第3章 圆 单元检测能力提升卷（含解析）
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第3章 圆 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
2．下列说法中正确的是（ ）
A．所对圆心角相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
5．如图，点A在⊙O上，OD⊥弦BC于点D．若∠BAC＝45°，OD＝1，则BC＝（ ）
、
A． B．2 C．2 D．
6．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40° B．44° C．50° D．55°
7．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝α，则∠BAD的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
10．如图在给定的⊙O中，弦AB的弦心距OH＝6，CD＝16，点E在弦CD上，且OE＝ED＝5，当△EAB面积的为最大时，DH的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 ．
13．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于 cm．
14．半径为3的正六边形内接于⊙O，则正六边形的边长为 ．
15．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧BC上一点，∠ADC＝60°，若CD＝2BD＝4，则四边形ABDC的面积为 ．
16．如图，在半圆O中，直径AB＝8，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，则PC+PD的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝ED．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，0），C（﹣1，0），把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C．（每个方格的边长均为1个单位）
（1）画出△A1B1C并直接写出：
A1的坐标为 ，
B1的坐标为 ；
（2）判断直线AB与直线A1B1的位置关系为 ．
19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝60°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
20．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
21．如图，四边形ABCD内接于一圆，连结AC、BD．
（1）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
（2）若AC为直径，C为的中点，请探究∠DAB与∠ACB之间的关系．
22．如图，在半圆O中，直径AB＝6，点C在上，连接BC，弦BD平分∠ABC，连接OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接OC，AD．若OC∥AD，求BD的长．
23．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结BE．
小明：根据题意，我画出了如图1的情况；
小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若∠BAC为钝角，我发现圆与直线AC的交点在线段CA的延长线上；
小明：哦...我明白了!
（1）在图1中求证：点D是边BC的中点；
（2）记∠ABE的度数为α．求出∠C的度数（用α表示）．
24．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD．求证：OD∥AC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC中点，
①求证：∠BOD＝45°；
②若⊙O的半径为2，求AC的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【点拨】利用圆周角定理解决问题即可．
【解析】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．所对圆心角相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
【点拨】根据等弧的定义垂径定理，圆周角定理一一判断即可．
【解析】解：A．在同圆或等圆中，所对圆心角相等的两条弧是等弧，故A错误，本选项不符合题意；
B．平分弦的直径垂直于弦，此弦不能是直径，故B错误，本选项不符合题意；
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误，本选项不符合题意；
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故D正确，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【点拨】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
【解析】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
4．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【点拨】连接AD，证明AB＝AC，利用三线合一的性质求出∠BAD即可解决问题．
【解析】解：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴AB＝AC，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°，
∴∠BED＝∠BAD＝25°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，点A在⊙O上，OD⊥弦BC于点D．若∠BAC＝45°，OD＝1，则BC＝（ ）
A． B．2 C．2 D．
【点拨】利用圆周角定理得到∠BOC＝90°，利用等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB＝45°，再根据垂径定理得到BD＝CD，根据等腰三角形的判定与性质求出BD，从而得到BC的长．
【解析】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BOD＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠OBD，
∴BD＝OD＝2，
∴BC＝2BD＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
6．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40° B．44° C．50° D．55°
【点拨】连接OE，利用圆周角定理求得∠AOD＝40°，再求得∠DOE＝∠BOE＝70°，根据等边对等角即可求解．
【解析】解：连接OE，如图所示：
∵∠ACD＝20°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝40°，
∵点E是弧BD的中点，
∴，
∵OE＝OB，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】如图，连接OA，OC．设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，构建方程组求出r即可．
【解析】解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝8，AM＝MB＝10，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得r＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝α，则∠BAD的度数为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】由AC为⊙O的直径，∠AOB＝α，得∠C＝，∠BOC＝180°﹣α，由OD∥BC，∠DOC＝∠C＝，则∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝180°﹣，所以∠BAD＝∠BOD＝90°﹣，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵AC为⊙O的直径，∠AOB＝α，
∴∠C＝∠AOB＝，∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣α，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠C＝，
∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝180°﹣α+＝180°﹣，
∴∠BAD＝∠BOD＝（180°﹣）＝90°﹣，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、圆周角定理等知识，证明∠DOC＝∠C＝是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【点拨】连接AC，根据圆内接四边形对角互补得到∠ABE＝∠ADC，根据得到∠ABD＝∠ACD结合角平分线得到∠ABE＝∠ABD，即可得到：∠ADC＝∠ACD，从而得到AC＝AD，结合勾股定理即可得到答案；
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AC＝AD，
∵AE⊥CB，AD＝6，CE＝4，
∴AC＝6
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键．
10．如图在给定的⊙O中，弦AB的弦心距OH＝6，CD＝16，点E在弦CD上，且OE＝ED＝5，当△EAB面积的为最大时，DH的长为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】过点E作EN⊥AB于点N，则点E轨迹为以点O为圆心，5为半径的圆，由OH⊥AB，EO+OH≥EN，则当点E，O，H三点共线时，EN最大，则△EAB面积最大，过点D作HO延长线的垂线，垂足为点M，过点O作OG⊥CD于点G，由垂径定理得，则GE＝GD﹣ED＝3，由勾股定理得OG＝4，显然△MED≌△GEO，则MD＝OG＝4，ME＝GE＝3，故MH＝14，在Rt△DMH中，由勾股定理即可求解．
【解析】解：过点E作EN⊥AB于点N，如图，
∵OE＝5，
∴点E轨迹为以点O为圆心，5为半径的圆，
∵EO+OH≥EN，OH⊥AB，
∴如图：当点E，O，H三点共线时，EN最大，则△EAB面积最大，
过点O作OG⊥CD于点G，过点D作HO延长线的垂线，垂足为点M，
∴，
∴GE＝GD﹣ED＝3，
∴，
∵DM⊥EM，OG⊥CD，
∴∠M＝∠OGE＝90°，
∵EO＝ED，∠MED＝∠GEO，
∴△MED≌△GEO，
∴MD＝OG＝4，ME＝GE＝3，
∴MH＝ME+OE+OH＝3+5+6＝14，
∴在Rt△DMH中，由勾股定理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于确定点E的轨迹以及当点E，O，H三点共线时，EN最大，则△EAB面积最大．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为 2π ．
【点拨】直接利用弧长公式计算即可．
【解析】解：l＝＝＝2π．
故答案为：2π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是牢记弧长的计算公式，难度不大．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 10 ．
【点拨】首先根据勾股定理，得其斜边是5，即可得到答案．
【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴BA＝＝10，
∴这个三角形的外接圆的直径为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．
13．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于 6 cm．
【点拨】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC＝BC＝AB＝8，然后根据勾股定理计算OC的长．
【解析】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm）．
故答案为6．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14．半径为3的正六边形内接于⊙O，则正六边形的边长为 3 ．
【点拨】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，同时也是正六边形ABCDEF的边长．
【解析】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，
而正六边形可以分成六个边长的正三角形，
∴正多边形的半径即为正三角形的边长，
∴正三角形的边长为3，
∴正六边形ABCDEF的边长为3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题关键是根据正六边形可以分成六个边长的正三角形解答．
15．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧BC上一点，∠ADC＝60°，若CD＝2BD＝4，则四边形ABDC的面积为 9 ．
【点拨】过点B作BE⊥CD的延长线于点E，先证明△ABC为等边三角形，再证明∠DBE＝30°，根据CD＝2BD＝4，可得BD＝2，所以，，然后根据四边形ABDC的面积＝△BDC的面积+等边三角形ABC的面积，即可解决问题．
【解析】解：如图，过点B作BE⊥CD的延长线于点E，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
又AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝∠ADC＝60°，
∴∠BDC＝120°，
∴∠BDE＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∵CD＝2BD＝4，
∴BD＝2，
∴，
∴，
∴△BDC的面积＝，
在Rt△BEC中，，CE＝CD+DE＝4+1＝5，
根据勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝3+25＝28，
∴等边三角形ABC的面积＝，
∴四边形ABDC的面积＝△BDC的面积+等边三角形ABC的面积＝．
∴四边形ABDC的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练运用圆周角定理，垂径定理．
16．如图，在半圆O中，直径AB＝8，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，则PC+PD的最小值为 4 ．
【点拨】将半圆O补充成一个整圆，过点C作AB的垂线交AB⊙O于点C′，连接C′D交AB于点P，连接PC、OC，连接OD，延长DO交⊙O于点E，连接C′E．根据垂径定理可知AB是CC′的垂直两平分线，从而可得PC+PD最小值为C′D的长度；根据圆周角定理求得∠CC′D＝12°，从而求得∠APC′＝78°，由对顶角的性质可知∠DPO＝78°，再根据三角形内角和定理求得∠PDO＝30°，由三角函数求出C′D即可．
【解析】解：将半圆O补充成一个整圆，过点C作AB的垂线交AB⊙O于点C′，连接C′D交AB于点P，连接PC、OC，连接OD，延长DO交⊙O于点E，连接C′E．
∵AB为直径，AB⊥CC′，
∴AB是CC′的垂直两平分线，
∴PC′＝PC，
∴PC′+PD＝PC+PD＝C′D，
∴PC+PD最小值为C′D的长度，
∵∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝72°﹣48°＝24°，
∴∠CC′D＝∠COD＝×24°＝12°，
∴∠APC′＝90°﹣∠CC′D＝90°﹣12°＝78°，
∴∠DPO＝∠APC′＝78°，
∴∠PDO＝180°﹣∠DPO﹣∠AOD＝180°﹣78°﹣72°＝30°，
∵DE为直径，
∴∠DC′E＝90°，DE＝AB＝8，
∴C′D＝DE cos∠PDO＝8×＝4，
∴PC+PD的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、轴对称﹣最短路线问题，作点C的对称点并将PC+PD的最小值转化为线段，掌握圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理、特殊角的三角函数是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝ED．
【点拨】连接AC，利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠A＝∠C；利用等腰三角形的判定定理得到EA＝EC，利用等式的性质即可得出结论．
【解析】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴EA＝EC．
∴AB﹣EA＝CD﹣EC．即EB＝ED．
【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定，等式的性质，连接AC，利用等弧所对的圆周角相等得出∠A＝∠C是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，0），C（﹣1，0），把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C．（每个方格的边长均为1个单位）
（1）画出△A1B1C并直接写出：
A1的坐标为 （2，0） ，
B1的坐标为 （﹣1，2） ；
（2）判断直线AB与直线A1B1的位置关系为 垂直 ．
【点拨】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1，然后写出点A1、B1的坐标；
（2）根据旋转的性质判断．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C为所作，A1的坐标为（2，0），B1的坐标为（﹣1，2）；
故答案为：（2，0）；（﹣1，2）；
（2）因为△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C，
所以AB绕点C按顺时针方向旋转90°后得到A1B1，
即直线AB与直线A1B1垂直．
故答案为：垂直．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝60°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠ADC＝∠ABC＝60°，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，根据勾股定理求出AQ，再根据垂径定理求出AC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】解：（1）∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝30°；
（2）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，
∵∠CAD＝30°，⊙O的半径为1，
∴OQ＝OA＝，
由勾股定理得：AQ＝＝＝，
∵OQ⊥AC，
∴AC＝2AQ＝，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣××
＝﹣．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键．
20．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
【点拨】（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，先根据垂径定理得到DE＝CE＝4，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出BC＝4，再根据垂径定理得到BF＝CF＝2，然后利用勾股定理可计算出OF的长．
【解析】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝＝，
即OF的长为．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
21．如图，四边形ABCD内接于一圆，连结AC、BD．
（1）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
（2）若AC为直径，C为的中点，请探究∠DAB与∠ACB之间的关系．
【点拨】（1）根据圆周角定理求出∠ADB，再根据三角形内角和定理求出∠ABD；
（2）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠DAB，∠ABC＝90°，根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ABD＝180°﹣70°﹣60°＝50°；
（2）∵C为的中点，
∴∠CAB＝∠CAD＝∠DAB，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，
∴∠DAB+∠ACB＝90°．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
22．如图，在半圆O中，直径AB＝6，点C在上，连接BC，弦BD平分∠ABC，连接OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接OC，AD．若OC∥AD，求BD的长．
【点拨】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质和判定即可得证；
（2）先证明△AOD是等边三角形，再利用圆周角定理和勾股定理即可求解．
【解析】（1）证明：∵弦BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC；
（2）解：∵OC∥AD，
∴∠BAD＝∠BOC，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠BOC，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠AOD＝∠COD，
∴∠BOC＝∠AOD＝∠COD＝60°，
∵OA＝OD，AB＝6，
∴△AOD是等边三角形，
∴，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝3．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟知以上知识是解题的关键．
23．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结BE．
小明：根据题意，我画出了如图1的情况；
小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若∠BAC为钝角，我发现圆与直线AC的交点在线段CA的延长线上；
小明：哦...我明白了!
（1）在图1中求证：点D是边BC的中点；
（2）记∠ABE的度数为α．求出∠C的度数（用α表示）．
【点拨】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质可得出结论；
（2）当△ABC是锐角三角形时，点E在边AC上，根据∠AEB＝90°得∠BAC＝90°﹣α，再根据AB＝AC可得出∠C的度数；当△ABC是钝角三角形时，点E在CA的延长线上，根据∠AEB＝90°得∠BAC＝90°+α，再根据AB＝AC可得出∠C的度数；当△ABC是直角三角形时，点E与点A重合，此时α＝0°，∠C＝45°．综上所述即可得出答案．
【解析】（1）证明：连接AD，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
即点D是边BC的中点；
（2）当△ABC是锐角三角形时，点E在边AC上，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣α，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝45°+；
当△ABC是钝角三角形时，点E在CA的延长线上，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAC＝90°+α，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝45°﹣；
当△ABC是直角三角形时，点E与点A重合，
此时α＝0°，∠C＝45°．
综上所述：∠C的度数是45°+或45°﹣或45°．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
24．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD．求证：OD∥AC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC中点，
①求证：∠BOD＝45°；
②若⊙O的半径为2，求AC的长．
【点拨】（1）根据圆周角定理，由＝得到∠BAD＝∠CAD，加上∠BAD＝∠ODA，所以∠CAD＝∠ODA，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）①先根据垂径定理得到EF⊥AC，再利用OD∥AC得到DO⊥EF，所以∠DOE＝90°，接着利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理得到∠BOD＝∠DOE＝45°；
②由OD∥AC得到∠CAB＝∠BOD＝45°，再根据垂径定理得到AG＝CG，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG＝，从而得到AC的长．
【解析】（1）证明：∵D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC；
（2）解：①∵G为AC中点，EF为直径，
∴EF⊥AC，
∵OD∥AC，
∴DO⊥EF，
∴∠DOE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠DOE＝45°；
②∵OD∥AC，
∴∠CAB＝∠BOD＝45°，
∵OG⊥AC，
∴AG＝CG，△AOG是等腰直角三角形，
∴AG＝×2＝，
∴AC＝2AG＝2．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
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第3章 圆 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
2．下列说法中正确的是（ ）
A．所对圆心角相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
5．如图，点A在⊙O上，OD⊥弦BC于点D．若∠BAC＝45°，OD＝1，则BC＝（ ）
、
A． B．2 C．2 D．
6．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40° B．44° C．50° D．55°
7．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝α，则∠BAD的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
10．如图在给定的⊙O中，弦AB的弦心距OH＝6，CD＝16，点E在弦CD上，且OE＝ED＝5，当△EAB面积的为最大时，DH的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 ．
13．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于 cm．
14．半径为3的正六边形内接于⊙O，则正六边形的边长为 ．
15．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧BC上一点，∠ADC＝60°，若CD＝2BD＝4，则四边形ABDC的面积为 ．
16．如图，在半圆O中，直径AB＝8，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，则PC+PD的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝ED．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，0），C（﹣1，0），把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C．（每个方格的边长均为1个单位）
（1）画出△A1B1C并直接写出：
A1的坐标为 ，
B1的坐标为 ；
（2）判断直线AB与直线A1B1的位置关系为 ．
19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝60°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
20．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
21．如图，四边形ABCD内接于一圆，连结AC、BD．
（1）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
（2）若AC为直径，C为的中点，请探究∠DAB与∠ACB之间的关系．
22．如图，在半圆O中，直径AB＝6，点C在上，连接BC，弦BD平分∠ABC，连接OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接OC，AD．若OC∥AD，求BD的长．
23．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结BE．
小明：根据题意，我画出了如图1的情况；
小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若∠BAC为钝角，我发现圆与直线AC的交点在线段CA的延长线上；
小明：哦...我明白了!
（1）在图1中求证：点D是边BC的中点；
（2）记∠ABE的度数为α．求出∠C的度数（用α表示）．
24．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD．求证：OD∥AC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC中点，
①求证：∠BOD＝45°；
②若⊙O的半径为2，求AC的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【点拨】利用圆周角定理解决问题即可．
【解析】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．所对圆心角相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
【点拨】根据等弧的定义垂径定理，圆周角定理一一判断即可．
【解析】解：A．在同圆或等圆中，所对圆心角相等的两条弧是等弧，故A错误，本选项不符合题意；
B．平分弦的直径垂直于弦，此弦不能是直径，故B错误，本选项不符合题意；
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误，本选项不符合题意；
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故D正确，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【点拨】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
【解析】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
4．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【点拨】连接AD，证明AB＝AC，利用三线合一的性质求出∠BAD即可解决问题．
【解析】解：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴AB＝AC，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°，
∴∠BED＝∠BAD＝25°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，点A在⊙O上，OD⊥弦BC于点D．若∠BAC＝45°，OD＝1，则BC＝（ ）
A． B．2 C．2 D．
【点拨】利用圆周角定理得到∠BOC＝90°，利用等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB＝45°，再根据垂径定理得到BD＝CD，根据等腰三角形的判定与性质求出BD，从而得到BC的长．
【解析】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BOD＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠OBD，
∴BD＝OD＝2，
∴BC＝2BD＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
6．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40° B．44° C．50° D．55°
【点拨】连接OE，利用圆周角定理求得∠AOD＝40°，再求得∠DOE＝∠BOE＝70°，根据等边对等角即可求解．
【解析】解：连接OE，如图所示：
∵∠ACD＝20°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝40°，
∵点E是弧BD的中点，
∴，
∵OE＝OB，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】如图，连接OA，OC．设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，构建方程组求出r即可．
【解析】解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝8，AM＝MB＝10，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得r＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝α，则∠BAD的度数为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】由AC为⊙O的直径，∠AOB＝α，得∠C＝，∠BOC＝180°﹣α，由OD∥BC，∠DOC＝∠C＝，则∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝180°﹣，所以∠BAD＝∠BOD＝90°﹣，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵AC为⊙O的直径，∠AOB＝α，
∴∠C＝∠AOB＝，∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣α，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠C＝，
∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝180°﹣α+＝180°﹣，
∴∠BAD＝∠BOD＝（180°﹣）＝90°﹣，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、圆周角定理等知识，证明∠DOC＝∠C＝是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【点拨】连接AC，根据圆内接四边形对角互补得到∠ABE＝∠ADC，根据得到∠ABD＝∠ACD结合角平分线得到∠ABE＝∠ABD，即可得到：∠ADC＝∠ACD，从而得到AC＝AD，结合勾股定理即可得到答案；
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AC＝AD，
∵AE⊥CB，AD＝6，CE＝4，
∴AC＝6
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键．
10．如图在给定的⊙O中，弦AB的弦心距OH＝6，CD＝16，点E在弦CD上，且OE＝ED＝5，当△EAB面积的为最大时，DH的长为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】过点E作EN⊥AB于点N，则点E轨迹为以点O为圆心，5为半径的圆，由OH⊥AB，EO+OH≥EN，则当点E，O，H三点共线时，EN最大，则△EAB面积最大，过点D作HO延长线的垂线，垂足为点M，过点O作OG⊥CD于点G，由垂径定理得，则GE＝GD﹣ED＝3，由勾股定理得OG＝4，显然△MED≌△GEO，则MD＝OG＝4，ME＝GE＝3，故MH＝14，在Rt△DMH中，由勾股定理即可求解．
【解析】解：过点E作EN⊥AB于点N，如图，
∵OE＝5，
∴点E轨迹为以点O为圆心，5为半径的圆，
∵EO+OH≥EN，OH⊥AB，
∴如图：当点E，O，H三点共线时，EN最大，则△EAB面积最大，
过点O作OG⊥CD于点G，过点D作HO延长线的垂线，垂足为点M，
∴，
∴GE＝GD﹣ED＝3，
∴，
∵DM⊥EM，OG⊥CD，
∴∠M＝∠OGE＝90°，
∵EO＝ED，∠MED＝∠GEO，
∴△MED≌△GEO，
∴MD＝OG＝4，ME＝GE＝3，
∴MH＝ME+OE+OH＝3+5+6＝14，
∴在Rt△DMH中，由勾股定理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于确定点E的轨迹以及当点E，O，H三点共线时，EN最大，则△EAB面积最大．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为 2π ．
【点拨】直接利用弧长公式计算即可．
【解析】解：l＝＝＝2π．
故答案为：2π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是牢记弧长的计算公式，难度不大．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 10 ．
【点拨】首先根据勾股定理，得其斜边是5，即可得到答案．
【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴BA＝＝10，
∴这个三角形的外接圆的直径为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．
13．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于 6 cm．
【点拨】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC＝BC＝AB＝8，然后根据勾股定理计算OC的长．
【解析】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm）．
故答案为6．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14．半径为3的正六边形内接于⊙O，则正六边形的边长为 3 ．
【点拨】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，同时也是正六边形ABCDEF的边长．
【解析】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，
而正六边形可以分成六个边长的正三角形，
∴正多边形的半径即为正三角形的边长，
∴正三角形的边长为3，
∴正六边形ABCDEF的边长为3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题关键是根据正六边形可以分成六个边长的正三角形解答．
15．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧BC上一点，∠ADC＝60°，若CD＝2BD＝4，则四边形ABDC的面积为 9 ．
【点拨】过点B作BE⊥CD的延长线于点E，先证明△ABC为等边三角形，再证明∠DBE＝30°，根据CD＝2BD＝4，可得BD＝2，所以，，然后根据四边形ABDC的面积＝△BDC的面积+等边三角形ABC的面积，即可解决问题．
【解析】解：如图，过点B作BE⊥CD的延长线于点E，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
又AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝∠ADC＝60°，
∴∠BDC＝120°，
∴∠BDE＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∵CD＝2BD＝4，
∴BD＝2，
∴，
∴，
∴△BDC的面积＝，
在Rt△BEC中，，CE＝CD+DE＝4+1＝5，
根据勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝3+25＝28，
∴等边三角形ABC的面积＝，
∴四边形ABDC的面积＝△BDC的面积+等边三角形ABC的面积＝．
∴四边形ABDC的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练运用圆周角定理，垂径定理．
16．如图，在半圆O中，直径AB＝8，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，则PC+PD的最小值为 4 ．
【点拨】将半圆O补充成一个整圆，过点C作AB的垂线交AB⊙O于点C′，连接C′D交AB于点P，连接PC、OC，连接OD，延长DO交⊙O于点E，连接C′E．根据垂径定理可知AB是CC′的垂直两平分线，从而可得PC+PD最小值为C′D的长度；根据圆周角定理求得∠CC′D＝12°，从而求得∠APC′＝78°，由对顶角的性质可知∠DPO＝78°，再根据三角形内角和定理求得∠PDO＝30°，由三角函数求出C′D即可．
【解析】解：将半圆O补充成一个整圆，过点C作AB的垂线交AB⊙O于点C′，连接C′D交AB于点P，连接PC、OC，连接OD，延长DO交⊙O于点E，连接C′E．
∵AB为直径，AB⊥CC′，
∴AB是CC′的垂直两平分线，
∴PC′＝PC，
∴PC′+PD＝PC+PD＝C′D，
∴PC+PD最小值为C′D的长度，
∵∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝72°﹣48°＝24°，
∴∠CC′D＝∠COD＝×24°＝12°，
∴∠APC′＝90°﹣∠CC′D＝90°﹣12°＝78°，
∴∠DPO＝∠APC′＝78°，
∴∠PDO＝180°﹣∠DPO﹣∠AOD＝180°﹣78°﹣72°＝30°，
∵DE为直径，
∴∠DC′E＝90°，DE＝AB＝8，
∴C′D＝DE cos∠PDO＝8×＝4，
∴PC+PD的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、轴对称﹣最短路线问题，作点C的对称点并将PC+PD的最小值转化为线段，掌握圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理、特殊角的三角函数是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝ED．
【点拨】连接AC，利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠A＝∠C；利用等腰三角形的判定定理得到EA＝EC，利用等式的性质即可得出结论．
【解析】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴EA＝EC．
∴AB﹣EA＝CD﹣EC．即EB＝ED．
【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定，等式的性质，连接AC，利用等弧所对的圆周角相等得出∠A＝∠C是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，0），C（﹣1，0），把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C．（每个方格的边长均为1个单位）
（1）画出△A1B1C并直接写出：
A1的坐标为 （2，0） ，
B1的坐标为 （﹣1，2） ；
（2）判断直线AB与直线A1B1的位置关系为 垂直 ．
【点拨】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1，然后写出点A1、B1的坐标；
（2）根据旋转的性质判断．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C为所作，A1的坐标为（2，0），B1的坐标为（﹣1，2）；
故答案为：（2，0）；（﹣1，2）；
（2）因为△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C，
所以AB绕点C按顺时针方向旋转90°后得到A1B1，
即直线AB与直线A1B1垂直．
故答案为：垂直．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝60°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠ADC＝∠ABC＝60°，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，根据勾股定理求出AQ，再根据垂径定理求出AC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】解：（1）∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝30°；
（2）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，
∵∠CAD＝30°，⊙O的半径为1，
∴OQ＝OA＝，
由勾股定理得：AQ＝＝＝，
∵OQ⊥AC，
∴AC＝2AQ＝，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣××
＝﹣．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键．
20．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
【点拨】（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，先根据垂径定理得到DE＝CE＝4，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出BC＝4，再根据垂径定理得到BF＝CF＝2，然后利用勾股定理可计算出OF的长．
【解析】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝＝，
即OF的长为．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
21．如图，四边形ABCD内接于一圆，连结AC、BD．
（1）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
（2）若AC为直径，C为的中点，请探究∠DAB与∠ACB之间的关系．
【点拨】（1）根据圆周角定理求出∠ADB，再根据三角形内角和定理求出∠ABD；
（2）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠DAB，∠ABC＝90°，根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ABD＝180°﹣70°﹣60°＝50°；
（2）∵C为的中点，
∴∠CAB＝∠CAD＝∠DAB，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，
∴∠DAB+∠ACB＝90°．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
22．如图，在半圆O中，直径AB＝6，点C在上，连接BC，弦BD平分∠ABC，连接OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接OC，AD．若OC∥AD，求BD的长．
【点拨】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质和判定即可得证；
（2）先证明△AOD是等边三角形，再利用圆周角定理和勾股定理即可求解．
【解析】（1）证明：∵弦BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC；
（2）解：∵OC∥AD，
∴∠BAD＝∠BOC，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠BOC，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠AOD＝∠COD，
∴∠BOC＝∠AOD＝∠COD＝60°，
∵OA＝OD，AB＝6，
∴△AOD是等边三角形，
∴，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝3．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟知以上知识是解题的关键．
23．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结BE．
小明：根据题意，我画出了如图1的情况；
小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若∠BAC为钝角，我发现圆与直线AC的交点在线段CA的延长线上；
小明：哦...我明白了!
（1）在图1中求证：点D是边BC的中点；
（2）记∠ABE的度数为α．求出∠C的度数（用α表示）．
【点拨】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质可得出结论；
（2）当△ABC是锐角三角形时，点E在边AC上，根据∠AEB＝90°得∠BAC＝90°﹣α，再根据AB＝AC可得出∠C的度数；当△ABC是钝角三角形时，点E在CA的延长线上，根据∠AEB＝90°得∠BAC＝90°+α，再根据AB＝AC可得出∠C的度数；当△ABC是直角三角形时，点E与点A重合，此时α＝0°，∠C＝45°．综上所述即可得出答案．
【解析】（1）证明：连接AD，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
即点D是边BC的中点；
（2）当△ABC是锐角三角形时，点E在边AC上，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣α，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝45°+；
当△ABC是钝角三角形时，点E在CA的延长线上，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAC＝90°+α，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝45°﹣；
当△ABC是直角三角形时，点E与点A重合，
此时α＝0°，∠C＝45°．
综上所述：∠C的度数是45°+或45°﹣或45°．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
24．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD．求证：OD∥AC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC中点，
①求证：∠BOD＝45°；
②若⊙O的半径为2，求AC的长．
【点拨】（1）根据圆周角定理，由＝得到∠BAD＝∠CAD，加上∠BAD＝∠ODA，所以∠CAD＝∠ODA，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）①先根据垂径定理得到EF⊥AC，再利用OD∥AC得到DO⊥EF，所以∠DOE＝90°，接着利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理得到∠BOD＝∠DOE＝45°；
②由OD∥AC得到∠CAB＝∠BOD＝45°，再根据垂径定理得到AG＝CG，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG＝，从而得到AC的长．
【解析】（1）证明：∵D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC；
（2）解：①∵G为AC中点，EF为直径，
∴EF⊥AC，
∵OD∥AC，
∴DO⊥EF，
∴∠DOE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠DOE＝45°；
②∵OD∥AC，
∴∠CAB＝∠BOD＝45°，
∵OG⊥AC，
∴AG＝CG，△AOG是等腰直角三角形，
∴AG＝×2＝，
∴AC＝2AG＝2．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
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