浙教版（新课标）初中数学七年级上册第三章《实数》单元测试卷（含解析）

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浙教版（新课标）初中数学七年级上册第三章《实数》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中，正确的是．
A. 因为，所以的平方根为 B. 的算术平方根是
C. D. 的平方根是
2.若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.的平方根与的立方根之和是( )
A. B. C. D. 或
4.如图，在数轴上，点对应数字，点对应数字，过点作垂直于数轴，且，连接，绕点顺时针旋转，使点落在数轴上的点处，则点所表示的数介于( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
5.下列说法：
在和之间的无理数有且只有这一个；
有理数与数轴上的点一一对应；
两个无理数的积一定是无理数其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.设面积为的正方形的边长为，下列关于的结论：是无理数可以用数轴上的一个点来表示，其中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
7.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
8.下列说法：
是负数；
符号相反的两个数是互为相反数；
立方根等于本身的数是；
一个数的绝对值越大，则它在数轴上表示的点离原点越远；
的最大值为．
其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.下列运算结果中正确的是( )
A. B.
C. D. 的立方根是
10.规定：一个数的平方等于，记作，于是可知，，按照这样的规律，等于( )
A. B. C. D.
11.甲袋中装着分别标有数字，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为( )
A. B. C. D.
12.对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.对于非零实数，，规定若，则的值为______．
14.的平方根是______，的算术平方根是______，______的立方根是．
15.实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为______．
16.对于任意实数，，定义一种新的运算“”：如：已知，则的平方根为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在数轴上表示出下列各数，并用“”连接起来．
，，，．
18.本小题分
计算：
；
．
19.本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的算术平方根．
20.本小题分
已知，是的立方根．
求，，的值；
求．
21.本小题分
如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分阴影部分也是正方形若每个小正方形的边长为，点表示的数为．
图中正方形的面积为多少它的边长为多少这个值在哪两个连续整数之间
若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值．
若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
点表示的数为多少
是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与重合
22.本小题分
武邑县校级期末某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为．
求原来正方形场地的周长；
如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
23.本小题分
已知的平方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
求，，的值；
求的平方根．
24.本小题分
已知的平方根为，的立方根为．
求的算术平方根；
若是的整数部分，求的平方根．
25.本小题分
交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速单位：，表示刹车后车轮滑过的距离单位：，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，，求肇事汽车的车速．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析即可．
此题考查了平方根和算术平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
【解答】
解：、因为，所以的平方根是，故A错误；
B、，的算术平方根是，故B正确；
C、，故C错误；
D、没有平方根，故D错误；
故选：．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平方根与立方根和分类讨论的思想方法，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，属于基础题．根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【解答】
解：，
的平方根是，
的立方根是，
的平方根与的立方根之和是：或．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了实数与数轴、估算无理数的大小、勾股定理．
因为是一个直角三角形，且有，所以可求得的长度即得点所表示的无理数，再估算无理数的大小即可．
【解答】
解：
在直角三角形中有：，
，
，
又，
点所表示的数介于和之间．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：在和之间的无理数有无限个，故错误；
实数与数轴上的点一一对应，故错误；
，
两个无理数的积不一定是无理数，故错误；
综上，说法正确的为个，
故选：．
根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
本题考查了无理数的定义、实数与数轴，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了实数的性质以及无理数的估算，正确掌握实数有关性质是解题关键．
直接利用面积得出正方形的边长，再利用实数的性质分析得出答案．
【解答】
解：面积为的正方形的边长为，即，
，
故是无理数，是无理数，正确；
任意实数都可以用数轴上的一个点来表示，可以用数轴上的一个点来表示，正确；
，
，
，故正确．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了算术平方根，立方根．
根据算术平方根，立方根的意义和性质即可解答．
【解答】
解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D错误，，
故选D．
8.【答案】
【解析】解：不一定是负数，故错误，不符合题意；
符号相反的两个数不一定互为相反数，理由为：与符号相反，但不互为相反数，应为只有符号不同的两个数互为相反数，故错误，不符合题意；
立方根等于本身的数是或或，故错误，不符合题意；
一个数的绝对值越大，表示它在数轴上表示的点离原点越远，故正确，符合题意；
，
，
即的最大值为，故错误，不符合题意．
故选：．
根据负数，互为相反数，数轴，立方根以及非负数的性质判断即可．
此题考查了绝对值，数轴，以及相反数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、因式分解、二次根式的性质以及立方根．
根据相关运算法则计算即可得．
【解答】
解：、，故A错误．
B、，故B正确．
C、，当时不成立，故C错误．
D、的立方根是，故D错误，
故选
10.【答案】
【解析】解：，，，，
从上计算可知，的指数循环周期是，
当指数除以余数为时，其结果是；
当指数除以余数为时，其结果是；
当指数除以余数为时，其结果是；
当指数除以余数为时，其结果是；
．
故选：．
根据新定义：一个数的平方等于，记作，于是可知，找出重复出现规律，指数是除以看余数的情况定结果．
本题考查实数的运算新定义的理解，推理，综合，归纳等数学能力，同时此题也考察了学生从特殊找到一般规律，再到特殊计算能力．
11.【答案】
【解析】解：由题可列表如下：
乘法运算结果
加法运算结果
由表可知：总共有种结果，其中结果是有理数的有种，
结果是有理数的概率为，
故选：．
列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题．
本题考查用列表法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】
【解析】解：，
，
方程化为一般式为，
方程有两个实数根，
，
解得．
故选：．
先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解，
．
故答案为：．
利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，的平方根是，，算术平方根是，的立方根是．
故答案为：，，．
根据立方根以及平方根和算术平方根的定义分别分析得出答案即可．
此题主要考查了立方根、平方根和算术平方根等定义，熟练掌握其定义是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：由数轴易得，且，
则，
原式
，
故答案为：．
由数轴易得，且，则，再根据二次根式，绝对值的性质及立方根的定义化简即可．
本题考查实数运算，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：如图，
故．

【解析】略
18.【答案】解：
；
．
【解析】先算绝对值，乘方，零指数幂和负指数幂，再算加减法；
利用平方差公式，单项式乘多项式，完全平方公式展开，再合并同类项．
本题考查了整式的混合运算和实数的运算，解题的关键是根据公式法和运算法则来计算．
19.【答案】解：由题意可得：，，
，，
又，
，
的整数部分，
当，，时，，
的算术平方根为．
【解析】根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
20.【答案】解：，
，
解得，，
是的立方根，
；
，，，
．
【解析】本题主要考查了实数的非负性、立方根的定义以及算术平方根的定义，掌握实数非负性是解答本题的关键．
根据实数的非负性以及立方根的定义解答即可；
把的结论代入解答即可．
21.【答案】解：正方形的面积为，
正方形的边长为，
，
，
这个值在与之间；
由可知，，，
；
点表示的数为，正方形的边长为，
点表示的数为：；
不存在．
理由：假设存在正整数，则，
，
，
为正整数，
为有理数，而为无理数，
不成立，即不存在正整数．
【解析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算，解答本题的关键是掌握估算无理数大小的思路与方法．
根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案；
先利用无理数估算的方法求得、的值，再将、的值代入计算即可；
根据点表示的数和正方形的边长即可得到点表示的数；
判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论．
22.【答案】【小题】解： ，，
答：原来正方形的周长为
【小题】设这个长方形场地宽为，则长为．
由题意有：，
解得：，
表示长度，
，
，
这个长方形场地的周长为 ，
，
这些铁栅栏够用．
【解析】

【解析】 正方形边长面积的算术平方根，周长边长，由此解答即可；
本题主要考查了算术平方根的简单应用，掌握正方形边长面积的算术平方根是关键．
根据长、宽的比为：，设这个长方形场地宽为，则长为，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，与正方形的周长比较大小可知是否够用．
本题主要考查了算术平方根的简单应用，实数大小比较，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长，再比较大小是解题的关键．
23.【答案】解：的平方根是，
，
解得：；
的算术平方根是，
，
，
解得：；
是的整数部分，，
；
把，，代入，得，
的平方根为：．
【解析】根据题意，由平方根，算术平方根定义，求出，的值，根据估算无理数的大小求出的值即可；
把由得出的，，的值代入求值，然后再求平方根即可．
本题考查了平方根，算术平方根，估算无理数的大小，掌握平方根，算术平方根定义，利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
24.【答案】解：的平方根为，的立方根为，
，，
解得，，
，
的算术平方根为，
的算术平方根是；
，
的整数部分为，即，
由得，，
，
而的平方根为，
的平方根．
【解析】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
根据平方根的定义可求出、的值，代入计算的值，再求其算术平方根即可；
估算无理数的大小，确定的值，进而求出的值，再求其平方根即可．
25.【答案】根据题意得：答：肇事汽车的车速为．
【解析】略
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