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专题02 有理数的运算 高频考点（5个）（精讲）
高频考点1. 等式的基本性质
【解题技巧】
等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
如果，那么.
2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式.
如果 ，，那么或
例1．（2024秋 内蒙古期末）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y
变式1．（2024秋 青羊区校级月考）根据等式的性质，下列变形错误的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+1＝y+1 B．如果x＝3，那么xy＝3y
C．如果ax＝ay，那么x＝y D．如果2﹣x＝3x，那么3x+x＝2
变式2．（2023秋 泊头市期末）已知a＝b，下列不相等的是（ ）
A．与 B．a+3与b+3 C．a﹣1与b﹣1 D．3（a+1）与3b+1
变式3．（2024秋 渝中区校级期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+a＝y+a B．如果，那么x＝y
C．如果x＝y，那么 D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y
变式4．（2023秋 红谷滩区校级期中）在将等式3a﹣2b＝2a﹣2b变形时，小明的变形过程如下：
因为3a﹣2b＝2a﹣2b，所以3a＝2a，（第一步）
所以3＝2．（第二步）
（1）上述过程中，第一步的依据是什么？
（2）小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正．
高频考点2. 方程及一元一次方程的相关概念
【解题技巧】
1.方程是指含有未知数的等式．
2.只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．
3.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
例1．（2023秋 揭西县期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．x+3＝ B．x2+3x＝1 C．x+y＝5 D．7x+1＝3
变式1．（2024秋 玄武区校级月考）下列式子中属于方程的是（ ）
A．23×2+7＝53 B．2x﹣5≤13 C．x2+x D．
变式2．（2024秋 滨湖区期中）下列各数，是方程x3+2x＝﹣3的解的是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
变式3．（2023秋 东明县期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x+＝2 B．x+2y＝8 C．3+5＝8 D．2x﹣1＝3x+5
变式4．（2023秋 禹州市期末）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
变式5．（2024春 宜阳县期中）若x＝2是关于x的一元一次方程mx﹣n＝1的解，则代数式4m﹣2n的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式6．（2023秋 淄博期末）已知关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
高频考点3 解一元一次方程
【解题技巧】1.解一元一次方程的步骤：
步骤 操作 依据
1 去分母 在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘 等式的性质2
2 去括号 注意括号前的系数与符号． 去括号法则
3 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号 等式的性质1
4 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 合并同类项法则
5 系数化为1 方程两边同除以未知数的系数，得x＝． 等式的性质2
例1．（2024秋 崇川区校级月考）解方程：
（1）5x﹣2＝1﹣2x； （2）2（3y﹣1）＝7（y﹣2）+3；
（3）； （4）．
变式1．（2024秋 柳州期末）下列解方程的步骤正确的是（ ）
A．由﹣12x＝6，得x＝﹣2 B．由，得
C．由，得x＝1 D．由2x﹣1＝7x+6，得2x﹣7x＝6+1
变式2．（2023秋 东平县期末）如果2（x+3）的值与﹣3（1﹣x）的值相等，那么x的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．3 D．
变式3．（2024秋 霍邱县期中）小强在解方程“﹣3x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．x＝4
变式4．（2024秋 广西期中）下列选项正确的是（ ）
A．方程去分母，得2（3﹣2x）﹣3（x﹣2）＝1
B．方程3x+8＝﹣4x﹣7移项，得3x+4x＝﹣7+8
C．方程7（3﹣x）﹣5（x﹣3）＝8去括号，得21﹣7x﹣5x+15＝8
D．方程系数化为1，得x＝1
变式5．（2023秋 莱西市期末）解方程：2﹣＝﹣，去分母得（ ）
A．2﹣2 （2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣2 （2x﹣4）＝﹣x﹣7
C．2﹣（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．12﹣2 （2x﹣4）＝﹣（x﹣7）
变式6．（2024秋 路南区月考）把方程的分母化成整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
变式7．（2024秋 余杭区月考）解下列一元一次方程：
（1）4x﹣9＝x；
（2）．
变式8．（2024秋 槐荫区月考）数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读．
小明：对于3（x+1）+（x﹣1）+2（x+1），我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐．
小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将（x+1）、（x﹣1）分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程（x+1）＝（x﹣1），然后再继续求解．
（1）请你继续进行小亮的求解．
（2）请利用小亮的方法解下面的方程：7（x+3）+4＝24﹣3（x+3）．
变式9．（2023秋 费县期末）解方程：
（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）；
（2）．
高频考点4 同解方程
【解题技巧】如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．
例1．（2024秋 香坊区校级期中）如果方程6x+3a＝22与方程3x+5＝11的解相同，求3a﹣1的值？
变式1．（2023秋 新华区期末）若与kx+1＝17的解相同，则k的值为 ．
变式2．（2024春 德化县期中）若方程的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则a的值为 ．
变式3．（2024秋 济阳区月考）已知关于x的方程（m+2）x|m|﹣1+8n＝0是一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若该方程的解与关于x的方程的解相同，求n的值．
高频考点5 一元一次方程的应用
【解题技巧】
列方程解应用题的步骤：
①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程；⑤求出方程的解；⑥验根并作答．
例1．（2024秋 黔东南州期末）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．
（1）七年级四班有男生和女生各多少人？
（2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
变式1．（2024秋 新洲区期中）两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．5000（1﹣2x）＝3000 B．3000（1+2x）＝5000
C．3000（1+x）2＝5000 D．5000（1﹣x）2＝3000
变式2．（2024秋 沈阳月考）一件上衣先按成本提高40%标价，再以8折出售，结果获利24元，若设这件上衣的成本价是x元，根据题意，可得到的方程是（ ）
A．（1+40%）x×80%＝x﹣24 B．（1+40%）x×80%＝x+24
C．（1+40%x）×80%＝x﹣24 D．（1+40%x）×80%＝x+24
变式3．（2023秋 盘龙区期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有若干人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱．问有多少人？若设有x人，则下列方程正确的是（ ）
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．8（x﹣3）＝7（x+4） D．8x+4＝7x﹣3
变式4．（2024秋 合肥期末）小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行19km，小明每小时骑行11km，他们完成全部行程所用的时间，小华比小明快30分钟．设他们这次骑行线路长为x km，依题意，可列方程为 ．
变式5．（2023秋 定陶区期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位h（cm）与时间t（min）之间满足关系式h＝0.4t+2，当h＝4cm时，时间t的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式6．（2024秋 内蒙古期末）某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要24天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了3天．问这项工程一共用了多少天？
变式7．（2024秋 凤凰县月考）2024年“国庆”期间，某超市打出促销广告，如表：
一次性所购物品的原价 优惠方法
不超过200元 没有优惠
超过200元，但不超过600元 全部按九折优惠
超过600元 其中600元的部分仍按九折优惠，超过600元的部分按八折优惠
（1）小明一次性购买物品的原价为300元，则实际付款 270 元；
（2）小红购物时一次性付款580元，则小红所购物品的原价是多少元？
（3）小李和小王分别前往该超市购物，两人各自所购物品的原价之和为1200元，且小王所购物品的原价高于小李，两人实际付款共1074元，则小赵和小李各自所购物品的原价分别是多少元？
变式8．（2023秋 青山区期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
变式9．（2024秋 漳州期中）已知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度．
（1）求A、B两点所对应的数；
（2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数；
（3）已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，2NO﹣mAM的值不随时间t的变化而改变．求m的值．（注：AB指点A到点B的距离或点B到点A的距离）
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专题02 有理数的运算 高频考点（5个）（精讲）
高频考点1. 等式的基本性质
【解题技巧】
等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
如果，那么.
2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式.
如果 ，，那么或
例1．（2024秋 内蒙古期末）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y
【点拨】根据等式的性质一一判断即可．
【解析】解：A、若x＝y，则x+c＝y+c，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、原变形正确，故此选项符合题意；
C、当c＝0时，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、应该是：若＝，则3x＝2y，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
变式1．（2024秋 青羊区校级月考）根据等式的性质，下列变形错误的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+1＝y+1 B．如果x＝3，那么xy＝3y
C．如果ax＝ay，那么x＝y D．如果2﹣x＝3x，那么3x+x＝2
【点拨】根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．进行验算、判断．
【解析】解：A、如果x＝y，等式两边都加1，即x+1＝y+1，选项正确，不符合题意；
B、如果x＝3，等式两边都乘y，即xy＝3y，选项正确，不符合题意；
C、如果ax＝ay，当a＝0时，等式两边不能除以a，即x＝y不成立，选项错误，符合题意；
D、如果2﹣x＝3x，等式两边都加x，即3x+x＝2，选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边除以一个不为零的数，等式仍然成立是关键．
变式2．（2023秋 泊头市期末）已知a＝b，下列不相等的是（ ）
A．与 B．a+3与b+3 C．a﹣1与b﹣1 D．3（a+1）与3b+1
【点拨】利用等式的性质1对B、C选项进行判断；利用等式的性质2对A、D选项进行判断．
【解析】解：A．若a＝b，则＝，所以A选项不符合题意；
B．若a＝b，则a+3＝b+3，所以B选项不符合题意；
C．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1，所以C选项不符合题意；
D．若a＝b，则3（a+1）＝3（b+1），所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
变式3．（2024秋 渝中区校级期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+a＝y+a B．如果，那么x＝y
C．如果x＝y，那么 D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y
【点拨】等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．
【解析】解：A、如果x＝y，那么x+a＝y+a，原式变形正确，不符合题意；
B、如果，那么x＝y，原式变形正确，不符合题意；
C、如果x＝y，那么，原式变形正确，不符合题意；
D、如果ax+b＝ay+b，那么x＝y（a≠0），原式变形错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
变式4．（2023秋 红谷滩区校级期中）在将等式3a﹣2b＝2a﹣2b变形时，小明的变形过程如下：
因为3a﹣2b＝2a﹣2b，所以3a＝2a，（第一步）
所以3＝2．（第二步）
（1）上述过程中，第一步的依据是什么？
（2）小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正．
【点拨】（1）运用等式的性质1进行求解；
（2）根据等式的性质2进行求解．
【解析】解：（1）∵3a﹣2b＝2a﹣2b，
∴根据等式的性质1，两边都减去﹣2b，
得3a＝2a，
∴第一步的依据是：等式的性质1；
（2）小明第二步的结论不正确，
∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立，
∴当a＝0时，等式的两边都除以a，等式不成立，
∴小明第二步的结论不正确．
【点睛】此题考查了等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
高频考点2. 方程及一元一次方程的相关概念
【解题技巧】
1.方程是指含有未知数的等式．
2.只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．
3.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
例1．（2023秋 揭西县期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．x+3＝ B．x2+3x＝1 C．x+y＝5 D．7x+1＝3
【点拨】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．方程x+3＝是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+3x＝1，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．x+y＝5，含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．方程7x+1＝3是一元一次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程）是解此题的关键．
变式1．（2024秋 玄武区校级月考）下列式子中属于方程的是（ ）
A．23×2+7＝53 B．2x﹣5≤13 C．x2+x D．
【点拨】根据含有未知数的等式叫做方程逐项判断即可．
【解析】解：A、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意；
B、不是等式，不是方程，故此选项不符合题意；
C、不是等式，不是方程，故此选项不符合题意；
D、是方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键．
变式2．（2024秋 滨湖区期中）下列各数，是方程x3+2x＝﹣3的解的是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【点拨】分别把各个选项中的数代入方程x3+2x＝﹣3中，通过计算判断方程左右两边是否相等，根据方程解的定义判断各个选项的正误即可．
【解析】解：A．把x＝0代入x3+2x＝﹣3，左边＝0，右边＝﹣3，∵左边≠右边，∴0不是方程x3+2x＝﹣3的解，故此选项不符合题意；
B．把x＝1代入x3+2x＝﹣3，左边＝3，右边＝﹣3，∵左边≠右边，∴1不是方程x3+2x＝﹣3的解，故此选项不符合题意；
C．把x＝﹣1代入x3+2x＝﹣3，左边＝﹣3，右边＝﹣3，∵左边＝右边，∴﹣1是方程x3+2x＝﹣3的解，故此选项符合题意；
D．把x＝﹣2代入x3+2x＝﹣3，左边＝﹣12，右边＝﹣3，∵左边≠右边，∴﹣2不是方程x3+2x＝﹣3的解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题关键是熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
变式3．（2023秋 东明县期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x+＝2 B．x+2y＝8 C．3+5＝8 D．2x﹣1＝3x+5
【点拨】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解析】解：A．该方程不是整式方程，故本选项不合题意；
B．该方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
C．该方程不含未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
D、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
变式4．（2023秋 禹州市期末）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
【点拨】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程是一元一次方程”，即可解答．
【解析】解：∵方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，
∴2k+1＝0，﹣（2k﹣1）≠0，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解答本题的关键．
变式5．（2024春 宜阳县期中）若x＝2是关于x的一元一次方程mx﹣n＝1的解，则代数式4m﹣2n的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【点拨】将x＝2代入方程mx﹣n＝1之中得2m﹣n＝1，再将2m﹣n＝1整体代入4m﹣2n之中即可得出答案．
【解析】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程mx﹣n＝1的解，
∴m×2﹣n＝1，
即2m﹣n＝1，
∴4m﹣2n＝2（2m﹣n）＝2×1＝2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程解的定义，求代数式的值，理解一元一次方程解的定义，熟练掌握求代数式值的方法是解决问题的关键．
变式6．（2023秋 淄博期末）已知关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
【点拨】根据已知条件得出方程y+1＝﹣3，求出方程的解即可．
【解析】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝﹣3，
解得：y＝﹣4，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
高频考点3 解一元一次方程
【解题技巧】1.解一元一次方程的步骤：
步骤 操作 依据
1 去分母 在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘 等式的性质2
2 去括号 注意括号前的系数与符号． 去括号法则
3 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号 等式的性质1
4 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 合并同类项法则
5 系数化为1 方程两边同除以未知数的系数，得x＝． 等式的性质2
例1．（2024秋 崇川区校级月考）解方程：
（1）5x﹣2＝1﹣2x； （2）2（3y﹣1）＝7（y﹣2）+3；
（3）； （4）．
【点拨】（1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；
（2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；
（3）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；
（4）根据题意，先变形，然后根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【解析】解：（1）5x﹣2＝1﹣2x，
移项、合并同类项，得7x＝3，
将系数化为1，得；
（2）2（3y﹣1）＝7（y﹣2）+3，
去括号，得6y﹣2＝7y﹣14+3，
移项、合并同类项，得﹣y＝﹣9，
将系数化为1，得y＝9；
（3），
去分母，得4（7x﹣1）﹣6（5x+1）＝24﹣3（3x+2），
去括号，28x﹣4﹣30x﹣6＝24﹣9x﹣6，
移项、合并同类项，得7x＝28，
将系数化为1，得x＝4；
（4），
整理，得5（x﹣4）﹣2.5＝20（x﹣3），
去括号，得5x﹣20﹣2.5＝20x﹣60，
移项，合并同类项，得﹣15x＝﹣37.5，
将系数化为1，得x＝2.5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
变式1．（2024秋 柳州期末）下列解方程的步骤正确的是（ ）
A．由﹣12x＝6，得x＝﹣2 B．由，得
C．由，得x＝1 D．由2x﹣1＝7x+6，得2x﹣7x＝6+1
【点拨】各方程移项合并，将x系数化为1，得到结果，即可做出判断．
【解析】解：A、由﹣12x＝6，得x＝﹣，故选项错误；
B、由x＝1，得x＝，故选项错误；
C、由﹣x＝﹣，得x＝，故选项错误；
D、由2x﹣1＝7x+6，得2x﹣7x＝6+1，故选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
变式2．（2023秋 东平县期末）如果2（x+3）的值与﹣3（1﹣x）的值相等，那么x的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．3 D．
【点拨】利用2（x+3）的值与﹣3（1﹣x）的值相等，列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根据题意得：2（x+3）＝﹣3（1﹣x），
去括号得：2x+6＝﹣3+3x，
移项合并同类项得：﹣x＝﹣9，
系数化为1得：x＝9，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解法是解本题的关键．
变式3．（2024秋 霍邱县期中）小强在解方程“﹣3x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．x＝4
【点拨】把x＝4代入方程3x﹣1＝2x+k求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可．
【解析】解：由条件可知：3×4﹣1＝2×4+k，
解得k＝3，
原方程为：﹣3x﹣1＝2x+3，
解这个方程，得．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键．
变式4．（2024秋 广西期中）下列选项正确的是（ ）
A．方程去分母，得2（3﹣2x）﹣3（x﹣2）＝1
B．方程3x+8＝﹣4x﹣7移项，得3x+4x＝﹣7+8
C．方程7（3﹣x）﹣5（x﹣3）＝8去括号，得21﹣7x﹣5x+15＝8
D．方程系数化为1，得x＝1
【点拨】根据解一元一次方程时的易错点逐项进行判断即可．
【解析】A、去分母时，方程右边数1漏乘了6，故错误，不符合题意；
B、方程左边8移项后没有变号，故错误，不符合题意；
C、变形正确，符合题意；
D、系数化为1时，方程两边应除以，而不是乘以，故错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
变式5．（2023秋 莱西市期末）解方程：2﹣＝﹣，去分母得（ ）
A．2﹣2 （2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣2 （2x﹣4）＝﹣x﹣7
C．2﹣（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．12﹣2 （2x﹣4）＝﹣（x﹣7）
【点拨】方程两边乘以6去分母得到结果，即可做出判断．
【解析】解：去分母得：12﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7），
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式6．（2024秋 路南区月考）把方程的分母化成整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】将原方程的分母，分子均扩大10倍即可．
【解析】解：由题意得原方程化为﹣＝12，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
变式7．（2024秋 余杭区月考）解下列一元一次方程：
（1）4x﹣9＝x；
（2）．
【点拨】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值；
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解析】解：（1）4x﹣9＝x，
4x﹣x＝9，
3x＝9，
x＝3；
（2），
3（3x+2）﹣6＝2（x﹣2），
9x+6﹣6＝2x﹣4，
9x﹣2x＝﹣4﹣6+6，
7x＝﹣4，
x＝．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．
变式8．（2024秋 槐荫区月考）数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读．
小明：对于3（x+1）+（x﹣1）+2（x+1），我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐．
小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将（x+1）、（x﹣1）分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程（x+1）＝（x﹣1），然后再继续求解．
（1）请你继续进行小亮的求解．
（2）请利用小亮的方法解下面的方程：7（x+3）+4＝24﹣3（x+3）．
【点拨】（1）将（x+1）、（x﹣1）分别看成整体进行移项、合并同类项，再通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解即可；
（2）将（x+3）看成整体进行移项、合并同类项，再求解即可．
【解析】解：（1）3（x+1）+（x﹣1）+2（x+1），
3（x+1）﹣2（x+1）＝，
x+1＝，
6x+6＝x﹣1，
6x﹣x＝﹣1﹣6，
5x＝﹣7，
x＝；
（2）7（x+3）+4＝24﹣3（x+3），
7（x+3）+3（x+3）＝24﹣4，
10（x+3）＝20，
x+3＝2，
x＝﹣1．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解整体求解法是解题的关键．
变式9．（2023秋 费县期末）解方程：
（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）；
（2）．
【点拨】（1）依次进行去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可；
（2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可．
【解析】解：（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3），
去括号，得3x﹣7x+7＝3﹣2x﹣6，
移项，得3x﹣7x+2x＝3﹣6﹣7，
合并同类项，得﹣2x＝﹣10，
系数化为1，得x＝5；
（2），
去分母，得10（3x+2）﹣20＝5（2x﹣1）﹣4（2x+1），
去括号，得30x+20﹣20＝10x﹣5﹣8x﹣4，
移项，得30x﹣10x+8x＝﹣5﹣4﹣20+20，
合并同类项，得28x＝﹣9，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
高频考点4 同解方程
【解题技巧】如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．
例1．（2024秋 香坊区校级期中）如果方程6x+3a＝22与方程3x+5＝11的解相同，求3a﹣1的值？
【点拨】先解方程3x+5＝11可得：x＝2，然后根据同解方程的定义可得：把x＝2代入6x+3a＝22中得：12+3a＝22，从而可得3a＝10，再代入式子中进行计算即可解答．
【解析】解：3x+5＝11，
3x＝11﹣5，
3x＝6，
x＝2，
∵方程6x+3a＝22与方程3x+5＝11的解相同，
∴把x＝2代入6x+3a＝22中得：12+3a＝22，
3a＝22﹣12，
3a＝10，
∴3a﹣1＝10﹣1＝9．
【点睛】本题考查了同解方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
变式1．（2023秋 新华区期末）若与kx+1＝17的解相同，则k的值为 2 ．
【点拨】求出第一个方程的解，再代入第二个方程并求解即可得出k的值．
【解析】解：方程，
解得：x＝8，
∵与kx+1＝17的解相同，
∴8k+1＝17，
解得：k＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查同解方程，同解方程即为方程的解相同的方程．掌握同解方程的定义是解题的关键．
变式2．（2024春 德化县期中）若方程的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则a的值为 ﹣4 ．
【点拨】先根据等式的性质求出第一个方程的解是x＝10，再把x＝10代入第二个方程得出40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【解析】解：，
2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2），
2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，
2x+3x＝﹣6+8+48，
5x＝50，
x＝10，
∵方程的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，
∴把x＝10代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1，得40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1，
40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，
﹣3a﹣2a＝60﹣1﹣40+1，
﹣5a＝20，
a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查了同解方程，能得出关于a的方程40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1是解此题的关键．
变式3．（2024秋 济阳区月考）已知关于x的方程（m+2）x|m|﹣1+8n＝0是一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若该方程的解与关于x的方程的解相同，求n的值．
【点拨】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值；
（2）把m的值代入方程求出方程的解，根据方程同解的条件列式可得n的值．
【解析】解：（1）∵关于x的方程（m+2）x|m|﹣1+8n＝0是一元一次方程，
∴|m|﹣1＝1，m+2≠0，
解得：m＝2；
（2）当m＝2时，方程为：4x+8n＝0，
解得：x＝﹣2n，
，
5（x+n）+10＝2（2x+1），
5x﹣4x＝2﹣10﹣5n，
x＝﹣5n﹣8，
∴﹣5n﹣8＝﹣2n，
∴．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义及同解方程，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．
高频考点5 一元一次方程的应用
【解题技巧】
列方程解应用题的步骤：
①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程；⑤求出方程的解；⑥验根并作答．
例1．（2024秋 黔东南州期末）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．
（1）七年级四班有男生和女生各多少人？
（2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【点拨】（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人，根据男生人数比女生人数多2人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即男生的人数），再将其代入（48﹣x）中，即可求出女生人数；
（2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据这节课制作的盒底的总数量是制作的盒身总数量的2倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人，
根据题意得：x﹣（48﹣x）＝2，
解得：x＝25，
∴48﹣x＝48﹣25＝23．
答：七年级四班有男生25人，女生23人；
（2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，
根据题意得：26（25﹣y）＝2×11（23+y），
解得：y＝3．
答：有3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式1．（2024秋 新洲区期中）两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．5000（1﹣2x）＝3000 B．3000（1+2x）＝5000
C．3000（1+x）2＝5000 D．5000（1﹣x）2＝3000
【点拨】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．
【解析】解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：
5000（1﹣x）2＝3000，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
变式2．（2024秋 沈阳月考）一件上衣先按成本提高40%标价，再以8折出售，结果获利24元，若设这件上衣的成本价是x元，根据题意，可得到的方程是（ ）
A．（1+40%）x×80%＝x﹣24 B．（1+40%）x×80%＝x+24
C．（1+40%x）×80%＝x﹣24 D．（1+40%x）×80%＝x+24
【点拨】根据售价＝成本+利润，可以列出相应的方程．
【解析】解：由题意可得，
（1+40%）x×80%＝x+24
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
变式3．（2023秋 盘龙区期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有若干人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱．问有多少人？若设有x人，则下列方程正确的是（ ）
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．8（x﹣3）＝7（x+4） D．8x+4＝7x﹣3
【点拨】根据物品的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】解：根据题意得：8x﹣3＝7x+4．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式4．（2024秋 合肥期末）小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行19km，小明每小时骑行11km，他们完成全部行程所用的时间，小华比小明快30分钟．设他们这次骑行线路长为x km，依题意，可列方程为 ．
【点拨】根据他们完成全部行程所用的时间，小华比小明快30分钟的等量关系列方程即可．
【解析】解：由题意得，
，
即，
故答案为：．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
变式5．（2023秋 定陶区期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位h（cm）与时间t（min）之间满足关系式h＝0.4t+2，当h＝4cm时，时间t的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【点拨】把h＝4代入h＝0.4t+2，计算即可求解．
【解析】解：当h＝4cm时，4＝0.4t+2，
解得t＝5（min）．
故选：B．
【点睛】本题考查了求代数式的值，正确进行计算是解题关键．
变式6．（2024秋 内蒙古期末）某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要24天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了3天．问这项工程一共用了多少天？
【点拨】设这项工程一共用了x天，则甲工程队改造了x天，乙工程队改造了（x﹣3）天，根据甲工程队完成的改造任务量+乙工程队完成的改造任务量＝整个改造任务量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出这项工程所用时间．
【解析】解：设这项工程一共用了x天，则甲工程队改造了x天，乙工程队改造了（x﹣3）天，
依题意得：+＝1，
解得：x＝9．
答：这项工程一共用了9天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式7．（2024秋 凤凰县月考）2024年“国庆”期间，某超市打出促销广告，如表：
一次性所购物品的原价 优惠方法
不超过200元 没有优惠
超过200元，但不超过600元 全部按九折优惠
超过600元 其中600元的部分仍按九折优惠，超过600元的部分按八折优惠
（1）小明一次性购买物品的原价为300元，则实际付款 270 元；
（2）小红购物时一次性付款580元，则小红所购物品的原价是多少元？
（3）小李和小王分别前往该超市购物，两人各自所购物品的原价之和为1200元，且小王所购物品的原价高于小李，两人实际付款共1074元，则小赵和小李各自所购物品的原价分别是多少元？
【点拨】（1）利用实际付款金额＝购买物品的原价×0.9，即可求出结论；
（2）设小红所购物品的原价为x元，根据小红购物时一次性付款580元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设小李所购物品的原价为y元，则小王所购物品的原价为（1200﹣y）元，分0＜y≤200及200＜y＜600两种情况考虑，根据两人实际付款共1074元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解析】解：（1）根据题意，得300×0.9＝270，
∴实际付款270元．
故答案为：270；
（2）设小红所购物品的原价为x元，
∵600×0.9＝540（元），540＜580，
∴x＞600．
根据题意，得600×0.9+0.8（x﹣600）＝580，
解方程，得x＝650．
答：小红所购物品的原价为650元；
（3）设小李所购物品的原价为y元，则小王所购物品的原价为（1200﹣y）元．
当0＜y≤200时，y+600×0.9+0.8（1200﹣y﹣600）＝1074，
解方程，得y＝270（不符合题意，舍去）；
当200＜y＜600时，0.9y+600×0.9+0.8（1200﹣y﹣600）＝1074，
解方程，得y＝540，
∴1200﹣y＝1200﹣540＝660（元）．
答：小李所购物品原价为540元，小王所购物品原价为660元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式8．（2023秋 青山区期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
【点拨】方案一：直接用算术方法计算：粗加工的利润×吨数；方案二：首先根据每天精加工的吨数以及天数的限制，知精加工了15×6＝90吨，还有50吨直接销售；方案三：设精加工x天，则粗加工（15﹣x）天，根据加工的总吨数为140吨列方程求得x的值，然后可求得获得的利润．
【解析】解：方案一：∵4500×140＝630000（元），
∴将蔬菜全部进行粗加工后销售，则可获利润630000元
方案二：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元），
∴将蔬菜尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润725000元；
方案三：设精加工x天，则粗加工（15﹣x）天．
根据题意得：6x+16（15﹣x）＝140，
解得：x＝10，
所以精加工的吨数＝6×10＝60，16×5＝80吨．
这时利润为：80×4500+60×7500＝810000（元）
答：该公司可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为810000元．
【点睛】本题主要考查的一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．
变式9．（2024秋 漳州期中）已知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度．
（1）求A、B两点所对应的数；
（2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数；
（3）已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，2NO﹣mAM的值不随时间t的变化而改变．求m的值．（注：AB指点A到点B的距离或点B到点A的距离）
【点拨】（1）根据题意找出A与B点对应的数即可；
（2）设点C表示的数为c，根据题意列出关于c的方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）设t秒后，根据题意列出关系式，由结果不随t的变化而改变，确定出m的值即可．
【解析】解：（1）由题意可得：
∴点A表示﹣8，点B表示﹣8+32＝24，
∴A、B两点所对应的数分别为﹣8，24；
（2）设点C表示的数为c，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，
∴|c﹣24|＝3|c|，
∴c﹣24＝3c或c﹣24＝﹣3c，
解得：c＝﹣12或c＝6，
∴点C对应的数为﹣12或6；
（3）设t秒后，则M、N表示的数分别为﹣8+t，24+2t，
∴2NO﹣mAM＝2（24+2t）﹣m[﹣8+t﹣（﹣8）]＝48+（4﹣m）t，
当4﹣m＝0时，2BN﹣mAM的值不随时间t的变化而改变，
∴m＝4．
【点睛】本题主要考查了数轴，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用等知识点，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
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