浙教版（新课标）初中数学七年级上册第五章《一元一次方程》单元测试卷（含解析）

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浙教版（新课标）初中数学七年级上册第五章《一元一次方程》单元测试卷
考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程是的一元一次方程，若是它的解，则( )
A. B. C. D.
2.如果方程与 的解相同，则的值为( )
A. B. C. D.
3.下列运用等式的性质的变形中，正确的是( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
4.下列各式进行的变形中，正确的是
A. 若，则 B. 若，则．
C. 若，则 D. 若，则
5.解一元一次方程时，去分母正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知关于的方程的解，则的值为( )
A. B. C. D.
7.下列等式中，是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
8.关于的一元一次方程的解为，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知，，无论取何值时，恒成立，则的值为( )
A. B. C. D.
10.王林同学在解关于的方程时，不小心将看成了，得到方程的解是，那么原方程正确的解是( )
A. B. C. D.
11.一轮船往返于，两港之间，逆水航行需，顺水航行需，水速是，则轮船在静水中的速度是．
A. B. C. D.
12.增删算法统宗记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书共有个字，设他第一天读个字，则下面所列方程中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知派派的妈妈和派派今年共岁，再过年，派派的妈妈的年龄比派派年龄的倍还大岁．当派派的妈妈岁时，派派的年龄为 岁．
14.设，，，为实数，现规定一种新的运算：，则满足等式的的值为 ．
15.若，且，则关于的一元一次方程的解是 ．
16.若是方程的解，则代数式的值为_________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
甲、乙两名打字员各自录入同一份含有字的文稿，甲比乙少用分钟．已知甲每分钟比乙每分钟多打个字，那么甲录入这份文稿用了多少分钟？设甲用了分钟，请列出一个含有未知数的方程．
18.本小题分
古希腊数学家丢番图，他的“墓志铭”有记录如下：
过路的人这儿埋葬着丢番图．请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑．他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年．再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭．五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半．晚年丧子的老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年．请你算一算，丢番图活到多少岁，才和死神见面？
设丢番图活到岁，按题意列方程，并用尝试检验法探求丢番图的年龄．
19.本小题分
【数学问题】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本，这个班有多少学生？共有多少本图书？
【解决途径】设这个班有名学生，按照第一种分法，共有______本图书．
按照第二种分法，共有______本图书．
因为图书总数一致，所以应有等式______．
在；；中，
能使上面等式成立的是______填选项字母即可
从而可以确定本班学生的人数进而也可以求出这些图书的总数为______本
【反思归纳】
赫行六班现有名学生，一批图书共有本若每名同学分本图书，还剩余本图书则下列等式成立的是______填写序号．
；
；
．
20.本小题分
我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值；
已知关于的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求，的值．
21.本小题分
关于的方程的解与的解互为相反数，求的值．
22.本小题分
已知方程是关于的一元一次方程．
求的值；
若已知方程与方程的解互为相反数，求的值；
若已知方程与关于的方程的解相同，求的值．
23.本小题分
先阅读下面的解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当，即时，原方程可化为，解得；
当，即时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
解方程：．
当为何值时，关于的方程，无解？只有一个解？有两个解？
24.本小题分
已知关于的方程与的解互为相反数，求的值．
25.本小题分
，两地相距千米，甲、乙两车分别从，两地出发，相向而行，甲车先出发小时，乙车出发小时后与甲车相遇．已知甲车每小时比乙车少行千米，问：甲、乙两车的速度分别是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得
，，
所以，
把代入方程得
，
再把代入方程得
，
所以，
所以，
故选：．
只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是，这样的方程叫做一元一次方程，一元一次方程通常形式是为常数，且；使方程左右两边相等的未知数叫做方程的解．根据这两个概念可求、的值，从而易求的值．
本题考查了一元一次方程的定义以及方程的解的定义．解题的关键是注意这个条件．
2.【答案】
【解析】解：由方程，可得．
把代入，得，
解得．
故选：．
根据先求出的值，然后把的值代入求出即可．
本题考查了同解方程，掌握同解方程即为两个方程解相同的方程是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如果，那么，故选项错误，不符合题意；
B.如果，那么，选项正确，符合题意；
C.如果，时，那么，故选项错误，不符合题意；
D.如果，时，那么，故选项错误，不符合题意．
故选：．
等式的性质：等式两边同时加或减同一个代数式，所得结果仍是等式；等式的性质：等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为的数，所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可．
本题考查等式的性质，关键是熟练掌掘等式的性质．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查了等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，根据等式的性质逐个判断即可．【解答】
解：，减得：，故本选项不符合题意；
B.当时由不能推出，故本选项不符合题意；
C.，除以，得，故本选项不符合题意；
D.乘以得：，故本选项符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．根据等式的基本性质将方程两边都乘以可得答案．
【解答】
解：方程两边都乘以，
得：，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意得：，
，
，
，
故选：．
先根据方程的解定义可得，从而可得，再进一步即可得答案．
本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：、中不含未知数，不是一元一次方程，不符合题意，
B、是一元一次方程，符合题意，
C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意，
D、未知数最高次数为，不是一元一次方程，不符合题意，
故选：．
只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式，掌握概念一一判断，即可解题．
本题考查一元一次方程的定义，掌握定义是关键．
8.【答案】
【解析】解：是关于的一元一次方程的解，
，
，
故选：．
根据方程的解的定义把代入方程即可求出的值．
本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式的加减的计算方法．
根据题意可以得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决．
【解答】
解：因为 ， ，
所以
．
因为无论取何值时， 恒成立，
所以 ，
所以 ．
故选：．
10.【答案】
【解析】把代入方程，得，
解得，所以原方程为，
解得，
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【解答】
解：设轮船在静水中的速度是千米时，则船在顺水中的速度为千米时，船在逆水中的速度为千米时，
根据题意，得，
解得：．
轮船在静水中的速度是千米时．
故选．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】解：设今年派派的年龄为岁，派派的妈妈的年龄为岁，
由题意得，解得
当派派的妈妈岁时，派派的年龄为岁．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】因为，所以、异号．
当，时，，
当，时，．
因为是一元一次方程，
所以，
所以．
当时，，所以；
当时，，所以．
综上，关于的一元一次方程的解是．
根据，可知，异号，从而可以计算，代入一元一次方程中可得结论．
此题考查了绝对值的意义，有理数的乘法，一元一次方程和解一元一次方程，确定，的符号计算的值是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了方程的解定义、整式的化简求值，根据方程的解定义得到的等式是解题关键．
先根据方程的解的定义得到一个关于的等式，再化简所求式子，然后将的等式直接代入求解即可．
【详解】
解：是方程的解，
，即，
则原式．
故答案为：．
17.【答案】解：答案不唯一．
【解析】略
18.【答案】因为表示年龄，是整数，且能被，，，整除，所以可以取它们的最小公倍数尝试，此时方程左边右边结合人的年龄特点，可判断丢番图活到岁．
【解析】略
19.【答案】
【解析】解：【解决途径】设这个班有名学生，按照第一种分法，共有本图书．
按照第二种分法，共有本图书．
图书总数一致，
应有等式，
解得：，，
即这些图书的总数为本，
故答案为：，，，，；
【反思归纳】由题意得：，
故答案为：．
【解决途径】根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本，分别列出代数式，进而列出一元一次方程，解方程即可；
【反思归纳】根据赫行六班现有名学生，一批图书共有本．若每名同学分本图书，还剩余本图书，列出代数式即可．
本题考查了一元一次方程的应用、等式的性质以及列代数式等知识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】解：因为一元一次方程是“差解方程”，
所以，
所以，
解得：；
因为一元一次方程是“差解方程”，
所以，
又因为，
所以，
所以，
把，代回原方程得：，
所以，
将代入中，得．
【解析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
根据题中的新定义列出方程，求出方程的解即可求出的值；
根据题中的新定义列出方程，求出与的值即可．
21.【答案】解：解方程得：，
两个方程的根互为相反数，
另一个方程的根为，
把代入方程 得：
，
解这个方程得：，
．
【解析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解、相反数、代数式求值有关知识，
先求出的解，再根据两个方程的解互为相反数可得 的解为，把代入 ，求出，再把的值代入代数式中计算即可．
22.【答案】【小题】
解：由题意，得且，
解得．
【小题】
把代入，得，解得．
方程的解是．
因为已知方程与方程的解互为相反数，
所以已知方程的解为，
所以，解得．
【小题】
解方程，
得．
由知已知方程的解为．
因为已知方程与关于的方程的解相同，
所以，解得．

【解析】 略
略
略
23.【答案】【小题】
解：整理，得．
当，即时，原方程可化为，解得；
当，即时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
【小题】
因为，
所以当，即时，方程无解；
当，即时，方程只有一个解；
当，即时，方程有两个解．

【解析】 略
略
24.【答案】解：解方程
去分母得：，
移项合并同类项得：，
化系数为得：，
解方程，
去分母得：，
移项得：，
化系数为得：，
两个方程的解互为相反数，
，
．
【解析】解方程与，分别用表示的值，根据互为相反数即可解题．
本题考查了相反数的定义，考查了一元一次方程的解，去分母、移项、合并同类项、化系数为是解方程的常用方法．
25.【答案】解：设乙车的速度为千米时，则甲车的速度为千米时，由题意，得．
解这个方程，得．
所以甲车的速度为千米时．
答：甲车的速度为千米时，乙车的速度为千米时．

【解析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键．
可以用如下示意图来分析本题中的数量关系．
由上图得如下的相等关系：
前小时甲车行驶的路程后小时甲车行驶的路程乙车小时行驶的路程全程．
根据这一相等关系，设乙车的速度为千米时，就可以列出方程，解答即可．
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