第3章 圆 单元检测基础过关卷（含解析）
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第3章 圆 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知⊙O的直径为6，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，则∠BCD的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
3．如图，若AB是⊙O直径，CD为是⊙O的弦，∠ABD＝52°，则∠BCD的度数为（ ）
A．36° B．37° C．38° D．39°
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列说法正确的是（ ）
A．经过三个不同的点可以画一个圆
B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
C．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形
D．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．35°
7．如图，AD是⊙O的直径，点B，C在⊙O上，若∠BCD＝45°，AB＝10，则AD的长为（ ）
A． B．20 C． D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC，，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
9．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在以AB为直径的⊙O上，连接AD，CD，过点B作BE∥AD交AC的延长线于点E．若BC＝2CE，∠E＝∠BCD，AC＝3，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 ．
12．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝5，则CD的长为 ．
13．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π）
14．如图，⊙O是半径为2的正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①的度数为90°；②；③；④S正八边形ABCDEFGH＝．其中所有正确结论的序号是 ．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
16．如图，⊙O中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB＝AC，若S四边形ABDC＝6cm2，则AD＝ cm．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．
（1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB'C'（点B对应点B'），画出△AB'C'；
（2）请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
19．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若CD＝8，∠A＝30°，求阴影部分的面积．
21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC．
（1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数；
（2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若AD＝DE＝2，求⊙O的直径．
23．如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E．
（1）求证：OC∥BE．
（2）若，BD＝6，求⊙O的半径．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q，连接QD，PD，AD．
（1）求CD的长；
（2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP＝∠ADQ；
（3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知⊙O的直径为6，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【点拨】根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断OP的长度即可．
【解析】解：∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径＝×6＝3，
∵点P在⊙O内，
∴OP＜3，
∴线段OP的长度可以是2．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟知设r为圆半径，d为点到圆心距离．当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，则∠BCD的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【点拨】根据三角形的内角和定理得到∠A＝60°，根据旋转的性质得到AC＝CD，得到△ACD是等边三角形，求得∠ACD＝60°，由此即可求解．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，
∴AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3．如图，若AB是⊙O直径，CD为是⊙O的弦，∠ABD＝52°，则∠BCD的度数为（ ）
A．36° B．37° C．38° D．39°
【点拨】连接AD，先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解析】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝52°，
∴∠A＝90°﹣52°＝38°，
∴∠BCD＝∠A＝38°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】连接OA，先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解析】解：∵弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，
∴AC＝AB＝4．
∵OA＝5，
∴OC＝＝＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．经过三个不同的点可以画一个圆
B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
C．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形
D．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等
【点拨】根据点与圆的关系判断A；
根据垂径定理的推论判断B；
根据正多边形的定义判断C；
根据圆周角与弦的关系定理判断D．
【解析】解得：A：经过共线的三个点不能作圆，故A是错误的；
B：圆的任意两条直径都是互相平分的，但是比一定互相垂直，故B是错误的；
C：圆的内接n多边形的边是圆的弦，在同圆中，弦相等，则弧相等，则弧的（n﹣2）倍也相等，则所对的圆周角相等，即多边形的角相等，故C是正确的；
D：在 两个同心圆中，弦相等，但是圆周角不相等，故D是错误的；
故选：C．
【点睛】本题考查了正变形和圆、垂径定理即圆周角定理，掌握圆的有关性质是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．35°
【点拨】先根据圆内接四边形的性质得到∠D＝110°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝∠B＝70°，则利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝40°，接着根据平行线的性质得到∠ACD＝40°，然后利用三角形内角和计算出
∠CAD的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
∵＝，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣110°﹣40°＝30°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
7．如图，AD是⊙O的直径，点B，C在⊙O上，若∠BCD＝45°，AB＝10，则AD的长为（ ）
A． B．20 C． D．
【点拨】连接BD，根据同弧所对圆周角相等，可得∠DAB＝∠BCD＝45°，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ABD＝90°，进而得到△ABD是等腰直角三角形，即可求解，
【解析】解：连接BD，
∵∠BCD＝45°，
∵∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理推论，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC，，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
【点拨】根据圆周角定理求出∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ACD，等量代换求出∠ABD＝∠DBC，进而求出AD＝CD＝，再根据勾股定理求解即可．
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴＝，
∴AD＝CD＝，
∴AC＝＝5，
∵AB＝3，
∴BC＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
9．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，得到，进而得到OC为△AOB的中线，得到S△AOC＝S△BOC，推出阴影部分的面积等于S扇形AOC﹣S扇形DOC，计算即可．
【解析】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4，
∴AB＝2OA＝8，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴，
∴OC为△AOB的中线，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴阴影部分的面积为
．
故选：A．
【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在以AB为直径的⊙O上，连接AD，CD，过点B作BE∥AD交AC的延长线于点E．若BC＝2CE，∠E＝∠BCD，AC＝3，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据平行线的性质及圆周角定理推出∠ABE＝∠E，根据等腰三角形的判定推出AB＝AE，根据直角三角形的性质及线段的和差求出CE＝2，根据勾股定理求出BE，再证明AD＝BT＝TE可得结论．
【解析】解：如图，连接BD，AT．
∵∠BAD＝∠BCD，∠E＝∠BCD，
∴∠E＝∠BAD，
∵BE∥AD，
∴∠BAD＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB＝AE，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∵AC＝3，BC＝2CE，
∴AE2＝（AC+CE）2＝（3+CE）2＝（2CE）2+32，
∴9+6CE+CE2＝4CE2+9，
∴3CE2＝6CE，
∴CE＝0（舍去）或CE＝2，
∴BC＝4，
∵∠BCE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴BE＝＝＝2，
∵AB是直径，
∴∠ATB＝∠ADB＝90°，
∴AT⊥BE，
∵AB＝AE，
∴BT＝TE＝，
∵BE∥AD，
∴∠DAT＝180°﹣∠ATB＝90°，
∴四边形ADBT是矩形，
∴AD＝BT＝．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 5 ．
【点拨】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．
【解析】解：∵直角边长分别为6和8，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
12．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝5，则CD的长为 5 ．
【点拨】连接AD，推出直径AB是弦CD的垂直平分线，得到△ADC是等边三角形，据此求解即可．
【解析】解：∵∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，即直径AB是弦CD的垂直平分线，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴CD＝AC＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，证明△ADC是等边三角形是解题的关键．
13．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 π ．（结果保留π）
【点拨】连接OB，OC，根据圆周角定义得∠BOC＝2∠A＝90°，再根据弧长公式即可求出BC弧的长．
【解析】解：连接OB，OC，如图所示：
依题意得：∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC弧的长为：＝π．
故答案为：π．
【点睛】此题主要考查了弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式，圆周角定理是解决问题的关键．
14．如图，⊙O是半径为2的正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①的度数为90°；②；③；④S正八边形ABCDEFGH＝．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【点拨】根据正八边形的性质，得到∠DOE＝∠EOF＝45°，进而得到DF的长，求出正八边形的面积和边长，即可得到结果．
【解析】解：连接OD，OF，AD，
∵正八边形的外接圆半径是2，
∴OD＝OF＝OE＝2，∠DOE＝∠EOF＝＝45°，
∴∠DOF＝90°，
∴的度数是90°，
故①正确；
∵Rt△ODF中，DF＝＝，
故②正确；
∵正八边形ABCDEFGH，
∴OE⊥DF，OE平分DF，
∴＝，
∴正八边形的面积为：4×＝，
故④正确；
∵DM＝MF＝DF，
∴DM＝，
∵Rt△OMD中，∠DOM＝45°，
∴DM＝OM＝，
∵OE＝2，
∴ME＝OE﹣OM＝2﹣，
∴DE＝＝＝2≠，
故③不正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，涉及到求圆心角，正八边形的边长、弦长、面积等，熟练地求出圆心角是关键．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 4 ．
【点拨】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC．
【解析】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
∴AC＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
16．如图，⊙O中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB＝AC，若S四边形ABDC＝6cm2，则AD＝ 2 cm．
【点拨】过点A作AE⊥AD交DB的延长线于E，先证△ABE和△ACD全等，得S△ABE＝S△ACD，AE＝AD，进而得S四边形ABDC＝S△AED＝6（cm2），然后中根据S△AED＝AE AD＝AD2＝6可得出AD的长．
【解析】解：过点A作AE⊥AD交DB的延长线于E，如图：
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠ADE＝∠ACB＝45°，
∵AE⊥AD，
∴∠E＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD，
∵∠BAC＝90°，AE⊥AD，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠CAD
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴S△ABE＝S△ACD，AE＝AD，
∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ABE＝S△AED＝6（cm2），
∵S△AED＝AE AD＝AD2，
∴AD2＝6，
∴AD＝2（cm）．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．
（1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB'C'（点B对应点B'），画出△AB'C'；
（2）请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置．
【点拨】（1）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形；
（2）作BC和CC'的垂直平分线，交点即为点O．
【解析】（1）解：如图，△AB′C′即为所求；
（2）解：如图，点O即为所求．
作法提示：作BC和CC'的垂直平分线，交点即为点O．
【点睛】本题考查画旋转图形、三角形的外接圆的圆心等内容，正确确定圆心是解答的关键．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
【点拨】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．
【解析】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝，
答：圆片的半径R为cm．
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
19．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
【点拨】（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出AM＝BM，EM＝FM，再求出答案即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，求出∠AOC＝∠BOD，再求出答案即可．
【解析】证明：（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，
∵OA＝OB，OE＝OF，
∴AM＝BM，EM＝FM，
∴AM﹣EM＝BM﹣FM，
∴AE＝BF；
（2）∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF，
∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，
∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质（等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合）是解此题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若CD＝8，∠A＝30°，求阴影部分的面积．
【点拨】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD＝4，
在Rt△COE中，OC＝＝，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝π，
答：阴影部分的面积为π．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC．
（1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数；
（2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE．
【点拨】（1）根据圆周角定理求出∠ABC＝90°，从而求出∠BAC的度数，再由圆周角定理的推论求出∠BDC的度数即可；
（2）利用角平分线的定义和圆周角定理的推论证明∠BAE＝∠CAE，∠ABD＝∠DAC，从而证明∠DAE＝∠AED，进而证明DA＝DE．
【解析】解：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝25°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝65°，
∴∠BDC＝∠BAC＝65°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠CBD，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE，∠AED＝∠BAE+∠ABD＝∠CAE+∠DAC，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DA＝DE．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理及其推论、角平分线的定义是解题的关键．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若AD＝DE＝2，求⊙O的直径．
【点拨】（1）连接AC，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠EAC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC＝180°，得到∠ABC＝∠E，证明△ABC≌△AEC，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，再根据勾股定理计算即可．
【解析】（1）证明：如图，连接AC．
∵，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴CB＝CD．
∵CE＝CD，
∴CB＝CE，∠E＝∠CDE，
∵∠ABC+∠ADC＝∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠E，
在△ABC和△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：连接BD．
∵∠BAD＝90°，
∴．BD是⊙O的直径．
由（1）可得 AB＝AE．
∵AD＝DE＝2，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△ABD中，，
∴⊙O的直径为2．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E．
（1）求证：OC∥BE．
（2）若，BD＝6，求⊙O的半径．
【点拨】（1）延长CO交⊙O于F，连接BC，根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB＝90°，则BE⊥AD，再根据垂径定理得：CF⊥AD，由此可得出结论；
（2）设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OC＝R，证明OC是△ABE的中位线，则AC＝CE＝，BE＝2OC＝2R，进而得AE＝，DE＝2R+6，在Rt△ABD和Rt△AED中利用勾股定理构造方程 （2R）2﹣62＝（）2﹣（2R+6）2，由此解出R即可．
【解析】（1）证明：延长CO交⊙O于F，连接BC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即BE⊥AD，
∵点C为的中点，
∴根据垂径定理得：CF⊥AD，
∴OC∥BE，
（2）解：设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OC＝R，
∵OA＝OB，OC∥BE，
∴OC是△ABE的中位线，
∴AC＝CE＝，BE＝2OC＝2R，
∴AE＝，DE＝BD+BE＝2R+6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝AE2﹣DE2，
∴AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2，
∴（2R）2﹣62＝（）2﹣（2R+6）2，
整理得：R2+3R﹣40＝0，
解得：R1＝5，R2＝﹣8（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为5．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q，连接QD，PD，AD．
（1）求CD的长；
（2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP＝∠ADQ；
（3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．
【点拨】（1）如图1，连接OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，可得，勾股定理得，然后求解即可；
（2）连接AC，由题意知，AB垂直平分CD，证明△ACP≌△ADP（SSS），则∠ADP＝∠ACP，由，可得∠ACP＝∠ADQ，进而结论得证；
（3）连接AC，同理（2）可得，△ACP≌△ADP（SSS），∠ADP＝∠ACP，由圆内接四边形ACQD可得，∠ACQ+∠ADQ＝180°，进而可得∠ADP+∠ADQ＝180°．
【解析】（1）解：如图1，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∵AB＝10，AE＝8，
∴OC＝5，OE＝3，
由勾股定理得，
∴CD＝8；
（2）证明：如图2，连接AC，
∵AC＝AD，CP＝DP，AP＝AP，
∴△ACP≌△ADP（SSS），
∴∠ADP＝∠ACP，
∵，
∴∠ACP＝∠ADQ，
∴∠ADP＝∠ADQ；
（3）解：∠ADP+∠ADQ＝180°；
如图3，连接AC，
∵AC＝AD，CP＝DP，
∵AC＝AD，CP＝DP，AP＝AP，
∴△ACP≌△ADP（SSS），
∴∠ADP＝∠ACP，
∵∠ACQ+∠ADQ＝180°，
∴∠ADP+∠ADQ＝180°．
【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键．
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第3章 圆 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知⊙O的直径为6，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，则∠BCD的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
3．如图，若AB是⊙O直径，CD为是⊙O的弦，∠ABD＝52°，则∠BCD的度数为（ ）
A．36° B．37° C．38° D．39°
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列说法正确的是（ ）
A．经过三个不同的点可以画一个圆
B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
C．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形
D．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．35°
7．如图，AD是⊙O的直径，点B，C在⊙O上，若∠BCD＝45°，AB＝10，则AD的长为（ ）
A． B．20 C． D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC，，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
9．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在以AB为直径的⊙O上，连接AD，CD，过点B作BE∥AD交AC的延长线于点E．若BC＝2CE，∠E＝∠BCD，AC＝3，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 ．
12．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝5，则CD的长为 ．
13．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π）
14．如图，⊙O是半径为2的正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①的度数为90°；②；③；④S正八边形ABCDEFGH＝．其中所有正确结论的序号是 ．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
16．如图，⊙O中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB＝AC，若S四边形ABDC＝6cm2，则AD＝ cm．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．
（1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB'C'（点B对应点B'），画出△AB'C'；
（2）请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
19．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若CD＝8，∠A＝30°，求阴影部分的面积．
21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC．
（1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数；
（2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若AD＝DE＝2，求⊙O的直径．
23．如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E．
（1）求证：OC∥BE．
（2）若，BD＝6，求⊙O的半径．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q，连接QD，PD，AD．
（1）求CD的长；
（2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP＝∠ADQ；
（3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知⊙O的直径为6，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【点拨】根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断OP的长度即可．
【解析】解：∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径＝×6＝3，
∵点P在⊙O内，
∴OP＜3，
∴线段OP的长度可以是2．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟知设r为圆半径，d为点到圆心距离．当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，则∠BCD的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【点拨】根据三角形的内角和定理得到∠A＝60°，根据旋转的性质得到AC＝CD，得到△ACD是等边三角形，求得∠ACD＝60°，由此即可求解．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，
∴AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3．如图，若AB是⊙O直径，CD为是⊙O的弦，∠ABD＝52°，则∠BCD的度数为（ ）
A．36° B．37° C．38° D．39°
【点拨】连接AD，先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解析】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝52°，
∴∠A＝90°﹣52°＝38°，
∴∠BCD＝∠A＝38°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】连接OA，先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解析】解：∵弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，
∴AC＝AB＝4．
∵OA＝5，
∴OC＝＝＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．经过三个不同的点可以画一个圆
B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
C．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形
D．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等
【点拨】根据点与圆的关系判断A；
根据垂径定理的推论判断B；
根据正多边形的定义判断C；
根据圆周角与弦的关系定理判断D．
【解析】解得：A：经过共线的三个点不能作圆，故A是错误的；
B：圆的任意两条直径都是互相平分的，但是比一定互相垂直，故B是错误的；
C：圆的内接n多边形的边是圆的弦，在同圆中，弦相等，则弧相等，则弧的（n﹣2）倍也相等，则所对的圆周角相等，即多边形的角相等，故C是正确的；
D：在 两个同心圆中，弦相等，但是圆周角不相等，故D是错误的；
故选：C．
【点睛】本题考查了正变形和圆、垂径定理即圆周角定理，掌握圆的有关性质是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．35°
【点拨】先根据圆内接四边形的性质得到∠D＝110°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝∠B＝70°，则利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝40°，接着根据平行线的性质得到∠ACD＝40°，然后利用三角形内角和计算出
∠CAD的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
∵＝，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣110°﹣40°＝30°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
7．如图，AD是⊙O的直径，点B，C在⊙O上，若∠BCD＝45°，AB＝10，则AD的长为（ ）
A． B．20 C． D．
【点拨】连接BD，根据同弧所对圆周角相等，可得∠DAB＝∠BCD＝45°，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ABD＝90°，进而得到△ABD是等腰直角三角形，即可求解，
【解析】解：连接BD，
∵∠BCD＝45°，
∵∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理推论，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC，，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
【点拨】根据圆周角定理求出∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ACD，等量代换求出∠ABD＝∠DBC，进而求出AD＝CD＝，再根据勾股定理求解即可．
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴＝，
∴AD＝CD＝，
∴AC＝＝5，
∵AB＝3，
∴BC＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
9．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，得到，进而得到OC为△AOB的中线，得到S△AOC＝S△BOC，推出阴影部分的面积等于S扇形AOC﹣S扇形DOC，计算即可．
【解析】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4，
∴AB＝2OA＝8，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴，
∴OC为△AOB的中线，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴阴影部分的面积为
．
故选：A．
【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在以AB为直径的⊙O上，连接AD，CD，过点B作BE∥AD交AC的延长线于点E．若BC＝2CE，∠E＝∠BCD，AC＝3，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据平行线的性质及圆周角定理推出∠ABE＝∠E，根据等腰三角形的判定推出AB＝AE，根据直角三角形的性质及线段的和差求出CE＝2，根据勾股定理求出BE，再证明AD＝BT＝TE可得结论．
【解析】解：如图，连接BD，AT．
∵∠BAD＝∠BCD，∠E＝∠BCD，
∴∠E＝∠BAD，
∵BE∥AD，
∴∠BAD＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB＝AE，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∵AC＝3，BC＝2CE，
∴AE2＝（AC+CE）2＝（3+CE）2＝（2CE）2+32，
∴9+6CE+CE2＝4CE2+9，
∴3CE2＝6CE，
∴CE＝0（舍去）或CE＝2，
∴BC＝4，
∵∠BCE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴BE＝＝＝2，
∵AB是直径，
∴∠ATB＝∠ADB＝90°，
∴AT⊥BE，
∵AB＝AE，
∴BT＝TE＝，
∵BE∥AD，
∴∠DAT＝180°﹣∠ATB＝90°，
∴四边形ADBT是矩形，
∴AD＝BT＝．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 5 ．
【点拨】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．
【解析】解：∵直角边长分别为6和8，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
12．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝5，则CD的长为 5 ．
【点拨】连接AD，推出直径AB是弦CD的垂直平分线，得到△ADC是等边三角形，据此求解即可．
【解析】解：∵∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，即直径AB是弦CD的垂直平分线，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴CD＝AC＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，证明△ADC是等边三角形是解题的关键．
13．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 π ．（结果保留π）
【点拨】连接OB，OC，根据圆周角定义得∠BOC＝2∠A＝90°，再根据弧长公式即可求出BC弧的长．
【解析】解：连接OB，OC，如图所示：
依题意得：∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC弧的长为：＝π．
故答案为：π．
【点睛】此题主要考查了弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式，圆周角定理是解决问题的关键．
14．如图，⊙O是半径为2的正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①的度数为90°；②；③；④S正八边形ABCDEFGH＝．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【点拨】根据正八边形的性质，得到∠DOE＝∠EOF＝45°，进而得到DF的长，求出正八边形的面积和边长，即可得到结果．
【解析】解：连接OD，OF，AD，
∵正八边形的外接圆半径是2，
∴OD＝OF＝OE＝2，∠DOE＝∠EOF＝＝45°，
∴∠DOF＝90°，
∴的度数是90°，
故①正确；
∵Rt△ODF中，DF＝＝，
故②正确；
∵正八边形ABCDEFGH，
∴OE⊥DF，OE平分DF，
∴＝，
∴正八边形的面积为：4×＝，
故④正确；
∵DM＝MF＝DF，
∴DM＝，
∵Rt△OMD中，∠DOM＝45°，
∴DM＝OM＝，
∵OE＝2，
∴ME＝OE﹣OM＝2﹣，
∴DE＝＝＝2≠，
故③不正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，涉及到求圆心角，正八边形的边长、弦长、面积等，熟练地求出圆心角是关键．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 4 ．
【点拨】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC．
【解析】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
∴AC＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
16．如图，⊙O中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB＝AC，若S四边形ABDC＝6cm2，则AD＝ 2 cm．
【点拨】过点A作AE⊥AD交DB的延长线于E，先证△ABE和△ACD全等，得S△ABE＝S△ACD，AE＝AD，进而得S四边形ABDC＝S△AED＝6（cm2），然后中根据S△AED＝AE AD＝AD2＝6可得出AD的长．
【解析】解：过点A作AE⊥AD交DB的延长线于E，如图：
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠ADE＝∠ACB＝45°，
∵AE⊥AD，
∴∠E＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD，
∵∠BAC＝90°，AE⊥AD，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠CAD
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴S△ABE＝S△ACD，AE＝AD，
∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ABE＝S△AED＝6（cm2），
∵S△AED＝AE AD＝AD2，
∴AD2＝6，
∴AD＝2（cm）．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．
（1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB'C'（点B对应点B'），画出△AB'C'；
（2）请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置．
【点拨】（1）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形；
（2）作BC和CC'的垂直平分线，交点即为点O．
【解析】（1）解：如图，△AB′C′即为所求；
（2）解：如图，点O即为所求．
作法提示：作BC和CC'的垂直平分线，交点即为点O．
【点睛】本题考查画旋转图形、三角形的外接圆的圆心等内容，正确确定圆心是解答的关键．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
【点拨】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．
【解析】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝，
答：圆片的半径R为cm．
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
19．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
【点拨】（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出AM＝BM，EM＝FM，再求出答案即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，求出∠AOC＝∠BOD，再求出答案即可．
【解析】证明：（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，
∵OA＝OB，OE＝OF，
∴AM＝BM，EM＝FM，
∴AM﹣EM＝BM﹣FM，
∴AE＝BF；
（2）∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF，
∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，
∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质（等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合）是解此题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若CD＝8，∠A＝30°，求阴影部分的面积．
【点拨】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD＝4，
在Rt△COE中，OC＝＝，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝π，
答：阴影部分的面积为π．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC．
（1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数；
（2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE．
【点拨】（1）根据圆周角定理求出∠ABC＝90°，从而求出∠BAC的度数，再由圆周角定理的推论求出∠BDC的度数即可；
（2）利用角平分线的定义和圆周角定理的推论证明∠BAE＝∠CAE，∠ABD＝∠DAC，从而证明∠DAE＝∠AED，进而证明DA＝DE．
【解析】解：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝25°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝65°，
∴∠BDC＝∠BAC＝65°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠CBD，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE，∠AED＝∠BAE+∠ABD＝∠CAE+∠DAC，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DA＝DE．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理及其推论、角平分线的定义是解题的关键．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若AD＝DE＝2，求⊙O的直径．
【点拨】（1）连接AC，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠EAC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC＝180°，得到∠ABC＝∠E，证明△ABC≌△AEC，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，再根据勾股定理计算即可．
【解析】（1）证明：如图，连接AC．
∵，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴CB＝CD．
∵CE＝CD，
∴CB＝CE，∠E＝∠CDE，
∵∠ABC+∠ADC＝∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠E，
在△ABC和△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：连接BD．
∵∠BAD＝90°，
∴．BD是⊙O的直径．
由（1）可得 AB＝AE．
∵AD＝DE＝2，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△ABD中，，
∴⊙O的直径为2．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E．
（1）求证：OC∥BE．
（2）若，BD＝6，求⊙O的半径．
【点拨】（1）延长CO交⊙O于F，连接BC，根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB＝90°，则BE⊥AD，再根据垂径定理得：CF⊥AD，由此可得出结论；
（2）设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OC＝R，证明OC是△ABE的中位线，则AC＝CE＝，BE＝2OC＝2R，进而得AE＝，DE＝2R+6，在Rt△ABD和Rt△AED中利用勾股定理构造方程 （2R）2﹣62＝（）2﹣（2R+6）2，由此解出R即可．
【解析】（1）证明：延长CO交⊙O于F，连接BC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即BE⊥AD，
∵点C为的中点，
∴根据垂径定理得：CF⊥AD，
∴OC∥BE，
（2）解：设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OC＝R，
∵OA＝OB，OC∥BE，
∴OC是△ABE的中位线，
∴AC＝CE＝，BE＝2OC＝2R，
∴AE＝，DE＝BD+BE＝2R+6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝AE2﹣DE2，
∴AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2，
∴（2R）2﹣62＝（）2﹣（2R+6）2，
整理得：R2+3R﹣40＝0，
解得：R1＝5，R2＝﹣8（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为5．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q，连接QD，PD，AD．
（1）求CD的长；
（2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP＝∠ADQ；
（3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．
【点拨】（1）如图1，连接OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，可得，勾股定理得，然后求解即可；
（2）连接AC，由题意知，AB垂直平分CD，证明△ACP≌△ADP（SSS），则∠ADP＝∠ACP，由，可得∠ACP＝∠ADQ，进而结论得证；
（3）连接AC，同理（2）可得，△ACP≌△ADP（SSS），∠ADP＝∠ACP，由圆内接四边形ACQD可得，∠ACQ+∠ADQ＝180°，进而可得∠ADP+∠ADQ＝180°．
【解析】（1）解：如图1，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∵AB＝10，AE＝8，
∴OC＝5，OE＝3，
由勾股定理得，
∴CD＝8；
（2）证明：如图2，连接AC，
∵AC＝AD，CP＝DP，AP＝AP，
∴△ACP≌△ADP（SSS），
∴∠ADP＝∠ACP，
∵，
∴∠ACP＝∠ADQ，
∴∠ADP＝∠ADQ；
（3）解：∠ADP+∠ADQ＝180°；
如图3，连接AC，
∵AC＝AD，CP＝DP，
∵AC＝AD，CP＝DP，AP＝AP，
∴△ACP≌△ADP（SSS），
∴∠ADP＝∠ACP，
∵∠ACQ+∠ADQ＝180°，
∴∠ADP+∠ADQ＝180°．
【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键．
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