第4章 相似三角形 单元检测基础过关卷（含解析）

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第4章 相似三角形 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝
2．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3．若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则EF＝（　　）
A．3 B．6 C．4 D．5
3．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（　　）
A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8）
5．把矩形ABCD对折，折痕为MN，且矩形DMNC与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的长AD与宽AB的比为（　　）
A．1： B．1： C．：1 D．：1
6．如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2，则BE长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝9m，则树高AB为（　　）
A．4m B．4.5m C．5m D．6m
8．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B． C． D．
9．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE AB；②1.8≤AE＜5；③当时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD＝4或者6.25．其中正确的结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．已知＝，则＝　 　．
12．已知线段b是线段a、c的比例中项，如果a＝4，c＝9，那么b＝ 　 　．
13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为 　 　cm．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，△ADE的面积为1，则△BCD的面积为 　 　．
15．如图，面积为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝BC，则小正方形的边长为 　 　．
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，，射线ED和CB的延长线交于点F，则的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
18．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点．
（2）如图2，在OA边上找一点F，使得．
19．期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了27处山西极具代表性的古建筑为场景，飞虹塔就是其中之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
侧量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝4米步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得 PF＝6米，FD＝28米．（以上数据均为近似值）
根据表格伯息，求飞虹塔的大致高度AB．
20．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
21．如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，CD与BA的延长线交于E，BD与AC交于点F．
（1）求证：DC2＝DF DB；
（2）若AE＝AO，CD＝2，求ED的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？
（2）当t为何值时，点P、C、Q组成的三角形与△ABC相似？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．
（1）求证：＝；
（2）当点P为BC中点时，求CM的值；
（3）当MP⊥BC时，求BP的值．
24．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD上一动点，AE交BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于G点，点H为FG的中点．
（1）求证：AF＝FG；
（2）若DE＝DF，求证：FG2＝CE CD；
（3）若DE＝CE，求证：CG＝2BG．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝
【点拨】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】解：A、2×5≠3×4，故选项不符合题意；
B、1×4＝2×2，故选项符合题意；
C、4×10≠6×8，故选项不符合题意；
D、×3≠×，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3．若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则EF＝（　　）
A．3 B．6 C．4 D．5
【点拨】先由l1∥l2∥l3，运用平行线分线段成比例的内容可得，再将AB＝4，AC＝6，DF＝9代入求出DE，即可求解．
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝9，
∴，即，
解得DE＝6．
∴EF＝DF﹣DE＝9﹣6＝3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
3．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．C．D．
【点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（　　）
A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8）
【点拨】根据点A、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，A（1.5，0），D（4.5，0），
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∵点C的坐标为（1，3），
∴点F的坐标为（1×3，3×3），即（3，9），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换，根据点A、D的坐标求出相似比是解题的关键．
5．把矩形ABCD对折，折痕为MN，且矩形DMNC与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的长AD与宽AB的比为（　　）
A．1： B．1： C．：1 D．：1
【点拨】设矩形ABCD的长AD＝x，宽AB＝y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【解析】解：设矩形ABCD的长AD＝x，宽AB＝y，则DM＝AD＝x．
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似．
∴＝，即＝
即y2＝x2．
∴x：y＝：1．故选D．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
6．如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2，则BE长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据黄金分割点列一元二次方程求解，然后根据矩形的性质即可解答．
【解析】解：由题意可得：BE2＝2（2﹣BE），
解得：或（舍去）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查黄金分割点、矩形的性质，能根据黄金分割点列一元二次方程是解题的关键．
7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝9m，则树高AB为（　　）
A．4m B．4.5m C．5m D．6m
【点拨】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解析】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝4.5，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4.5＝6（m），
即树高6m．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
8．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．
【解析】解：如图，点E即为所求作的点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．
9．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】由BE：EC＝2：3，求证△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA，根据相似三角形性质得到，进而由相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】解：过D作DF⊥BC，如图所示：
∴，，
∵S△BDE：S△CDE＝2：3，
∴BE：EC＝2：3，
∴BE：BC＝2：5，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE AB；②1.8≤AE＜5；③当时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD＝4或者6.25．其中正确的结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】如图1：在线段DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，易证△ABD∽△ADF进而可得AD2＝AB AE即可判定①；结合①的结论可得，再确定AD的范围为3≤AD＜5，进而得到1.8≤AE＜5，即②正确；分两种情况：当BD＜4时，可证明结论正确，当BD＞4时，结论不成立；故③错误；△DCE为直角三角形，可分两种情况∠CDE＝90°或∠CED＝90°分别讨论求解即可④．
【解析】解：如图1，在线段 DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，则∠AFE＝∠AEF
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B＝a，
∴∠C＝∠ADE＝a，
∵∠AFE＝∠DAF+∠ADE，∠AEF＝∠C+∠CDE，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAD，
∴△ABD∽△ADF，
∴，即AD2＝AB AF
∴AD2＝AB AE，故①正确；
∴，
当AD⊥BC时，由勾股定理可得：，
∴3≤AD＜5，
∴，即1.8≤AE＜5，故②正确；
如图2，作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝5，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BD＝3或BD′＝5，CD＝5或CD′＝3，
∵∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠ADE＝∠B＝a，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，DC＝AB，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
但△ABD′与△D′CE显然不是全等形，故③不正确；
如图3，AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAE＝∠C+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠C＝∠B，
∴BD＝4，
如图4，DE⊥BC于D，AH⊥BC于H，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠ADH＝∠CAH，
∴△ADH∽△CAH，
∴，即，
∴，
∴，故④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形性质、勾股定理、全等三角形判定和性质、相似三角形判定和性质、动点问题和分类讨论思想等知识点；掌握动点问题和分类讨论思想是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知＝，则＝　　．
【点拨】直接利用合比性质计算．
【解析】解：∵＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
12．已知线段b是线段a、c的比例中项，如果a＝4，c＝9，那么b＝ 　6　．
【点拨】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而即可得到b的值．
【解析】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，a＝3、c＝4，
∴b2＝ac＝4×9＝36，
∴b＝±6，
∵b＞0，
∴b＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为 　15　cm．
【点拨】根据DE∥BC得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵DE＝6cm，
∴BC＝15cm，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，△ADE的面积为1，则△BCD的面积为 　6　．
【点拨】由AD：DB＝1：2，推导出AD＝AB，由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，得＝＝，则＝，＝＝，求得S△ADC＝3，S△ABC＝9，所以S△BCD＝6，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵AD：DB＝1：2，
∴AD＝AB＝AB，
∵DE∥BC，△ADE的面积为1，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝，＝＝＝，
∴S△ADC＝3S△ADE＝3×1＝3，S△ABC＝9S△ADE＝9×1＝9，
∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ADC＝9﹣3＝6，
故答案为：6．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、“高相等的三角形的面积的比等于底边长的比”等知识，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
15．如图，面积为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝BC，则小正方形的边长为 　　．
【点拨】根据正方形的性质和相似三角形的判定，可以得到BE和CD的关系，BE和CF的关系，再根据正方形ABCD的面积为12，即可求得BE和BF的长，然后根据勾股定理即可求得EF的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝CD，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠FEB＝90°，∠EFB+∠DFC＝90°，
∴∠FEB＝∠DFC，
∴△EBF∽△FCD，
∴，
∵BF＝BC，
∴，
∴＝，
∵正方形ABCD的面积为12，
∴正方形ABCD的边长为＝2，
∴BC＝CD＝2，
∴BF＝，
∴CF＝，
∴BE＝，
∴EF＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，，射线ED和CB的延长线交于点F，则的值为 　　．
【点拨】过点B作BH∥EF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理求出，进而求出＝，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解析】解：过点B作BH∥EF交AC于H，
则＝＝，
∵＝，
∴＝，
∵BH∥EF，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
【点拨】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．
【解析】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵AE＝4，AC＝9，
∴＝，
解得：x＝（负值舍去），
∴BD的长是．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
18．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点．
（2）如图2，在OA边上找一点F，使得．
【点拨】（1）在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，根据位似图形的判定和性质可知△ODE即为所求作；
（2）在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求．
【解析】解：（1）如图1所示，在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，
则，
∵∠DOE＝∠AOB，
∴△ODE∽△OAB，
故△ODE即为所求；
（2）如图2所示，在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，
则△AGF∽△OBF，
∵OB＝2，
∴，
故点F即为所求作．
【点睛】本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了27处山西极具代表性的古建筑为场景，飞虹塔就是其中之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
侧量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝4米步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得 PF＝6米，FD＝28米．（以上数据均为近似值）
根据表格伯息，求飞虹塔的大致高度AB．
【点拨】判定△QCD∽△QAB，PEF∽△PAB，推出CD：AB＝QD：QB，EF：AB＝PF：PB，得到QD：QB＝PF：PB，因此4：（4+BD）＝6：（6+28+BD），求出BD＝56米，得到3：AB＝4：（4+56），即可求出AB＝45米．
【解析】解：∵CD⊥PB，AB⊥PB，
∴CD∥AB，
∴△QCD∽△QAB，
同理：PEF∽△PAB，
∴CD：AB＝QD：QB，EF：AB＝PF：PB，
∵EF＝CD，
∴QD：QB＝PF：PB，
∵QD＝4米，PF＝6米，FD＝28米，
∴4：（4+BD）＝6：（6+28+BD），
∴BD＝56米，
∴3：AB＝4：（4+56），
∴AB＝45米，
∴飞虹塔的大致高度是45米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是判定△QCD∽△QAB，PEF∽△PAB，推出CD：AB＝QD：QB，EF：AB＝PF：PB，得到关于BD的方程．
20．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【点拨】（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由三角形的外角性质可得：∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠CAE+∠ECA，可证得∠ADC＝∠CED，则有CE＝CD，再结合（1）的结论，以及AD是△ABC的中线，即可求解．
【解析】证明：（1）∵，∠BAD＝∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC2＝BC CD；
（2）∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠CAE+∠ECA，
由（1）可知，∠B＝∠EAC，∠BAD＝∠ECA，
∴∠ADC＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2CD，
∴BC＝2CE，
由（1）得：AC2＝BC CD，
∴AC2＝2CE CE，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据已知得出△BAD∽△ACE是解题关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，CD与BA的延长线交于E，BD与AC交于点F．
（1）求证：DC2＝DF DB；
（2）若AE＝AO，CD＝2，求ED的长．
【点拨】（1）由点D是的中点，得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ACD＝∠CBD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OD，如图，根据等腰三角形的性质得到∠OBD＝∠ODB，等量代换得到∠ODB＝∠CBD，根据平行线的判定得到OD∥BC，于是得到结论．
【解析】（1）证明：∵点D是的中点，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CBD，
∵∠BDC＝∠CDF，
∴△CDF∽△BDC，
∴＝，
即DC2＝DF DB；
（2）解：连接OD，如图，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
而∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴＝，
∵EA＝AO＝BO，
∴＝，
∴ED＝4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？
（2）当t为何值时，点P、C、Q组成的三角形与△ABC相似？
【点拨】（1）首先作出高线，由平行线分线段成比例定理得出比例式，由含有t的代数式表示出PD的长度，再根据三角形的面积公式得出即可．
（2）根据已知条件需要分类讨论，分两种情况讨论，从而得出比例式，代入即可求出．
【解析】解：（1）如图1中，过点P作PD⊥BC于点D，
∵∠B＝90°，
∴AB∥PD，
∴＝，
∴PD＝＝＝，
∴S△PQC＝ CQ PD＝t ＝5，
∴t1＝t2＝；
（3）如图2中，当△PQC∽△ABC时，
∴＝，
∴＝，
∴t＝．
当△PQC∽△BAC 时，
∴＝，
∴＝，
∴t＝，
综上所述，t＝或时，△PQC与△ABC 相似．
【点睛】本题是三角形动点问题，考查了勾股定理，等腰三角形，三角形的面积，相似三角形的性及分类讨论的数学思想，解题关键是能用t表示相关的线段的长度．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．
（1）求证：＝；
（2）当点P为BC中点时，求CM的值；
（3）当MP⊥BC时，求BP的值．
【点拨】（1）由AB＝AC得∠B＝∠C，而∠APM＝∠B，则∠BAP＝180°﹣∠B﹣∠APB＝180°﹣∠APM﹣∠APB＝∠CPM，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BAP∽△CPM，得＝；
（2）由点P为BC中点得BP＝CP＝BC＝4cm，而AB＝AC＝5cm，由＝得CM＝＝cm；
（3）作AD⊥BC于点D，则BD＝CD＝BC＝4cm，由∠BAP＝∠BDA＝90°，∠A＝∠A，证明△BAP∽△BDA，即可根据“相似三角形的对应边成比例”求出BP的值．
【解析】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APM＝∠B，
∴∠BAP＝180°﹣∠B﹣∠APB＝180°﹣∠APM﹣∠APB＝∠CPM，
∴△BAP∽△CPM，
∴＝．
（2）解：如图2，∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC中点，
∴BP＝CP＝BC＝4cm，
由（1）得＝，
∴CM＝＝＝（cm）．
（3）解：如图3，MP⊥BC，
作AD⊥BC于点D，则BD＝CD＝BC＝4cm，
由（1）得∠BAP＝∠CPM，
∵∠CPM＝90°，
∴∠BAP＝∠BDA＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△BAP∽△BDA，
∴＝，
∴BP＝＝＝（cm）．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BAP∽△CPM是解题的关键．
24．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD上一动点，AE交BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于G点，点H为FG的中点．
（1）求证：AF＝FG；
（2）若DE＝DF，求证：FG2＝CE CD；
（3）若DE＝CE，求证：CG＝2BG．
【点拨】（1）连接EC，证明△ABF和△CBF全等，得AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，在四边形ABGF中，由∠ABC＝90°，FG⊥AE得∠BAF+∠BGF＝180°，再根据∠FGC+∠BGF＝180°得∠BAF＝∠FGC，则∠BCF＝∠FGC，进而得FG＝CF，由此即可得出结论；
（2）根据∠CDF＝45°，DE＝DF得∠DEF＝∠DFE＝67.5°，进而得∠FCE＝22.5°，∠CFE＝45°，则∠CFE＝∠CDF＝45°，由此得△FCE∽△DCF，则CF：CD＝CE：CF，即CF2＝CE CD，然后再根据FG＝CF即可得出结论；
（3）过点F作FM⊥BC，MF的延长线交AD于N，则四边形CDNM为矩形，进而得DN＝CM，根据FG＝CF，FM⊥BC得CM＝GM＝DN，则CG＝2GM，证明△DFE∽△BFA得DF：BF＝DE：AB＝2：1，再证明△DNF∽△BMF得DN：BM＝DF：BF＝2：1，则BM＝2DN，即BG+GM＝2GM，由此得BG＝GM，据此即可得出结论．
【解析】证明：（1）连接EC，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝45°，∠ABC＝90°，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
在四边形ABGF中，∠ABC＝90°，FG⊥AE，
∴∠BAF+∠BGF＝180°，
又∵∠FGC+∠BGF＝180°，
∴∠BAF＝∠FGC，
∴∠BCF＝∠FGC，
∴FG＝CF，
∴AF＝FG；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CDF＝45°，∠ADC＝90°，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝（180°﹣∠BDC）＝67.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠DEF＝22.5°，
∴∠BAF＝∠BCF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠FCE＝90°﹣∠BCF＝22.5°，
∵∠DEF＝∠FCE+∠CFE，
∴∠CFE＝∠DEF﹣∠FCE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴∠CFE＝∠CDF＝45°，
又∵∠FCE＝∠DCF，
∴△FCE∽△DCF，
∴CF：CD＝CE：CF，
∴CF2＝CE CD，
∵FG＝CF，
∴FG2＝CE CD；
（3）过点F作FM⊥BC，MF的延长线交AD于N，如图2所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵MN⊥BC，
∴四边形CDNM为矩形，
∴DN＝CM，
∴FG＝CF，FM⊥BC，
∴CM＝GM＝DN，
∴CG＝2GM
∵DE＝CE，
∴DE＝CD＝AB，
即DE：AB＝1：2，
∵AB∥CD，
∴△DFE∽△BFA，
∴DF：BF＝DE：AB＝1：2，
∵AD∥BC，
∴△DNF∽△BMF，
∴DN：BM＝DF：BF＝1：2，
∴BM＝2DN，
即BG+GM＝2GM，
∴BG＝GM，
∴CG＝2GM＝2BG．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
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