矩形性质外，而且还处处体现了转化的数学思想。第5章 特殊平行四边形
5.3正方形（1）
【教学目标】
知识与技能
掌握正方形的概念，正方形的判定
过程与方法
经历探索正方形有关判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系
情感、态度与价值观
进一步加深对特殊与一般的认识，培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑思维能力．
【教学重难点】
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点：正方形的判定．
难点：正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系．
【随堂练习】
【导学过程】
【知识回顾】
1.几种特殊四边形的定义及性质
定义 边 角 对角线 对称性
平行四边形
矩形
菱形
2.在箭头上添上转化的条件
四边形
【新知探究】
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢
探 究（二）
菱形怎样变化后就成了正方形呢
探究小结：（在箭头上添上转化的条件）
矩形 正方形
菱形 正方形
你有什么发现？
正方形的定义：
如何判定一个图形是正方形呢？
定义法：
菱形法：
矩形法：
你还得到哪些判定一个四边形是正方形的定理？把它们写下来，与你的小组交流探讨。
探究：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
【随堂练习】
一、辩一辩---下列说法对吗
（1）四个角都相等的四边形是正方形
（2）四条边都相等的四边形是正方形
（3）对角线相等的菱形是正方形
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形
（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形
（6）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形
（7）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形
（8）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴
二、比一比，看谁解答下列问题更快！
1.下列说法正确的是（ ）
A. 四边相等的四边形是正方形
B. 四个角都是直角的四边形是正方形
C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
D. 四个角都是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形
2.下列说法错误的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形 B. 菱形有两条对称轴
C. 矩形的对角线交点是它的对称中心 D. 正方形有四条对称轴
思考：正方形的判定方法有哪些？
例1：已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E、F
求证：四边形CFDE是正方形
【知识梳理】这节课你收获了什么？
平行四边形形形
矩 形
菱 形
正方形
C
A
D
B
F
E第5章 特殊平行四边形
5.3 正方形（2）
【教学目标】
知识与技能
了解正方形的性质，能利用正方形的性质解决实际问题.
过程与方法
利用正方形的定义，探索正方形的性质，进一步增强学生的逻辑推理能力，锻炼分析问题解决问题的能力.
情感、态度与价值观
在探索正方形性质过程中，获取成功的体验，增强学习数学的兴趣.
【教学重难点】
重点：正方形的性质.
难点：运用正方形解决实际问题.
【导学过程】
【情景导入】
1.在我们的生活中除了平行四边形，矩形，菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？
2.出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？
3.你能说说正方形有哪些特征？
学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发学习热情.
【新知探究】
1.正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
2.正方形有哪些性质？正方形可以看成哪些图形？
归纳
正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？
小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各四边形之间的联系与区别.
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC=BD,AC⊥BD,OA=OB=OC=OD,
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 见教材第126页例2.
【随堂练习】
1.如图，以正方形ABCD的顶点D为顶点在正方形内作等边△DEF，使E、F分别在AB、BC上.求证：∠BEF＝∠BFE.
学生独立探究，加深对正方形判定方法的理解和掌握.教师巡视指导，及时予以点拨.
2.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）
A.12 B.13 C.26 D.30
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.
3.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.
分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°
学生独立探究，加深对正方形性质的理解和掌握，教师巡视指导，及时予以点拨.
【知识梳理】这节课你收获了什么？
【达标测评】
1.下列判断中正确的是( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2.正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
3.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=AD．其中正确的有( )
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4.如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF．下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG．其中正确的结论只有( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线上，且正方形ABCD与正方形ECGF的边长分别为2和3，在BG上截取GP=2，连接AP、PF．
(1)观察猜想AP与PF之间的大小关系，并说明理由；
(2)图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过程；若不存在，请说明理由；
(3)若把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积．
6.如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．
(1)求证：△AOE≌△BOF；
(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
7.如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F．求证：BF=CE．
8.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF．
9.如图1，四边形ABHC，ADEF都是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°＜θ＜90°)时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G，设BG交AC于点M，求证：BD⊥CF．
两个边长不定的正方形ABCD与正方形AEFG如图1摆放，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定角度．
(1)若点E落在BC边上(如图2)，试探究线段CF与AC的位置关系并证明；
(2)若点E落在BC的延长线上时(如图3)，(1)中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，加以证明．
10.如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
(1)如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_________；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是_________；
③请证明你的上述两个猜想；
(2)如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形（2）
【教学目标】
知识与技能
1.理解并掌握矩形的判定方法．
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.
过程与方法
经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.
情感、态度与价值观
培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.
【教学重难点】
重点：理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.
难点：定理的证明方法及运用.
【导学过程】
【知识回顾】
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
【情景导入】
小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度 相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？
【新知探究】
1.矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.
归纳
有三个角是直角的四边形是矩形.
2.动手操作： 拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.
思考
1.随着∠ａ的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
2.当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做好知识上的准备.
归纳对角线相等的平行四边形是矩形.
例1 如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC=8cm，若AOB是等边三角形，求此平行四边形的面积
解：在?ABCD中，对角线AC、BD相交于O，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD.
∴?ABCD是矩形.
又∵AC=8cm,
∴OA=OB=AB=4cm.
在Rt△ABC中,AC=8cm,AB=4cm，
∴BC=4cm.
∴S?ABCD=AB×BC=4×43=16cm2.
例2 如图，?ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH为矩形.
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB=12×180°=90°，得∠BGC=90°.
同理可知∠AFB=∠AED=90°.
∴∠GFE=90°.
∴四边形EFGH为矩形.
以上两例也可先让学生探究，然后教师予以评讲，加深学生对矩形判定定理的理解和应用.
【随堂练习】
1.如图，在?ABCD中，点E、F为BC边上的点，且BE=CF，AF=DE，求证：?ABCD是矩形.
2.如图，O是直线MN上一点，C是射线OP上一点，OA、OB分别平分∠MOP，∠NOP，F为CO的中点，过F作DE∥MN，交OA、OB于点D、E.求证：四边形CDOE为矩形.
【【知识梳理】这节课你收获了什么？第5章 特殊平行四边形
5.2 菱形（2）
【教学目标】
知识与技能
经历菱形的判定方法的探究过程，掌握菱形的三种判定方法.
过程与方法
经历利用菱形的定义探究菱形其它判定方法的过程，培养学生动手实验、观察、推理的意识，发展学生的逻辑思维能力和演绎能力.
情感、态度与价值观
在探究菱形判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【教学重难点】
重点：菱形的判定定理的探究.
难点：菱形的性质与判定的综合应用
【导学过程】
【情景导入】
要判定一个四边形是否是菱形，我们可依据菱形的定义，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”来进行判定，还有没有其它的判定方法呢？
【教学说明】
教师提出问题，学生探究思考，加深学生对菱形定义的再认识，它既是菱形的性质，又是菱形的最基本的判定方法.在问题的探究中，引入课题，同时激发学生探究的兴趣.
【新知探究】
如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个四边形.
（1）任意转动木条（如图（1）中四边形ABCD），这个四边形总是平行四边形吗？为什么？
（2）在木条的转动过程中，当它们互相垂直时（如图（2）中MN⊥EF），四边形EMFN是怎样的四边形？你能证明你的猜想吗？
证明：在图（2）中，
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴OE=OF.又MN⊥EF，即∠EON=∠FON=90°，且ON=ON，
∴△EON≌△FON,
∴EN=NF,
∴?EMFN是菱形.
教师引导学生观察四边形的特征，关注两根细木条的中点的前提条件，让学生进行探究思考.在活动中，教师深入学生之中，了解学生的探究过程，观察学生探究的方法，接受学生的质疑，对有困难的学生给予个别指导.
想一想 在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是菱形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举一反例.
让学生进行探索，教师关注学生的探索过程和说理，从而加深学生对菱形判定方法的认识.
菱形的判定定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四边相等的四边形是菱形.
例1 如图,?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：?ABCD是菱形.
分析： 在△ABO中，AB=5，AO=4，BO=3， 由勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°,即AC⊥BD，故?ABCD是菱形.
例2 如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、EH，求证：四边形EFGH是菱形.
分析：因为E、F、G、H分别为四边中点，故可连接对角线AC、BD，由三角形中位线性质易得EH=FG=1/2BD，EF=GH=1/2AC，又因为四边形ABCD是矩形，所以有AC=BD，从而EF=FG=GH=EH，因此四边形EFGH是菱形.
以上两例均可让学生自主探究，独立完成，然后相互交流.教师可适时予以点拨，从而解决问题，最后可选派两名同学上黑板书写自己的证明过程，师生共同评析，进一步增强对菱形判定定理的理解和运用.
【随堂练习】
1.对角线互相垂直的四边形一定是菱形吗？试举例予以说明.
2.一个平行四边形的一条边长为9，两条对角线长分别为12和6，求这个平行四边形的面积.
3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
学生自主探究，教师巡视指导.第1题旨在让学生加深对“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的理解，而第2题既是回顾平行四边形性质、勾股定理逆定理等重要知识，又是菱形判定方法的再认识,第3题中“等宽的纸条”有两层意思：一是纸条应是两边平行的，二是这两条平行边之间的宽度（即平行线间距离）是相等的，因而在论证四边形ABCD是菱形时，应过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，由AE=AF来推理说明.
【知识梳理】这节课你收获了什么？第5章 特殊平行四边形
5.2 菱形(1)
【教学目标】
知识与技能
1.经历菱形的概念、性质的发现过程
2.掌握菱形的概念和性质定理 “菱形的四条边都相等” “菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”
3. 探索菱形的对称性
过程与方法
通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
情感、态度与价值观
根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图渗透集合思想．
【教学重难点】
重点：菱形的性质．
难点：菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法．
【随堂练习】
【导学过程】
【知识回顾】
提问：平行四边形有哪些性质？
【新知探究】
探究一、 用几何画板把一般的四边形变为一组邻边相等的平行四边形
引出概念：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
探究二、有关性质
提问：菱形是特殊的平行四边形，平行四边形的性质它具有吗？
（学生：具有）
得 菱形具有一般平行四边形的性质
提问：菱形既然是特殊的平行四边形，那它应该有特殊的地方？
利用纸片，小组讨论，菱形还具有哪些特殊性质？
方法：把菱形沿对角线对折，边有什么特征，对角线有什么特征
学生经过讨论得
定理1:菱形的四条边都相等
定理2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。
3，性质的证明
性质1的证明，这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.
性质2的证明，命题的证明要求写出已知，求证。（请学生说出该命题的已知，求证）
探究三：
已知:在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。
求证:AC ⊥
BD ,AC平分∠
BAD 和∠
BCD ，BD平分∠
ABC和∠
ADC
分析：
由菱形的定义得△ABD是什么三角形？
BO与OD有什么关系？根据什么？
由此可得AO与BD有何关系？∠BAD有何关系？根据什么？
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD（菱形的定义）
BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）
∴AC⊥BD ， AC 平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质）
同理，AC平分∠
BCD ，BD平分∠
ABC和∠
ADC
∴对角线AC和BD分别平分一组对角
菱形ABCD中，对角线AC、BD相交与点O, ∠BAC= 30°,BD=6
求菱形的边长和对角线AC的长.
分析:本题是菱形的性质定理2的应用，由∠BAC= 30°，得出△ABD为等边三角形，就抓住了问题解决的关
键。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD（菱形的定义）
AC 平分∠BAD（菱形的每条对角线平分一组对角）
又∵∠BAC= 30°
∴ ∠BAD= 60°
∴△ABD为等边三角形
∴AB=BD=6
又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分）
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
由勾股定理得 AO2 + BO2= AB2
∴AO= AC=2AO=
让学生体会该题目有什么发现和使用的方法
【随堂练习】
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
3．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．
4．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
5．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，
且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
【知识梳理】这节课你收获了什么？
