第4章 相似三角形 单元检测能力提升卷（含解析）

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第4章 相似三角形 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．
2．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（　　）
A．5：7 B．7：5 C．25：49 D．49：25
3．如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（　　）
A．（2，﹣4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣4，2）
4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE；EC＝2：3，则S△DEF：S△ADF＝（　　）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
5．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）
A．2m B．4m C．6m D．8m
6．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
7．如图，G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，交AB、AC分别于D、E两点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．18
8．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列式子中成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时△QBP与△ABC相似．
A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒
10．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：
①；②；③BE平分∠CBD；④2AB2＝DE DH．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝2cm，AP＞BP，则AP＝　 　cm．
12．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝3，BC＝5，则的值是 　 　．
13．如图，已知，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝3，AC＝4，要使△ABC∽△ACD，只要CD＝　 　．
14．如图，矩形ABCD的边AB＝4，点E，F分别在边BC，AD上，且四边形ABEF为正方形．若矩形CDFE与矩形ABCD相似，则AD的长为 　 　．
15．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD AE，使△ADE与△ACB一定相似的有　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．
（1）当BE＝2时，DF＝ 　 　．
（2）连接CG，则CG的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知，且2a+3b﹣c＝28，求a、b、c的值．
18．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，D为BC边上一点，BD＝2.5．求证：△ABD∽△CBA．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，且CD＝CA，过点D作DE⊥AB，交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBD；
（2）若AC＝4，AB＝6，求CE的长．
20．△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点O，连接DE．求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）∠DEC＝∠DBC．
21．我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆CD以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面DD′是120cm；当工人用力按压D端，直至点D着地落到D′时，C端的重物被送到C′处，此时重物距离地面CC′为80cm，求支点P到地面的距离PM．
22．如图，Rt△ABC的两条直角边AB＝4cm，AC＝3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．
（1）当动点运动时间t＝　 　秒时，△BDE与△ABC相似．
（2）在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．
23．如图，AB、AC、AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE．连结BC，BD，CD，其中BC交AD于点G．
（1）求证：△ABG∽△ADB．
（2）若∠DBE＝α，求∠CAD的度数（用含α的代数式表示）．
（3）若AD＝15，AB＝12，BD＝6，求线段CD的长．
24．【观察与猜想】
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝8，CD＝5，则＝　 　；
【类比探究】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A满足什么关系时，成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，，AB＝7，∠A＝∠BCD＝120°，，点E在边AD上，连接DB与CE交于点O，当∠BOC＝∠A时，求的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．
【点拨】根据＝得出＝，再把要求的式子化成﹣1，然后进行计算即可得出答案．
【解析】解：∵＝，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：D．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
2．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（　　）
A．5：7 B．7：5 C．25：49 D．49：25
【点拨】相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．由此即可求解．
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为5：7，
∴两个相似三角形的相似比是5：7，
∴这两个三角形的面积之比为52：72＝25：49．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．
3．如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（　　）
A．（2，﹣4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣4，2）
【点拨】过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，依据△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，即可得到＝，再根据△BOC∽△B1OD，可得OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，进而得出点B1的坐标为（2，﹣4）．
【解析】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，
∵点B的坐标为（﹣1，2），
∴BC＝1，OC＝2，
∵△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，
∴＝，
∵∠BCO＝∠B1DO＝90°，∠BOC＝∠B1OD，
∴△BOC∽△B1OD，
∴OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，
∴点B1的坐标为（2，﹣4），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE；EC＝2：3，则S△DEF：S△ADF＝（　　）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
【点拨】据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据等高三角形面积的比等于底的比解答即可．
【解析】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴＝，
∵DE：EC＝2：3，
∴EF：AF＝2：5，
∴S△DEF：S△ADF＝2：5，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比是解答此题的关键．
5．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）
A．2m B．4m C．6m D．8m
【点拨】根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2＝ED FD，代入数据可得答案．
【解析】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2＝ED FD＝2×8＝16，
解得CD＝4m．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
6．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
【点拨】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
【解析】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，
而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．如图，G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，交AB、AC分别于D、E两点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．18
【点拨】延长AG交BC于H，根据三角形的重心的性质得到AG＝2GH，根据平行线的性质、相似三角形的性质计算即可．
【解析】解：如图，延长AG交BC于H，
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GH，
∵DE∥BC，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
∴△ADE与△ABC的面积之比为，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为9．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
8．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列式子中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据相似三角形的判定和性质判断即可．
【解析】解：由题意可得：
△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，四边形DFCE是平行四边形，
∴，，
∴，A成立，所以符合题意；
∵AE不一定等于DF，B不一定成立，所以不符合题意；
∵不一定等于1，C不一定成立，所以不符合题意；
∵不一定等于，D不一定成立，所以不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时△QBP与△ABC相似．
A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒
【点拨】设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝t cm，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时，△BPQ∽△BAC，即 ；当 时，△BPQ∽△BCA，即 ＝，然后解方程即可求出答案．
【解析】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，
则AP＝t cm，BP＝（4﹣t）cm，BQ＝2t cm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当 时，△BPQ∽△BAC，
即 ，
解得：t＝2，
当 时，△BPQ∽△BCA，
即 ，
解得：t＝0.8，
综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，准确分析题意列出方程求解是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：
①；②；③BE平分∠CBD；④2AB2＝DE DH．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】证明△DCF∽△HBF，可得，可判断结论①；由，可判断结论②；由正方形的性质可得AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD，可得DE＝BE，由角的数量关系可推出∠CBE＝∠DBE，可判断结论③；证明△DEB∽△DBH，可判断结论④；即可得解．
【解析】解：设AB＝a，
∵BH＝BD，四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，DC∥AB，∠DAB＝90°，
∴∠CDF＝∠BHF，∠DCF＝∠HBF，，
∴△DCF∽△HBF，
∴，故结论①错误；
在△ADH中，∠DAB＝90°，
∴，
∴，故结论②错误；
∵BD＝BH，
∴∠H＝∠BDH，
∵DC∥AB，
∴∠CDE＝∠H，
∴∠BDE＝∠CDE＝∠H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，CB＝CD，BO＝DO，
∴∠CDB＝∠CBD，AC垂直平分BD，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠CDB﹣∠EDB＝∠CBD﹣∠EBD，即∠CDE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴BE平分∠CBD，故结论③正确；
∵∠DBE＝∠EDB＝∠H，∠BDE＝∠BDE，
∴△DEB∽△DBH，
∴，
∴DB2＝DE DH，
∵，即BD2＝2AB2，
∴2AB2＝DE DH，故结论④正确，
∴正确结论的个数是2个．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝2cm，AP＞BP，则AP＝　（﹣1）　cm．
【点拨】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解析】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝2cm，AP＞BP，
∴AP＝×2＝（﹣1）cm．
故答案为：（﹣1）．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
12．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝3，BC＝5，则的值是 　　．
【点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：∵AD∥BE∥FC，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝3+5＝8，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．如图，已知，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝3，AC＝4，要使△ABC∽△ACD，只要CD＝　　．
【点拨】对应边成比例的两个三角形互为相似三角形．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
要使△ABC∽△ACD，＝，
＝，
CD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形．
14．如图，矩形ABCD的边AB＝4，点E，F分别在边BC，AD上，且四边形ABEF为正方形．若矩形CDFE与矩形ABCD相似，则AD的长为 　2+2　．
【点拨】根据题意可得当四边形ABEF为正方形时，AB＝BE＝EF＝AF＝4，设CE＝x（x＞0），则有CE＝DF＝x，BC＝AD＝BE+CE＝4+x，根据相似多边形的性质列式求解即可．
【解析】解：∵矩形ABCD的边AB＝4，点E，F分别在边BC，AD上，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD，
∵四边形ABEF为正方形，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，
设CE＝x（x＞0），
∴CE＝DF＝x，BC＝AD＝BE+CE＝4+x，
∵矩形CDFE与矩形ABCD相似，
∴，即，
解得（舍去），，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，熟知以上知识是解题的关键．
15．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD AE，使△ADE与△ACB一定相似的有　①②④　．
【点拨】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案．
【解析】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
故①符合题意；
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACB，
故②符合题意；
∵∠A＝∠A，，
∴△ADE∽△ACB，
故④符合题意；
由，或AC2＝AD AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似，
故③⑤不符合题意；
∴使△ADE与△ACB一定相似的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．
（1）当BE＝2时，DF＝ 　　．
（2）连接CG，则CG的最小值为 　　．
【点拨】（1）先证明△ABE∽△BCF，然后根据相似三角形的性质求出，进而可求出DF的长；
（2）取AB的中点O，连接OC，OG，得出点G在以点O为圆心，OA的长为半径的圆上，当O，G，C三点共线时，CG最小，根据勾股定理求出OC的长即可求解．
【解析】解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴∠ABG+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
∴．
∵AB＝6，BC＝8，BE＝2，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，取AB的中点O，连接OC，OG．
∵BF⊥AE，
∴点G在以点O为圆心，OA的长为半径的圆上．
∵OG+CG≥OC，且OG长度不变，
∴当O，G，C三点共线时，CG最小，此时OG+CG＝OC．
∵AB＝6，．BC＝8，
∴，
∴CG的最小值为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形三边的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质、圆周角定理是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知，且2a+3b﹣c＝28，求a、b、c的值．
【点拨】根据设k法进行计算，即可解答．
【解析】解：设＝k，
∴a＝3k，b＝5k，c＝7k，
∵2a+3b﹣c＝28，
∴6k+15k﹣7k＝28，
解得：k＝2，
∴a＝6，b＝10，c＝14．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，D为BC边上一点，BD＝2.5．求证：△ABD∽△CBA．
【点拨】由题意得到两边对应比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证．
【解析】证明：在△ABC和△ABD中，
∵AB＝5，BC＝10，BD＝2.5，
∴＝＝，＝＝，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，且CD＝CA，过点D作DE⊥AB，交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBD；
（2）若AC＝4，AB＝6，求CE的长．
【点拨】（1）根据直角三角形的性质及垂直定义求出∠A+∠B＝90°，∠ADC+∠CDE＝90°，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠ADC，进而求出∠CDE＝∠B，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证．
（2）由勾股定理求出，由已知可得CD＝AC＝4，根据△CDE∽△CBD得到，代入数值即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∵CD＝CA，
∴∠A＝∠ADC，
∴∠CDE+∠A＝90°，
∴∠CDE＝∠B，
又∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD．
（2）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝6，
∴由勾股定理得，
∵△CDE∽△CBD，
∴，
∵CD＝AC＝4，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
20．△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点O，连接DE．求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）∠DEC＝∠DBC．
【点拨】（1）由垂线的定义可得∠BDA＝∠CEA＝90°，结合∠A＝∠A即可得出△ABD∽△ACE；
（2）由△ABD∽△ACE得出∠OBE＝∠OCD，证明△BOE∽△COD得出，证明△OED∽△OBC，即可得证．
【解析】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE；
（2）∵△ABD∽△ACE，
∴∠OBE＝∠OCD，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴，
∴，
∵∠EOD＝∠BOC，
∴△OED∽△OBC，
∴∠DEC＝∠DBC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
21．我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆CD以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面DD′是120cm；当工人用力按压D端，直至点D着地落到D′时，C端的重物被送到C′处，此时重物距离地面CC′为80cm，求支点P到地面的距离PM．
【点拨】根据平行线的判断和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】解：依题意得：DD′⊥D′C，CC′⊥D′C，
∴DD′∥CC′，
∴△PDD′∽△PCC′，
∴，
又∵DD′＝120cm，CC′＝80cm，
∴，
∴，
同理可证：△PMD′∽△C′CD′，
∴，
∴PM＝48cm，
答：支点P到地面的高度为PM为48cm米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22．如图，Rt△ABC的两条直角边AB＝4cm，AC＝3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．
（1）当动点运动时间t＝　或　秒时，△BDE与△ABC相似．
（2）在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．
【点拨】设D点运动时间为t秒，则AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤t≤）；
（1）分类：当∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC；当∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值；
（2）先计算出DF＝AB﹣AD﹣BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t．
【解析】解：设D点运动时间为t秒，则AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤t≤），
（1）当∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴BD：BA＝BE：BC，即（4﹣t）：4＝2t：5，
∴t＝；
当∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴BD：BC＝BE：BA，即（4﹣t）：5＝2t：4，
∴t＝；
所以当动点运动秒或秒时，△BDE与△ABC相似；
故答案为：或；
（2）当CD⊥DE时，t＝秒．理由如下：
如图，过点E作EF⊥AB于F，
DF＝AB﹣AD﹣BF＝4﹣t﹣＝4﹣t，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠∠ADC+∠EDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠FDE，
∵∠CAD＝∠DFE，
∴Rt△ACD∽Rt△FDE，
∴AC：DF＝AD：EF，即3：（4﹣t）＝t：，
∴t＝（秒）．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．
23．如图，AB、AC、AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE．连结BC，BD，CD，其中BC交AD于点G．
（1）求证：△ABG∽△ADB．
（2）若∠DBE＝α，求∠CAD的度数（用含α的代数式表示）．
（3）若AD＝15，AB＝12，BD＝6，求线段CD的长．
【点拨】（1）由等弦所对弧相等，再由等弧所对圆周角相等得出∠ABC＝∠ADB，又∠BAG＝∠DAB，即可得出结论；
（2）由等边对等角的性质与圆周角性质得出∠DBE＝∠CBE＝α，即可由∠CAD＝∠CBD＝∠DBE+∠CBE求解；
（3）由△ABG∽△ADB，得，从而可求出，，从而求出，再证△BDG∽△ADC，得，代入即可求解．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴，
∴∠ABC＝∠ADB，
又∵∠BAG＝∠DAB，
∴△ABG∽△ADB；
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠DBE+∠ADB＝∠ABC+∠CBE，
∵AB＝AC，，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADB，
∴∠DBE＝∠CBE＝α，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠DBE+∠CBE＝2α；
（3）解：∵△ABG∽△ADB，
∴，
∵AD＝15，AB＝12，BD＝6，
∴，
∴，，
∴，
∵∠CAD＝∠CBD＝2α，∠ADC＝∠GDB，
∴△BDG∽△ADC，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，圆周角定理，弦与弧关系，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质、圆周角定理是解题的关键．
24．【观察与猜想】
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝8，CD＝5，则＝　　；
【类比探究】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A满足什么关系时，成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，，AB＝7，∠A＝∠BCD＝120°，，点E在边AD上，连接DB与CE交于点O，当∠BOC＝∠A时，求的值．
【点拨】（1）证明△DAF∽△CDE，根据相似比即可求解；
（2）当∠FOC＝∠A时，可证明△ODE∽△ADF得到，再证明△DCE∽△OCD，得到，由此可得，即；
（3）如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，证明△ODE∽△ADB，则，再证△DCE∽△OMD，得，则，在NM上取一点P，使NP＝NB，连接BP，证△PBN是等边三角形，得BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，然后证△PBC∽△MCD，得，设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝NB＝3x﹣7，进而由，得出方程，求出x＝3，即可解决问题．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠CDE＝90°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∵∠FOC＝∠EOD＝90°，
∴∠ADF+∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠AFD，
∴△DAF∽△CDE，
∴，
∵AD＝8，CD＝5，
∴，
故答案为：；
（2）当∠FOC＝∠A时，成立，理由如下：
∵∠FOC＝∠A，∠DOE＝∠FOC，
∴∠DOE＝∠A，
又∵∠ODE＝∠ADF，
∴△ODE∽△ADF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AB＝CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠FOC+∠COD＝180°，
∴∠ADC＝∠COD，
∵∠DCE＝∠OCD，
∴△DCE∽△OCD，
∴，
∴，
∴，即；
（3）如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，
∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，，
同（2）可得，
在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP，
∵AD∥MN，∠A＝120°，
∴∠N＝60°，
∴△NBP是等边三角形，
∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，
∴∠BPC＝120°＝∠M；
∵∠BCD＝120°，
∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD，
∴∠PBC＝∠MCD，
∴△PBC∽△MCD，
∴，
设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣7，
∴，
∵，
∴，
解得x＝3，
∴DM＝3x＝9，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
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