第4章 平行四边形
4.5三角形的中位线
【教学目标】
知识与技能
理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容；
过程与方法
经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力．
情感、态度与价值观
培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
【教学重难点】
【教学目标】
【教学重难点】
重点：探索并证明三角形中位线定理
难点：能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
【导学过程】
【知识回顾】
平行四边形的判定方法：
【情景导入】
1. 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？说明你分割的理由。
2. 如图，DE∥BC，EF∥AB，DF∥AC，图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
【新知探究】
探究一、中位线定理
1. 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE=BC．
（分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．）
三角形中位线定义：
3． 想一想：
（1）①一个三角形的中位线共有几条？
②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
三角形中位线的定理：
探究二、例题
补例、已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
.
【知识梳理】
这节课你收获了什么？
【随堂练习】
1．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
4.已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．第4章 平行四边形
4.3中心对称
【教学目标】
知识与技能
建立中心对称的概念,明确它与轴对称的区别,理解平行四边形的中心对称性,掌握中心对称性质,能够运用性质画简单的中心对称图形
过程与方法
渗透类比思想,旋转变换思想,用运动观点观察和认识图形。
情感态度与价值观
能设计简单的对称图形及深刻体会中心对称在生活中的广泛存在及运用价值,体验中心对称图形的美感,感受数学在生活中的应用,享受数学乐趣。
【教学重难点】
重点：夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等．
难点：例2涉及平行四边形性质的应用和根据定义判定四边形是平行四边形两方面推理过程，是本节教学的难点．
【导学过程】
【知识回顾】
1、轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着 折叠后，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做 。
成轴对称图形：如果两个图形沿 折叠后能够 ，那么这两个图形就说成轴对称。
2、画出下列图形的对称轴：
长方形 等边三角形
轴对称图形有下面的性质：
对称轴 连接两个 的线段。
【新知探究】
探究一、
1、中心对称图形的概念：
，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫 。
2、两个图形关于某一点成中心对称的概念：
，我们就称这两个图形关于这个点成中心对称。
3、中心对称图形的性质：
探究二、
例1如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．
分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到.
解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．
（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．
（3）顺次连结DE、EF、FD．则△DEF即为所求的三角形．
例2如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．
分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．
解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y），因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（0，1），B（-3，0）．连结A′B′．则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．
【随堂练习】
1.已知△ABC（如图）。以点O为对称中心，求作与△ABC成中心对称的图形。
.
3.在直角坐标系中，点A（-7， ）关于原点对称的点的坐标是 ，
关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点坐标是 。
如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．
分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．
【知识梳理】这节课你收获了什么？
【达标测评】
1、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）。若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的做法共有 （ ）种
2、移动一块正方形（1）使得到图形只是轴对称图形；（2）使得到图形只是中心对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形：
一天，欢欢去给学校草地上的花草浇水。欢欢看到平行四边形草地中间有一水井(如图)，他设想为了浇水的方便，经过水井修一条小路，并且把草地分成面积相等的两部分。请你帮欢欢画出小路的位置。
4、如图，MN⊥PQ,,交点为O，A1、A是以MN为对称轴的对称点，而A2、A是以PQ为对称轴的对称点。求证：A1、A2是以点O为对称中心的对称点。
A
C
O
B第4章 平行四边形
4.2平行四边形及其性质（2）
【教学目标】
知识与技能
掌握平行线性质“夹在两条平行线间的平行线段相等”.“夹在两条平行线间的垂线段相等”.
过程与方法
经历探索平行四边形的性质及运用性质解决简单的实际问题的过程，培养学生的推理和演绎能力，发展学生的抽象思维和形象思维.
情感、态度与价值观
在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情.
【教学重难点】
重点：夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等．
难点：例2涉及平行四边形性质的应用和根据定义判定四边形是平行四边形两方面推理过程，是本节教学的难点．
【导学过程】
【情景导入】
问题如图，l1 //l2，AB//A ′B′，CD//C′D′
线段AB和线段A′B′有什么等量关系？
线段CD和线段C′D′ 有什么等量关系？
【新知探究】
探究一、
探究根据上述问题可以得出两个结论：
1.夹在两平行线间的平行线段相等.
2.夹在两平行线间的垂线段相等.
证明：易知上述两种情况下四边形ABB′A′和四边形CDD′C′分别为平行四边形和矩形，所以得证上述两结论.
例1如图，在ABCD中，AB与AD的长度之比为2∶1.求AB,CD之间的距离与AD,BC之间的距离之比.
解：设AB与CD之间的距离为d1,AD与BC之间的距离为d2,则AB·d1=AD·d2,
∴.
例2已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且AF∥CE.求证：DE=BF.
证明：如图，在平行四边形ABCD中,∵AD∥BC,AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形（平行四边形的定义）
∴AE=CF(平行四边形的对边相等)
又∵AD=BC（平行四边形的对边相等）
∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF.
若改成求证∠FAB=∠ECD呢？
【随堂练习】
1.如图，四边形ABCD、DBEC都是平行四边形，那么，图中与CD相等的线段有___________；
2.如图，ABCD中，∠A=45°，BC=2，则AB与CD之间的距离是；若AB=3，四边形ABCD的面积是，△ABD的面积是________.
3.如图，在ABCD中，E是AB的中点，过点E作EF∥AD,交CD于E.求证：点F是CD的中点.
4.如图，E是直线CD上一点.已知ABCD的面积为52 cm2,
(1)△ABE的面积为____cm2;
(2)若AB=4 cm,则AB和DE间的距离为_____cm.
5.已知ABCD中，AB=20，AD=16，AB和CD之间的距离为8，则AD和BC之间的距离为_______.
3.∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,又EF∥AD,∴EF∥BC.又FC∥EB，
∴四边形FCBE是平行四边形（平行四边形定义），
∴FC=EB∵E是AB中点，AB=CD,∴FC=12AB=12CD,
∴FC=FD.即点F是CD的中点.
4一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地平均分给他的四个孩子，他的三个儿子想出了三种方案，都认为自己是对的，你说他们分得对吗？
【知识梳理】
这节课你收获了什么？
两个性质:
1.夹在两平行线间的平行线段相等.
2.夹在两平行线段间的垂线段相等.第4章 平行四边形
4.4平行四边形的判定定理（1）
【教学目标】
知识与技能
1.掌握平行四边形的判定定理（一）（二）及其应用．
2.会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题．
过程与方法
通过定理，习题的证明提高自己的逻辑思维能力；
情感、态度与价值观
培养学生用类比、逆向推理的思维方法来研究问题．
【教学重难点】
重点: 平行四边形的判定定理（一）（二）．
难点: 平行四边形的判定定理和性质定理的结合应用．
【导学过程】
【知识回顾】
1.复习平行四边形相关知识，并归纳形成知识框架。（课前朗读P76~90页）
2. 疑惑展示：到目前为止，我们学过怎么证明一个四边形是平行四边形吗？
投影展示老师的疑惑：作业本（2）第20页 第6题的解答案例（看不清楚的见反面）
【新知探究】
1.情景演示，探索定理
小李同学做了一个四边形，通过测量角或边，你能
判断这个四边形就是平行四边形吗？（与同伴交流方法）
理一理判定方法：
2.例题讲解：
如图，已知 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形
变式（一）：在例题条件下,连接EF,请写出图中与例题相比新增加的平行四边形.
并从中选择一个你喜欢的加以说明.
变式（二）：在例题条件下,连接AF、CE分别交BE、FD于点M、N,你认为四边形MFNE是平行四边形吗？
【随堂练习】
1. 填空题：补充一个合适的条件使⑴—(2)小题成立：
(1)若AB∥CD, 则得平行四边形ABCD.
(2)若AB＝CD， 则得平行四边形ABCD.
2. (课本P94课内练习1)如图，把线段AB平移到线段DC，连结AD,BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形。
3. （课本P95作业题1）已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形
【知识梳理】这节课你收获了什么
【拓展提高】
1.3月12日植树节哪天，我班买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图中的A,B,C位置），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树D应该栽在哪里？（我们只带了绳子，请问你能确定准确位置吗？）
2.如图，村口有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵古树，现准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持古树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请你帮助该村实现这一设想，并写出设计思路及画出设计图。
A
B
C
D
我的方法是测出：
就可说明四边形ABCD是平行四边形。
理由：
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
D
A
B
C
D
A
B
C
E
F
B
C
A
B
D
C
A第4章 平行四边形
4.6反证法
【教学目标】
知识与技能
1、了解反证法的含义。
2、了解反证法的基本步骤。
3、会利用反证法证明简单命题。
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条
也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。
过程与方法
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点：反证法的含义和步骤。
难点：用两种方法完成平行线的传递性的证明。
【导学过程】
【情景导入】
故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的 他运用了怎样的推理方法
假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路的人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。
我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。
那么什么叫反证法呢？（板书课题）
【新知探究】
探究一、在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。
归纳一下用反证法证题的步骤．
①假定结论不成立（即结论的反面成立）；（反设）
②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾，由矛盾判定假设不正确；（归缪）
③肯定命题的结论成立（结论）
你能说出下列结论的反面吗
直线a与b相交
b是正数
a⊥b
a≥0
a、b、c中至少有两个数相等
三角形中最多有一个直角
发现规律
至少有一个————一个也没有
至少有二个————至多有一个
至少有三个————至多有二个
……
至少有n个————至多有(n-1)个
探究二、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
把本题改编成填空题：
已知: 直线a、b被直线c所截，∠1≠∠2
求证: a不平行b
证明: 假设__________________
那么
这与“___________________________________”矛盾。
∴假设不成立,即求证的命题正确。
∴a不平行b。
教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法。
探究三、
例题
求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角。
已知：四边形ABCD。如图
求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
已知:如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的内角。
求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60度。
探究四、
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
（1）你首选的是哪一种方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？
教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理。
定理:
在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
【随堂练习】
1、“a＜b”的反面应是（ ）
（A）a≠＞b （B）a ＞b
（C）a=b （D）a=b或a ＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？
___________________________________
3、已知：在ΔABC中，∠C=Rt∠。
求证：∠A、∠B中至少有一个角不大于45°
什么时候运用反证法呢？
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题；
（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；
（4）关于“唯一性”结论的命题；
（5）解决整除性问题；
（6）一些不等量命题的证明；
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；
（8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
【知识梳理】这节课你收获了什么？
A
B
C第4章 平行四边形
4.1 多边形（2）
【教学目标】
知识与技能
学生能利用已学的三角形、四边形的有关概念类比得出n边形的有关概念
过程与方法
学生运用转化、归纳的数学思想方法经历独立探究、小组合作掌握n边形
的内角和与外角和，并能较熟练地使用它们进行有关计算。
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点：n边形的内角和定理的推导
难点：例题的解题思路的寻找
【导学过程】
【情景导入】
出示一组多边形的实物图片，从图片中找出三角形、四边形、五边形
【新知探究】
探究一、利用类比得出多边形的定义
多边形：在同一平面内由不在同一直线上的n条线段首尾顺次相接而成的图形叫做n边形
2、n边形的元素：边、角、线
三角形、四边形的内角和与外角和
探究n边形的内角和与外角和
二、合作学习：多边形的内角和（外角和）
边数 图形 从某顶点出发的对角线条数 划分成的三角形个数 多边形的内角和 多边形的外角和
３ 0 1 1×180°
４ 1 2 2×180°
５
６
．．． ．．．
n
归纳小结：
（1）n边形从一个顶点出发的对角线有 条；
n边形共有对角线 条。
（2）n边形从一个顶点出发的对角线把多边形划分成_________个三角形。
（3）n边形的内角和为 。
（4）任何多边形的外角和等于 。
直接证明
1、多边形转化为三角形
a、从一个顶点出发
b、n边形内一点出发
c、任意连接对角线
（还有边上一点、形外一点出发）
间接证明
（从特殊到一般——归纳）
2、多边形转化为三角形和四边形
（以内角和为主 外角和主要是转化为内和）
【随堂练习】
1、求十边形的内角和与外角和。
2、已知一个多边形的内角和为900°，这个多边形是几边形？
3、已知一个多边形的内角和为1080° ，问这个多边形是几边形？
4、已知一个多边形的每一个外角都是72°，求这个多边形的边数。
例1、一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
思考：有没有其它的解法？
1、连AD证∠A=∠D
(∠C=∠F,∠E=∠B)
2、延长AB、DC证∠A=∠D
(∠C=∠F,∠E=∠B)
【随堂练习】
1、已知六边形的各内角相等，问各内角、外角分别是多少度？
2、一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线
3、如图，以四边形ABCD的四个顶点为圆心，以1为半径画弧，求图中阴影部分的面积。
4、一个六边形如图，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.
求证：AB+BC=EF+FD.
1、一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=
2、一个凸多边形截去一个角后,形成另一个多边形,其
内角和是2520度,则原多边形是几边形？
3、某多边形除一个内角a外，其余内角的和是2750°。
求这个多边形的边数。
4、已知n边形恰有四个内角是钝角。这种多边形共有多少个？
其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？
【知识梳理】
数学知识
n边形的内角和公式和外角和
数学思想
转化化归思想
数学方法
“特殊→一般→特殊”
(例子→ 公式 → 应用)
【达标测评】
一、填空题：
1. 内角和等于外角和的多边形是 边形
2. 内角和为1440°的多边形是
3. 若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形．
4. 四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．
5. 一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形．
二、选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
2. 一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
3. 随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）
A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
4. ．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ）
A．四边形 B，五边形 C．六边形 D．七边形
5. 多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形
三、解答题．
1、已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
2、一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？
3、四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．
4、若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数．第4章 平行四边形
4.4 平行四边形的判定（2）
【教学目标】
知识与技能
1.掌握平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；
2.会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形；
3.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题。
过程与方法
1.经历平行四边形判别条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；并在与他人小组合作交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程；
2.学会独立思考，探索并掌握平行四边形的判别条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
3.在证一证，探一探的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。
情感、态度与价值观
⑴让学生主动参与探索的活动，在做“数学实验”的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣。
⑵通过探索式证明法，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。
⑶在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。
【教学重难点】
重点：平行四边形的判定定理
难点：例题变式教学，要学生自己添加条件，要综合运用平行四边形的判定定理和性质定理，是本节教学的难点。
导学过程】
【知识回顾】
【情景导入】想一想：
学行四边形后，小明回家用木板钉制了一个。第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示。
小聪却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？
【新知探究】
证一证
（1）猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(2)证明命题，画出图形，写出已知、求证
（3）定理证明
.理一理.
到现在你有几种判定平行四边形的方法？
例2：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且 AE=CF 。
求证：四边形BFDE是平行四边形
如果隐去条件AE=CF ，请你添加一个合适的条件。求证：四边形BFDE是平行四边形
从定点到动点的研究：
把条件变为：E、F分别从A点和C点同时出发，沿着平行四边形ABCD对角线AC所在直线上相向而行，当两个点的运动具备什么条件时四边形BFDE是平行四边形？
【随堂练习】
1、已知: 如图,平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O,直线EF,GH过点O,分别交AD,BC,AB,CD于点E,F,G,H.
求证:四边形GFHE 是平行四边形.
变一变
在⊿ABC中，AB=1，AC= ,边BC边上中线AD= ,则BC长 为多少？
【知识梳理】这节课你收获了什么？
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形。）
D
O
A
B
C
E
F
A
D
C
B第4章 平行四边形
4.2平行四边形及其性质（1）
【教学目标】
知识与技能
1.理解平行四边形定义，能够依据定义探究平行四边形的性质.
2.掌握平行四边形的对角相等，对边相等性质，能用它们解决简单的实际问题.
过程与方法
经历探索平行四边形的性质及运用性质解决简单的实际问题的过程，培养学生的推理和演绎能力，发展学生的抽象思维和形象思维.
情感、态度与价值观
在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情.
【教学重难点】
重点：
平行四边形的对角相等，对边相等的性质的探究和应用.
难点：
平行四边形的对角相等，对边相等的性质的运用.
【导学过程】
【情景导入】
现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物、铺满地面的地板、别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影，其中平行四边形与我们的生活关系更为密切，你能举出一些日常生活中的平行四边形的例子吗？
【新知探究】
探究一、
平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，通常用“”表示，如“平行四边形ABCD”可记作“”.
思考 如图所示的中，除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间有什么关系？你能说明原因吗？
探究二、平行四边形的性质
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
探究三、例1如图，小明用一根长为36m的绳子围成了一个平行四边形场地，其中AB边长为8m，其他三边的长各是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
∵AB=8m，∴CD=8m.
又AB+BC+CD+DA=36m，∴AD=BC=10m.
即其他三边长分别为10m,8m,10m.
例2如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F.求证：BE∥DF.
分析：要证明BE∥DF，依据图形特征，需得到同位角∠BEA=∠FDA或∠EBF=∠DFC.这时联想到平行四边形的性质有∠ABC=∠ADC，AD∥BC，再借助角平分线定义可得到结论.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC.
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=1/2∠ABC.又DF平分∠ADC，
∴∠3=1/2∠ADC，∴∠2=∠3.
∵AD∥BC，∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3，∴BE∥DF.
【随堂练习】
1.一个平行四边形的一个内角是58°，这个平行四边形的每个内角的度数是多少？为什么？
2.如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，试求ABCD的周长.
第1题可由学生独立完成，而第2题先求∠C=120°，从而∠B=∠D=60°.易有∠BAE=∠DAF=30°，从而AB=2BE=4cm，AD=2DF=6cm，从而可得结论.
【答案】1.解：由于平行四边形的两组对边分别平行，故它的邻角互补，所以它的每个内角分别为122°，58°，122°，58°.
2.解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
∴∠C＝360°-90°-90°-60°＝120°.
∴∠B＝∠D＝180°-120°＝60°.
∴∠BAE=∠DAF=90°-60°=30°.
在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，BE＝2cm，
∴AB=2BE＝4cm.同理：AD=2DF＝6cm.
故ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20cm.
【知识梳理】这节课你收获了什么？第4章 平行四边形
4.1 多边形（1）
【教学目标】
知识与技能
使学生理解多边形的有关概念
使学生掌握四边形内角和定理及外角和定理的证明及简单应用
体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想
过程与方法
1、认真观察生活中的物品，经历抽象、提炼、发现等基本过程，理解这些图形的共性，类比三角形的定义得到多边形的概念，培养学生学会观察、积极梳理、科学定义的数学学习态度.
2、受三角形的内、外角和的启发，积极探究并掌握四边形内角和定理的证明及简单应用.体验数学知识不是游离于现实生活之外的活动, 以“一题多证” “解一图，通一类”的策略来促进学生数学创新思维的培养.
情感、态度与价值观
通过定理证明使学生认识到“把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想”，利用例题和变式练习使学生感悟到“利用方程的数学思想方法解决问题使思维更顺畅”，是实际需要而产生的观点，培养学生科学的学习兴趣和态度.
【教学重难点】
重点：四边形内角和定理．
难点：四边形内角和定理的证明思路．
【导学过程】
【情景导入】1.观察图片，多媒体播放。
这些图形叫什么图形？你能给他下个定义吗？
【新知探究】
探究一、四边形的有关概念
如图，在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
2.说出如图所示的四边形ABCD的各条边和各个内角，并画出各条对角线和任意一个外角。
强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写。
如图，可表示为四边形ABCD或四边形ADCB
2.探索四边形内角和定理
让学生在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）。通过实验、观察、猜想得到：四边形的内角和为3600 。
让学生根据猜想得到的命题，画图、写出已知、求证。
已知：四边形ABCD
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°
证明：连结BD
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°
∠C+∠CBD+∠CDB=180°（理由）
∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180°
即：∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°
对这个命题的证明可作如下启发：
我们已经知道哪一种图形的内角和？内角和为多少？
能否把问题化归为三角形来解决？
2.还有其他的证法吗？（一题多证）
练习1：（1）一个四边形的四个内角的度数之比为，求这四个内角的度数.
(2)在四边形中，与互补，比大，求的度数.
2. (1)已知在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，若∠B=80°,则∠D =_°
(2)四边形的四个内角中，直角最多有__个，钝角最多有__个，正确答案（ ）
A、2 ；2 B、4 ；3 C、4 ；1 D、4 ；4
(3)把四张纸叠在一起，剪出4个全等的四边形纸片，你能否通过平移变换和旋转变换，把这4张四边形纸片组成一幅镶嵌图？请画出示意图，并说明理由.
4.探究活动：善于思考的小灰灰给同学们出了一个问题：小明按如图所示的路线做带球练习，走一周后回到原来的位置（方向前后相同），问小明共转多少度？
5.比一比，三角形和四边形的异同点？
三角形 四边形
图形
表示方法
顶点、角、边
内角和
联系
总结：把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想。
例1“已知四边形风筝的四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数比为1:1:0.6:1，你能求它的四个内角的度数吗？”
变式一：四边形各顶点处同方向的四个外角的度数之比为1:1:0.6:1，你能求它的四个内角的度数吗？
变式二：变式二：如图，在四边形ABCD中，∠A =85°， ∠D =110°， ∠α的外角是70°，求∠α和∠β的度数.
变式三：如图，连接AC，若AB=AD，BC=CD. ∠B=100°， ∠BAD =100，求∠1和∠2的度数.
变式四：如图，在四边形ABCD中， ∠A=∠C=90° BE、DF分别平分∠ABC和∠ADC，交CD、AB于E、F点.
求证：BE∥DF
练习2：（1）已知：在四边形中，,,求证：∥
(2)已知，如图，在四边形中，平分，交于点，平分交于点，求证：∥
【知识梳理】
本节课我们学习了：
1.“两个一”，即一个定义：____，一个定理____，一个推论：_____.
2.“两个思想方法”，即__________，___________，____________.
3.构建知识树.
【达标测评】
1.在四边形ABCD中， ∠A=85 °
∠D＝110 °， ∠B的外角是71 °，
则∠B＝____,∠C＝____。
2.如图：已知四边形的三个内角的度数
如图所示，则∠1的度数是______度。
3.在四边形ABCD中， ∠C=110 °,∠A， ∠B的外角都是120 °，则∠D的外角=_______。
C
D
A
B
1第4章 平行四边形
4.2平行四边形及其性质（3）
【教学目标】
知识与技能
理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，并能用它来解决问题.
过程与方法
通过活动探究获得平行四边形的对角线互相平分的性质过程中，增强学生的合作交流意识和探究精神，培养分析问题，解决问题的能力.
情感、态度与价值观
在探索性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情.
【教学重难点】
重点：夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等．
难点：例2涉及平行四边形性质的应用和根据定义判定四边形是平行四边形两方面推理过程，是本节教学的难点．
【导学过程】
【情景导入】
请你画一条直线，把这个平行四边形的面积平分。
【新知探究】
探究一、 ABCD，对角线AC、BD相交于点O，过点O再画一条直线，这条直线会与 ABCD各边或其延长线有哪些相交的情况呢？每种情况下又会有怎样的结论？
探究二、
请你画两条直线，把一个平行四边形分成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等。
通过ABCD绕点O旋转180°后与EFGH重合，易发现OA=OC，OB=OD这一结论，于是有：平行四边形的对角线互相平分，即在ABCD中，AC、BD相交于O，则有OA=OC，OB=OD.
思考 请观察下边的图形（在ABCD中，AC、BD相交于O），你能证明上述结论吗？
例1如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长及ABCD的面积.
分析：由平行四边形的对边相等易知BC=AD=8，CD=AB=10，再在Rt△ACB中，AB=10，BC=8，∠ACB=90°，∴AC=6，由平行四边形的对角线互相平分知OA=OC=1/2AC=3，从而易得ABCD的面积为BC×AC=6×8=48.
例2如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的一直线交AD于E，交BC于F.求证：OE=OF.
分析：由平行四边形的性质有OA=OC，又AD∥BC，故∠EAO=∠FCO，又由∠AOE=∠COF易知△AOE≌△COF，从而OE=OF.
【随堂练习】
1.如图，在ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，△AOD的周长是多少？为什么？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
2.如图，ABCD的周长为50cm，对角线AC、BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长7cm，求ABCD的各边长.
3.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1）若AB＝4，AD＝8，求对角线AC的范围；
（2）若AB＝4，BD＝10，求对角线AC的范围.
4.如图，王大爷有一块平行四边形菜地，现在想把它分成面积相等的两块，两块地中间挖一条与一组对边AD、BC都垂直的水沟，你能帮助他完成这个分法吗？
【知识梳理】这节课你收获了什么？
