2024年11月绍兴市柯桥区九年级数学学科素养调测试卷(含详解)

2024.11 绍兴柯桥数学学科素养测试
一、填空题 (本题有 6 小题, 每小题 8 分, 共 48 分)
1.一个盒子里有完全相同的三个小球,球上分别标上数字一2、一1、3,随机摸出一个小球 (不放回) 其数字记为 ,再随机摸出另一个小球其数字记为 ,则满足关于 的方程 有实数解的概率是_____.
2.如图,二次函数 的图像与 轴交于 , 两点,与 轴交于点 ,其对称轴是直线 ,点 的坐标为(-1,0). 若 ,当 时,二次函数 的最小值为 ,则 的值为_____.
3.等腰直角三角形 中, 分别在边 上,且 为线段 上一点,连结 ,若 ,则 的度数为_____.
4.设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ,若函数 的图像与 轴仅有一个交点,则 的值是_____.
5.如图,在 中, 为 内一点, 且 , . 若 , ,则 的长为_____.
6.如图,在四边形 中, , , ,若 的面积为 面积的一半,则 的长为_____.
二、解答题 (本第 7、8 小题每小题 16 分, 第 9 题 20 分, 共 52 分)
7.已知 均为实数,且 (其中 ),
(1)若 ,求 的值；
(2)用只含有 的代数式表示 .
8. 中, 为边 上一点, 为边 上的动点,连结 ,以 为边向 右侧作等边三角形 为 中点,连结 并延长交 于点 .
(1)求证: 为 的中点；
(2)若 ,求 的值.
9.如图,圆内接五边形 ,连结 分别交 于点 ,连结 交 于点 ,且有
(1)求证: ;
若 ,求 的长.
2024.11 绍兴柯桥数学学科素养测试全解全析
1.解析
要使方程 有实数解即需 ,即 ,显然共有 6 组 , ,显然满足题意的有: , ,故 .
2. 解析
由二次函数的对称性得 ,依据两点式知 ,又 , 则 ,则 在 时取到最小值,即 ,解得 (舍) 或 ,故 .
3. 解析
等腰直角三角形 中, .
① 当 为 中点时,如右图所示,
此时 ,
,
,
,
又 ,
,
.
② 当 不为 中点时,如右图所示,
取 中点 ,此时 .
,
,
,
,
,
,
,
.
综上 的度数为 或 .
4. 解析
一次函数 可变形为 ,
方程 ,解为 或 ,
函数 的图像与 轴仅有一个交点,
.
5. 解析
如图,绕点 旋转 使 与 重合,得 ,作 交 于点 ,作 交 延长线于点 ,作 于点 .
易得四边形 为菱形, .
.
.
.
6.解析
如图,作 于点 于点 于点 ,易得矩形 .
.
,设 ,则 .
,
,解得 .
二、解答题 (本第 7、8 小题每小题 16 分, 第 9 题 20 分, 共 52 分)
7.解析
(1)令 ,则 ,
将其代入 ,整理化简得
①+②+③且两边同除以 2,得 .
(2)由题意 ,①-③+②得 ,所以 ,
同理可得 .
8.解析
(1)如右图,连结 ,
为等边三角形, 为 中点,
为定值, ,
由瓜豆原理, 的轨迹为一条直线.
当 与 重合时,此时 点为 边上的中点,
当 点与 点重合时,此时 为 上的中点,
因此 的轨迹为 的中位线.
取 边上的中点 ,连结 ,由 知 为 的中点.
(2)以 为原点, 为 轴, 为 轴,建立平面直角坐标系,
不妨令 ,
由 ,得 ,
从而 的斜率 ,
由 为等边三角形,根据直线斜率与夹角公式 ,得 ,
直线 的解析式为 ,
为 的中点, 的纵坐标为 0,
的纵坐标为 ,
的纵坐标为 ,
代入 的解析式得 ,从而 ,
直线 的解析式为 ,因此 ,
.
9.解析
(1)证明: 由 得 ,则 ,
由同弧所对的圆周角相等得 ,
又 ,则 ,
则 ,
显然有 ,
故 ,因此 ,故 .
(2)取 中点 ,连接 ,取 中点 ,连接 ,
由 (1) 得: ,
又 ,故 ,则 , 故 ,
由三线合一得 ,
设 ,设 ,则 ,
由 得 为 中点,
由 (1) 得: ,
由平行线分线段成比例定理得 为 中点,
则 ,故 ,
由同弧所对的圆周角相等得 ,
由 得 ,则 ,
又 ,故 和 相似,
则 ,即 ,即 ,
由同弧所对的圆周角相等得 ,故 ,
故 ,在 Rt 中由勾股定理得 ,
联立①②得 ,解得 ③,
把③代入①得 ,
由 得 和 相似,
则 ,即 .