第6章 反比例函数
6.1反比例函数（1）
【教学目标】
知识与技能
从现实情境和已知经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对概念的理解。
过程与方法
经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
情感、态度与价值观
会求简单实际问题中的反比例函数解析式。
【教学重难点】
重点：反比例函数的概念。
难点：
1、理解反比例函数的概念；
2、例题中涉及《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度，是本节课的难点。
【导学过程】
【情景导入】
1、八年级同学决定制作一块宽为x (cm)，长为 y (cm)，面积为1200 (cm2) 的花园中学宣传牌.则y与 x之间的关系式为:则y关于x的函数关系式为
2、4月22日是世界地球日，学校向同学号召要节约能源；面巾纸成为很多人生活中必不可少的一种卫生清洁用品， 一刀200抽的面巾纸，若小丽家 x天用完，平均每天用y张.
则y关于x的函数关系式为
3、金温高铁丽水段将于2015年12月20日通车。全长约188公里 。设列车全程的行驶时间为t 小时，列车的平均速度为vkm/h
则v关于t的函数关系式为
4、我们知道,电流I,电阻R,电压U之间满足关系式U=IR.当U=220V时.
(1)你能用含有R的代数式表示I吗
(2)利用写出的关系式完成下表:
R（Ω） 20 40 60 80 100
I（A）
当R越来越大时,I怎样变化 当R越来越小呢
(3)变量I是R的函数吗？为什么？
（以上4个问题，学生先独立思考，完成后请人回答）
由以上的实例中可得到如下的函数关系式：
议一议：
小学时我们就已经学过，两个量的乘积是一个不为零的常数，这两个量就成什么比例呢？（反比例）
所以，我们称这一类函数为反比例函数。认识一种新的知识，都要从定义开始，让我们类比正比例函数的定义方法，给反比例函数下个定义吧。
【新知探究】
概念：形如 (k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数，自变量x的取值范围是：x≠0的全体实数。[板书定义]
小结：在反比例函数的定义中，有两点要提醒大家注意：
k≠0, ②x≠0 (两个不为零)[板书]
小提示：
反比例函数有时也会以y=kx -1和以x y=k的形式出现.
【随堂练习】
下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？
学生练习，教师巡视。学生单独回答。
学生逐一讲解，如果是反比例函数，则说出k的值。
小提示：1、反比例函数的不是总是以一般形式出现，有时还会以其他的形式出现，它可以转化为一般式。
[板书]
乘胜追击： 是反比例函数吗？（强调比例系数k不为零） 呢？
小提示：反比例函数有时也会以 的形式出现.
反思：
1. 判断一个函数是否是反比例函数，可以用定义来判断。
2. 或者从其本质上去分析，即两个变量x，y的积是一个不为零的常数（ ）
背景知识讲解：杠杆原理 动力×动力臂=阻力×阻力臂
例：如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗
如果是，请说出比例系数；[学生回答，教师板书]
(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；
[学生回答]
（3）问：当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请大家猜想一下。
老师给出假设动力x=d 求出对应的动力，再给出扩大n倍后的动力x=nd，求出对应的动力，
板书：比较两个动力之间的关系
小结：当动力臂扩大到原来的n倍时，动力就缩小到原来的1/n，所以当动力臂无限地扩大，那动力就会无限地缩小，所以阿基米德会说：“给我一个支点，我能撬起地球。”
变式练习：
如果把动力臂长缩小到原来的，那么所需动力将怎样变化？
（学生独立完成后师生点评）
【知识梳理】这节课你收获了什么？
【达标测评】
1．若y是x的反比例函数，比例系数为，则y关于x的函数关系式为 。
2、请尝试编出能用 解释的实际问题？
3、设面积为10cm2的三角形的一边长为a(cm),这条边上的高为h(cm)
(1)求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；
(2)求当边长a=2.5cm时，这条边上的高。
4、已知y=-3xm-7正比例函数，则m=____ ___
已知y=-3xm-7反比例函数，则m=__ _ ___
5、驾车从花园中学出发，来到美丽的东西岩风景区，汽车旅程表显示为30km，请你写出行驶速度vkm/h关于行驶时间t之间的关系式_______
（1）、说说它们满足什么函数关系？
（2）、当v=60时，t是多少？说说它们的实际意义？
6、若函数是反比例函数，则m=
7、若与成反比例，与成正比例，则是的
A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定函数的关系
8、已知y=y1+y2,且y1与（x+1）成正比例，y2与（x－2）成反比例。当x=1时,y=4；当x=3时,y=16，求y与x的函数关系式？第6章 反比例函数
6.1反比例函数的图像和性质（2）
【教学目标】
知识与技能
1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质.
2.利用反比例函数的性质解决有关问题.
过程与方法
经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质.
情感、态度与价值观
探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题.
【教学重难点】
重点：根据反比例函数的图象，探索并掌握反比例函数的主要性质.
难点：探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用.
【导学过程】
【情景导入】
在上一节讲解中，我们画出了函数y＝k/x（k≠0）的图象，本节课我们就来讨论一般的反比例函数y=k/x（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质.
【新知探究】
学生试一试：画出反比例函数y=-6/x的图象
学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.
学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？
归纳
反比例函数y=kx有下列性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
例1 已知反比例函数y=k/x(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y＝kx－k的图象经过的象限．
分析：由于反比例函数y=k/x(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此k＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．
解：因为反比例函数y=k/x(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限．
例2 从A市到B市列车的行驶里程为120千米，假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过160千米/时。
⑴ 求v关于t的函数解析式和自变量t的取值范围；
⑵ 画出所求函数的图象；
⑶ 从A市开出一列火车，在40分内（包括40分）到达B市可能吗？在50分内（包括50分）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？
所以当－3≤x≤-1/2时，此函数的最大值为8，最小值为4/3．
【随堂练习】
如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=m/x的图象相交于A、B两点.
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；
（2）求出两函数的解析式；
（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.
分析：（1）观察图象，可直接写出A、B两点的坐标；
（2）利用A、B两点的坐标，用待定系数法建立方程组求解，可确定两函数的解析式；
（3）通过两函数的交点A、B的坐标得出答案.
本题有一定难度，教师可将题目展开，分步讲解，辅导学生克服对大题的恐惧.本题考查了从图象获取信息，应用待定系数法确定反比例函数与一次函数的关系式，以及利用图象比较函数值的大小等知识点.解：
【知识梳理】这节课你收获了什么？第6章 反比例函数
6.３反比例函数的应用
【教学目标】
知识与技能
1.根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，会画出它的图像，能根据图像指出函数值随自变量变化情况。
2.会综合运用反比例函数的表达式。
过程与方法
能通过探索实际问题列出函数关系式，利用反比例函数的性质解释实际问题，细心体会图像在解决问题时的作用
情感、态度与价值观
注意合作讨论，探索交流中，发展从图中获取信息的能力，渗透数形结合的思想方法通过对实际问题的分析与解决，让学生体验数学的价值，培养学生对数学的兴趣。
【教学重难点】
重点：反比例函数的应用，数形结合思想在函数中的应用。
难点：反比例函数与其它知识点的综合题，体会建模思想。
【导学过程】
【情景导入】
1、通过两幅图让学生回想反比例函数有关知识
教师板书 反比例函数的图象性质特征：
（不断提示学生补充完善）
2、实际上反比例函数的性质在实际生活中有着广泛的应用，今天我们就从实际问题出发来探讨一下反比例函数的应用问题.
【新知探究】
1、演示课件给出教材中本课例1的问题。
例1：设 ABC中BC边的长为x（cm），BC上的高AD为y（cm）， ABC的面积为常数。已知y关于x的函数图象过点（3，4）？
求y关于x的函数解析式和 ABC 的面积？
( 2)画出函数的图象。并利用图象，求当2
教师：我们学过三角形的面积公式，让学生明确变量x、y之间是什么函数关系。
教师巡视学生画函数图象并及时纠正学生错误之处。
教师让学生正确读图，并作适当提示。
进一步提问：若题目（2）中“没有利用图象”这个条件，还可怎样求解？
让学生思考，然后作启发：能否利用反比例函数的增减性求解。
除上述方法外，还有其他方法吗？
好！根据同学们回答，老师小结下面的问题注意：
一是画出函数图像的三个步骤，二是画出的函数应符合实际问题的实际意义，也就是列表时应注意自变量的取值范围，并可根据图像的性质回答相关的问题。
强调数形结合思想。
例2：如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。
（1）请根据表中的数据求出压强p（kPa）关于体积V(mL)的函数关系式；
⑵当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体积压缩到多少ml？
体积V（mL) 压强p(kPa)
100 60
90 67
80 75
70 86
60 100
（1）让学生读题，并理解题意
（2）你能说出变量p与V之间函数关系吗？
给以适当启发：
表中给出的实验数据，同学们将作怎样的分析、处理（分小组进行合作交流）
肯定学生的探索能力及精神，并进一步启发，能否用图象描述p、V的对应值。
在学生画图的基础上，进一步启发学生，观察图象，去猜测p、V之间的函数关系
教师启发：是否反比例函数，我们要进行验证。
教师巡视指导学生板书，并强调注意点。
小结反思：
建模过程：实验获得数据，用描点法画出图象
在学生画图的基础上，进一步启发学生，观察图象，去猜测p、V之间的函数关系
教师启发：是否反比例函数，我们要进行验证。
教师巡视指导学生板书，并强调注意点。
小结反思：
建模过程：实验获得数据，用描点法画出图象，根据图象和数据判断或估计函数的类别，用待定系数法求出函数关系式，用实验数据验证函数关系式，应用函数关系式解决问题。
拓展：上例中，若压强80教师启发学生利用例1方法解决。
【随堂练习】
1、经过实验获得两个变量的一组对应值如下表。
x 1 2 3 4 5 6
y 6 2.9 2.1 1.5 1.2 1
（1）画出相应函数的图象。
（2）求这个函数的表达式。
（3）求当时，x的值。
2、某打印店要完成一批电脑打字任务，每天完成75页，需8天，设每天完成的页数为y，所需的天数为x.问:y与x是何种函数关系？若要求在5天内完成任务，每天至少要完成几页？
教师组织学生互批互评，并及时给以矫正
【知识梳理】这节课你收获了什么？
引导学生回顾本节课的知识要点，强调解决应用题的步骤和将实际问题转化为数学模型需要注意的问题。
数学思想：数形结合、方程思想、函数思想
探索活动：某一农家计划利用已有的一堵长为7.9m的墙,围成一个面积为12m2的园子.现有可用的篱笆总长为11m.
(1)你能否给出一种围法
(2)要使园子的长、宽都是整数米,问共有几种围法
(3)若要使11m长的篱笆恰好用完，应怎样围？
教师启发学生画图第6章 反比例函数
6.2 反比例函数的图象和性质（1）
【教学目标】
知识与技能
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.
2.逐步提高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
过程与方法
经历实验操作、探究思考、观察分析的过程中，培养学生探究、归纳及概括的能力.
情感、态度与价值观
在通过画图探究反比例函数的性质过程中，发展学生的合作交流意识，增强求知欲望.
【教学重难点】
重点：画反比例函数的图象,并从函数图象中获取信息.
难点：反比例函数的图象特点.
【导学过程】
【情景导入】
问题我们知道，一次函数y=6x的图象是一条直线，那么反比例函数y=6/x的图象是什么形状呢？你能用“描点”的方法画出函数的图象吗？
教师提出问题，学生思考、交流，尝试着解决问题，教师巡视，关注学生的画图，及时纠正个别同学在画图中的不足和失误之处，帮助学生尽可能得到其合适的图象.
【新知探究】
问题1 在坐标系中画出反比例函数y＝4x的图象.
在学生探索画反比例函数的图象过程中，教师应给予恰当点拨：如学生列表时，由于自变量x≠0，故在x<0和x>0时，应各取三个以上的数据，以便使描点画图更精确些；在连线上，x<0和x>0的两个分支应根据变化趋势用平滑曲线连接，但它们是不能相交的；列表中数据，描点时点的位置等不能出错，以保证图象更能反映出反比例函数的性质.
问题2 反比例函数y＝4x的图象有什么特点？反比例函数y＝4x与y＝－4x的图象呢？同学间相互讨论.
让同学们交流，找出图象的特征，教师可参加讨论，帮助学生获取正确认知.思考观察函数y＝4x与y＝－4x的图象
（1）你能发现它们的共同特征以及不同吗？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
【归纳结论】
反比例该函数y＝kx的图象特征：
（1）反比例函数y＝kx（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限;
（3）反比例函数y＝kx（k≠0）的图象关于直角坐标系的原点成中心对称.
例1 若反比例函数y=（m+1）x2-m^2的图象在第二、四象限，求m的值．
分析：由反比例函数的定义可知：2-m2=-1,又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．
解:由题意，得2-m2=-1
m+1＜0,解得m=-3．
例2 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．
(1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析：(1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．
由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．
解：(1)设：反比例函数的解析式为：y=k/x(k≠0)．
而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．
所以-2=k/1，k＝－2．
即反比例函数的解析式为：y=-2/x．
(2)点A(－5,m)在反比例函数y=-2/x图象上，所以m=-=，点A的坐标为(-5, ).点A关于x轴的对称点(-5,-)不在这个图象上；点A关于y轴的对称点(5,25)不在这个图象上；点A关于原点的对称点(5,-)在这个图象上；
例3 已知函数y=(m-2)x3-m^2为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
解：(1)由反比例函数的定义可知：
解得，m＝－2．
(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内.在各象限内，y值随着x的增大而增大.
【随堂练习】
1.若反比例函数y= 的图象的一个分支在第三象限，则m的取值范围是______.
2.如图是某一函数的图象的一部分，则这个函数的表达式可能是（ ）
A.y=5x B.y=-x+3 C.y=-6/x D.y=4/x
学生独立完成，然后相互交流，谈谈自己的看法，教师应参与学生的讨论，加深学生对反比例函数的图象及其性质的认识和理解，从而更好地掌握本节知识.
【知识梳理】这节课你收获了什么？第6章 反比例函数
6.1反比例函数（2）
——反比例函数的解析式
【教学目标】
知识与技能
能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.
过程与方法
经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.
情感、态度与价值观
结合实例引导学生了解所讨论的函数的解析式，形成反比例函数的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
【教学重难点】
重点：反比例函数解析式的确定.
难点：反比例函数的确定.
【导学过程】
【情景导入】
同学们，我们在八年级学过一次函数和正比例函数，但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路程为1200 km，某人开车要从A地到B地，汽车的速度v(km／h)和时间t(h)之间的关系式为vt＝1200，则t=1200／v中，这就是反比例函数表达式.
设计生活常见问题主要是让学生认识到反比例函数在生活中的普遍存在，激发学生了解反比例函数表达式、进一步学习反比例函数的学习愿望，让学生尽快地进入学习状态．
【新知探究】
问题 已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9，写出y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围.
【教学说明】
提出问题：知道是反比例函数，如何求反比例函数解析式.
例1 已知变量y与x成反比例，并且当x=3时，y=7.求：
（1）y与x之间的函数关系式；
（2）当x=6时，y的值；
（3）当y=4时，x的值.
例2 已知y与x－1成反比例，当x=时，y=－，求出函数关系式.
例3 已知y是x2的反比例函数，当x=3时，y=4.
（1） 写出y与x的函数关系式.
（2） 求当x=1.5时y的值.
【随堂练习】
1.将下列各题中y与x的函数关系写出来．
(1)y=，z与x成正比例；
(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；
(3)y与2z成反比例，z与1/2x成正比例；
3.已知y＝y1＋y2， y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．
分析：y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x2成反比例，则y2=，又由y＝y1＋y2，可知，y=k1x+，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式．
【知识梳理】这节课你收获了什么？