第1章 二次根式
1.1二次根式
【教学目标】
知识与技能
1．经历二次根式概念的发生过程；
2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。
过程与方法
1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。
2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。
3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及文字表述能力
情感、态度与价值观
1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。
3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑理解的能力。
【教学重难点】
重点：二次根式的概念，会求二次根式中字母的取值范围。
难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围．
教学过程：
【导学过程】
【知识回顾】
求一求：（1）3的平方根是_____;
（2）3的算术平方根是_____;
（3）有意义吗？为什么？呢？
归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________;
②一个非负数a的算术平方根可以表示为_______________.
【情景导入】
根据图1—1所示的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空：
直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。
学生写出表示算术平方根的式子。问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
学生通过观察，感知二次根式特征。从而引出课题。
【新知探究】
1、二次根式的概念
引导学生概括二次根式的定义：象 这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便起见，我们把一个数的算术平方根（如， ）也叫做二次根式。
2、概念深化：
提问：，是不是二次根式？呢？
议一议：二次根式表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开
方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他的学生点评。
③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
④ 巩固练习一： 下列式子中，哪些是二次根式？
讲解例题
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围：
（1）； （2）； （3） .
按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：
被开方数需满足什么?
由此可得怎样的不等式？
例2 求下列代数式中字母x的取值范围：
可以转化为解怎样的不等式？
交流归纳，总结：二次根式中字母的取值范围的基本依据是——
被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。
巩固练习二： 求下列二次根式中字母x的取值范围
例3 当x=4时，求二次根式的值.
教法：（1）引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值.
（2）指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.
巩固练习三：当x分别取下列值时，求二次根式的值。
x=0 ； x=1 ； x=-1
例4一艘轮船先向东北方向航行2时，再向西北方向航行t时，船的航速是25千米/时.
（1）用关于t的代数式表示船离出发地的距离
（2）求当t=3时，船离出发地多少千米？ （精确到0.01千米）
教法：引导学生画图，让学生注重数形结合思想.
【知识梳理】
由学生总结，谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？教师适当提问补充。
一个概念:二次根式
两类题型:1.求代数式所含字母的取值范围 2.求二次根式的值
三点注意:1.二次根式的双重非负性 2.分母不能为0 3.转化思想
【达标测评】
A组
1、当x取 时，有意义。
2、如果是二次根式，则x的取值范围是 。
3、当x=-2时，二次根式的值为 。
4、下列代数式：属于二次根式的
有 。
5、当m=-2时，二次根式的值为
6、判定题（对的打“”，错的打“×”）
（1）二次根式中字母x的取值范围是x≤0 （ ）
（2）二次根式中字母x的取值范围是x≤ （ ）
（3）当x=-1时，二次根式的值为 （ ）
（4）当a=-4时，二次根式的值为 （ ）
7、若，则x、y的值需满足（ ）
A、x=-2且y=3 B、x=2且y=3 C、x=2且y=-3 D、x=-2且y=-3
B组
8、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x≠-2 B、x≤且x≠-2 C、x＜且x≠-2 D、x≥且x≠-2
9、若a为正整数，为整数，则a的值可以是
10、若二次根式有意义，化简
11、若x、y均为实数，且，求y-6x的值
第1章 二次根式
1.2二次根式的性质（1）
【教学目标】
知识与技能1．经历二次根式的性质的发现过程,体验归纳,猜想的思想方法 ；
2．了解二次根式的上述两个性质；
3．会运用上述两个性质进行有关的计算。
过程与方法
在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.
情感、态度与价值观
通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.
【教学重难点】
重点：（a≥0），（a≥0）及其应用.
难点：用探究的方法探索（a≥0）及（a≥0），的结论.
【导学过程】
【情景导入】
1、参考右图,完成以下填空:
， ， ；
【新知探究】
探究一、
【概括】由上得：一般地,二次根式有下面的性质:
练：
计算
； ； ； ；
； 。
【概括】由上得：一般地,二次根式有下面的性质:
练
3、数a在数轴上的位置如图,则 。
探究二、
例1：(1) ; (2)
例2： 化简
（1） （2） （3） （4）
【随堂练习】
__________________ _________
拓展延伸
2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简+－
4.化简：
【知识梳理】这节课你收获了什么？
【达标测评】
1．下列运算正确的是（ ）
A．（）2=－5 B．（－）2=－5 C．－=5 D．=5
2、计算+|－11|－，正确的结果是（ ）
A．－11 B．11 C．22 D．－22
3、下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4、化简|－2|+的结果是（ ）
A．4－2 B．0 C．2 D．4
5．（－）2－+=_______6．=_______．
7、+=_______8、已知x＜y，化简为__
9．计算：－－（）2; 10．计算：－|－|．
B组1、已知实数在数轴上的位置如图所示,则化简的结果为（
A．1 B．－1 C． D．
2、计算：
+++…+=______．
3、如果+│b－2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长．
4、实数在数轴上的位置如图所示,化简.
5、化简：化简：
第1章 二次根式
1.2二次根式的性质（2）
【教学目标】
知识与技能
理解并掌握二次根式的性质，正确理解与的运算方法，并利用他们进行化简和计算.
过程与方法
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法；
2.了解二次根式的上述两个性质；
3.会用二次根式的性质将简单二次根式化简.
情感、态度与价值观
培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.
【教学重难点】
重点：与及其应用.
难点：用探究的方法探索与的结论.
【导学过程】
【情景导入】
我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算）
比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？
【新知探究】
探究一、
1.积的算术平方根的性质.
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．
即
2.商的算术平方根的性质.
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）.
即.
［作用］：运用以上式子可以进行简单的二次根式的除法运算.
探究二、
例1 化简：
注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因数中，不含有1以外的自然数的平方数
例2 化简
合理应用二次根式的性质，可以帮助我们简化实数的运算.
【随堂练习】
【知识梳理】
这节课你收获了什么?
二次根式的性质，各式子中的字母的取值范围，以及在应用时应该注意的问题，防止出错.
第1章 二次根式
1.3二次根式的运算（1）
【教学目标】
知识与技能
理解，，并运用他们进行化简计算.
过程与方法
经历探索二次根式乘除法法则的过程，发展观察、归纳猜想、验证能力.
情感态度与价值观
培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力，增强学好数学的信心.
【教学重难点】
重点：
，
难点：
发现规律，推导，
【导学过程】
【知识回顾】
二次根式有哪些性质？
【新知探究】
探究一、二次根式乘除法的运算法则：
，
探究二、例1
让学生自主探究，独立完成，加深对二次根式乘除法运算和化简方法的理解.教师巡视，对有困难的同学适时给予指导，最后可选派四名学生上黑板完成解答，师生共同评析，巩固所学新知识.
例3、一个正三角形路标如图。 若它的边长为 2根号2个单位，求这个路标的面积。
【随堂练习】
一个底面为30cm×30cm的长方体容器中装满了水.现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为10cm的铁桶中.当铁桶装满水时，容器内水面下降了20cm.铁桶的底面边长是多少厘米？
【知识梳理】这节课你收获了什么？
，及其应用
第1章 二次根式
1.3二次根式的运算（2）
【教学目标】
知识与技能
1.会进行二次根式的混合运算；
2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算.
过程与方法
通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，掌握二次根式混合运算方法.
情感态度与价值观
通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用，体验迁移、化归思想，使学生进一步形成符号感，提高数学应用意识.
【教学重难点】
重点：二次根式的混合运算.
难点：多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法.
【导学过程】
【知识回顾】
1、化简：（1） （2） (3) (4)
(5) （6）
2、由以上化简得到：二次根式化简的结果符合什么要求？
3、 二次根式乘除法则，及注意点：
4、合并同类项 ：（1）
(2)
【新知探究】
探究一、计算
(4)—
小结：
探究二、
例1： 计算 (1)
练习1：计算
(2)
小结：二次根式加减的注意点：
例2：计算
小结：分母有理化的要求：
练习2：计算
例3、计算
【随堂练习】
1．下列各式计算正确的是（ ）
A．2+3=5 B．2-=1
C．2×3=6 D．2×3=6
2.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
3. 计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
4.计算：=_____________
5.化简：的结果为____________
6.计算（1） （2）（4-2+3）÷ （3）
7．计算：
（1）（-1）2·（3+2）； （2）（-）2+2·3；
（3）（2+）（2-3）。
【知识梳理】这节课你收获了什么？
【达标测评】
1.比较根式的大小.
5.若a=-，b=+，求代数式a2b+ab2的值．
6.试比较两数的大小，+与+，并说明理由
7.已知a=,y=+2，求x2+2xy+y2+(x－y)的值
第1章 二次根式
1.3二次根式的运算（3）
【教学目标】
知识与技能
深知二次根式在实际生活中的应用.
过程与方法
熟练地运用二次根式的性质化简二次根式；会运用二次根式解决简单的实际问题；进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.
情感态度与价值观
在运用二次根式的有关知识解决实际问题的过程中，进一步增强学生的数学应用意识和能力，培养科学的态度，激发学习兴趣.
【教学重难点】
重点：
二次根式及其运算的实际应用
难点：
涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂.
【导学过程】
【情景导入】
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD∶BD=1 ∶0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m.你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？
在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时经常用到二次根式及其运算.
【新知探究】
探究一、如图，扶梯AB的坡比（BE与AE的长度之比）为1∶0.8，滑梯CD的坡比为1∶1.6，AE= 32米，BC= CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程？（结果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米）
让学生有充分的时间阅读问题，并结合图形分析问题：（1）所求的路程实际上是哪些线段的和？哪些线段的长是已知的？哪些线段的长是未知的？它们之间有什么关系？（2）列出的算式中有哪些运算？能化简吗？
探究二、例7 是一张等腰三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.（1）分别求出3张长方形纸条的长度.（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm2.
师生共同分析解题思路，请学生写出解题过程.
【随堂练习】
如图，一艘快艇从O港出发,向东北方向行驶到A处,然后向西行驶到B处,再向东南方向行驶,共经过1时回到O港.已知快艇的速度是60千米/时,问AB这段路程是多少千米?(精确到0.1千米).
【知识梳理】
这节课你收获了什么？运用二次根式解决简单的实际问题时应注意的问题.
