第3章 实数 单元检测能力提升卷（含解析）

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第3章 实数 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在实数0，，，﹣1中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．﹣1
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．的算术平方根是（　　）
A． B．﹣ C． D．±
4．下列七个实数：0，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．设n为正整数且，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列各式正确的有（　　）①＝0.2；②＝；③﹣22的平方根是±2；④的算术平方根是﹣3；⑤是1的平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
9．若取到最小值，则整数x的值是（　　）
A．4 B． C．3 D．﹣3
10．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．写出一个小于4的正无理数是 　 　．
12．的立方根是　 　，的平方根是　 　，的绝对值是　 　．
13．比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）．
① 　 　；② 　 　．
14．一个正数m的平方根是2a﹣8和5a+15，那么a的值是　 　．
15．如图，数轴上有A，B，C三个点，其中点A，B表示的有理数分别是﹣4，12，点C位于A，B之间，将以AC为边的正方形沿数轴向右无滑动翻滚三次．此时点A的对应点A1落在数轴上，并且A1，B两点之间的距离为4，则点C表示的有理数是 　 　．
16．规定：用符号[x]表示不大于实数x的最大整数．例如：[3.69]＝3，．
（1）填空＝ 　 　；
（2）＝ 　 　；
（3）若，则x的取值范围是 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（1）计算：+|1﹣|．
（2）解方程：4（x﹣1）2﹣16＝0．
18．计算：．
19．已知5a+2的立方根是3，3a+b的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+b+c的平方根．
20．将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上：
①，②16，③﹣4，④3.14，⑤0，⑥，⑦．
整数：　 　；
分数：　 　；
负数：　 　；
无理数：　 　．
21．在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）．一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离s＝27米，若该路段限速100千米/时，判断该汽车刹车前有没有超速，并说明理由．
22．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题：
（1）的“共同体区间”为　 　；
（2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”；
（3）若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”．
23．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣3、﹣12、﹣27这三个数，，，，其结果6、9、18都是整数，所以﹣3、﹣12、﹣27这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣2、﹣8、﹣18这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数﹣5、m、﹣20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值．
24．如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合．（所有结果保留π）
（1）若圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点Q到达点Q'，设点Q′表示的数为a．
①求a的值；
②求的算术平方根．
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：
+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．
①第几次滚动后，点Q距离原点最近？第几次滚动后，点Q距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点Q运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在实数0，，，﹣1中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．﹣1
【点拨】根据负数小于0，0小于正数，进行比较即可．
【解析】解：∵，
∴最大．
故选：A．
【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是掌握实数大小比较的方法．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的性质判断A、B；根据二次根式的减法判断C；根据立方根的定义判断D．
【解析】解：A．计算错误，不符合题意；
B．没有意义，计算错误，不符合题意；
C．与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
D．，计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的减法，立方根，熟知相关知识并灵活运用是解题的关键．
3．的算术平方根是（　　）
A． B．﹣ C． D．±
【点拨】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解析】解：＝的算术平方根是：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．
4．下列七个实数：0，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】解：0、＝2是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
3.14159265是有限小数，属于有理数；
无理数有，，0.101001000100001…，共有3个．
故选：A．
【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数．
5．设n为正整数且，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【点拨】将原式计算后利用无理数的估算即可求得答案．
【解析】解：原式＝﹣1，
∵49＜63＜64，
∴7＜＜8，
∴6＜﹣1＜7，
则n＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
6．下列各式正确的有（　　）①＝0.2；②＝；③﹣22的平方根是±2；④的算术平方根是﹣3；⑤是1的平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据算术平方根的定义判断①②；根据负数没有平方根判断③；先化简，再求算术平方根判断④；根据平方根的定义判断⑤．
【解析】解：①＝＝，故①不符合题意；
②＝＝，故②不符合题意；
③﹣22＝﹣4，负数没有平方根，故③不符合题意；
④＝3，3的算术平方根是，故④不符合题意；
⑤1＝的平方根是±，故⑤符合题意；
符合题意的有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握一个正数的平方根有2个，0的平方根是0，负数没有平方根是解题的关键．
7．下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据算术平方根的定义对A进行判断；
根据二次根式的加减法对B进行判断；
根据二次根式的性质对C、D进行判断．
【解析】解：A．原式＝0.8，所以A选项不符合题意；
B． ≠﹣3，所以B选项不符合题意；
C．＝5，﹣|﹣5|＝﹣5，所以C选项不符合题意；
D．原式＝3﹣7＝﹣4，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的运算，立方根，掌握相应的运算法则是关键．
8．如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为1+．
故选：B．
【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
9．若取到最小值，则整数x的值是（　　）
A．4 B． C．3 D．﹣3
【点拨】根据3＜＜4，取到最小值，x为整数，则整数x的取值要更接近，由此即可得出答案．
【解析】解：∵3＜＜4，
又∵取到最小值，x为整数，
∴整数x的取值要更接近，
∵3更接近，
∴当取到最小值，x＝3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，算术平方根，熟练掌握实数的大小比较，算术平方根的意义是解决问题的关键．
10．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【点拨】先依据法则知★＝，据此得出原式＝★，再次利用法则计算可得．
【解析】解：∵＜，
∴★＝，
则原式＝★
＝
＝
＝
＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及对新定义的理解．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．写出一个小于4的正无理数是 　　．
【点拨】根据4＝，以及无理数的特征，一个小于4的正无理数是．
【解析】解：一个小于4的正无理数是．（答案不唯一）
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
12．的立方根是　﹣　，的平方根是　±3　，的绝对值是　﹣2　．
【点拨】直接利用立方根以及算术平方根和平方根、绝对值的性质分别分析得出答案．
【解析】解：的立方根是；
的平方根是±3；
，
故答案为：，±3，．
【点睛】此题主要考查了平方根，算术平方根和立方根和绝对值，熟练掌握相关概念和性质是关键．
13．比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）．
① 　＜　；② 　＞　．
【点拨】①根据实数的大小比较解答即可．
②根据实数的大小比较，无理数的估算解答即可．
【解析】解：①∵，且，
∴；
故答案为：＜．
②∵，
∴
∴，
∵是负数，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了无理数的估算，大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键．
14．一个正数m的平方根是2a﹣8和5a+15，那么a的值是　﹣1　．
【点拨】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数列式求解即可．
【解析】解：∵一个正数m的平方根是2a﹣8和5a+15，
∴2a﹣8+5a+15＝0，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数和相反数的定义是解题的关键．
15．如图，数轴上有A，B，C三个点，其中点A，B表示的有理数分别是﹣4，12，点C位于A，B之间，将以AC为边的正方形沿数轴向右无滑动翻滚三次．此时点A的对应点A1落在数轴上，并且A1，B两点之间的距离为4，则点C表示的有理数是 　﹣1或1　．
【点拨】设点C表示的数是x，根据AB＝16，A1B＝4，求出AA1即可．
【解析】解：设点C表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣4）＝x+4，
∵AB＝12﹣（﹣4）＝16，A1B＝4，
∴AA1＝16﹣4＝12或AA1＝16+4＝20，
∵点A1是以AC为边的正方形沿数轴向右无滑动翻滚三次得到的，
∴AC＝＝3或AC＝＝5，
∴x+4＝3或x+4＝5，
解得x＝﹣1或x＝1，
故答案为：﹣1或1．
【点睛】本题考查了实数和数轴，利用数形结合的思想是解题的关键．
16．规定：用符号[x]表示不大于实数x的最大整数．例如：[3.69]＝3，．
（1）填空＝ 　1　；
（2）＝ 　﹣3　；
（3）若，则x的取值范围是 　16≤x＜25　．
【点拨】（1）先估算的范围，再根据[x]表示不大于实数x的最大整数，即可得出答案；
（2）先估算的范围，再根据[x]表示不大于实数x的最大整数，即可得出答案；
（3）根据题意，可得，进而得出，不等式两边都平方，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵，
∴．
故答案为：1；
（2）∵，
∴，
∴．
故答案为：﹣3；
（3）∵，
∴，
∴，
∴16≤x＜25．
故答案为：16≤x＜25．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（1）计算：+|1﹣|．
（2）解方程：4（x﹣1）2﹣16＝0．
【点拨】（1）先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可．
【解析】解：（1）+|1﹣|
＝﹣2+2+
＝；
（2）4（x﹣1）2﹣16＝0，
4（x﹣1）2＝16，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x＝3或x＝﹣1．
【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握运算法则及平方根的定义是解题的关键．
18．计算：．
【点拨】根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质依次化简计算即可．
【解析】解：原式＝＝．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟知负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质是解题的关键．
19．已知5a+2的立方根是3，3a+b的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+b+c的平方根．
【点拨】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值；
（2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解析】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b＝16，
∴a＝5，b＝1，
∵，
∴，
∴c＝3；
（2）将a＝5，b＝1，c＝3，
代入得：a+b+c＝9，
∴a+b+c的平方根是±3．
【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键．
20．将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上：
①，②16，③﹣4，④3.14，⑤0，⑥，⑦．
整数：　②③⑤　；
分数：　④⑥　；
负数：　①③　；
无理数：　①⑦　．
【点拨】根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可．
【解析】解：整数：②③⑤；
分数：④⑥；
负数：①③；
无理数：①⑦；
故答案为：②③⑤；④⑥；①③；①⑦．
【点睛】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键．
21．在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）．一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离s＝27米，若该路段限速100千米/时，判断该汽车刹车前有没有超速，并说明理由．
【点拨】根据题意，将s＝27代入，求得v＝90，与限速比较，即可求解．
【解析】解：汽车刹车前没有超速，理由：
当s＝27时，，即v2＝8100，
解得：v＝90或v＝﹣90（舍去），
∵90＜100，
∴汽车刹车前没有超速．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键．
22．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题：
（1）的“共同体区间”为　（5，6）　；
（2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”；
（3）若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”．
【点拨】（1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解；
（2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出a+6的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解；
（3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解．
【解析】解：（1）∵52＜26＜62，
∴的“共同体区间”是（5，6），
故答案为：（5，6）；
（2）∵无理数的“共同体区间”为（2，3），
∴22＜a＜32，即4＜a＜9，
∴10＜a+6＜15，
∴32＜a+6＜42，
∴的“共同体区间”为（3，4）；
（3）∵，
∴或，
解得或或，
分以下三种情况：
当x＝4，y＝4时，x（y+1）＝20，
∵42＜20＜52，
∴的“共同体区间”为（4，5）；
当x＝3，y＝5时，x（y+1）＝18，
∵42＜18＜52，
∴的“共同体区间”为（4，5）；
当x＝3，y＝3时，x（y+1）＝12，
∵32＜12＜42，
∴的“共同体区间”为（3，4）；
综上，的“共同体区间”为（4，5）或（3，4）．
【点睛】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点．
23．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣3、﹣12、﹣27这三个数，，，，其结果6、9、18都是整数，所以﹣3、﹣12、﹣27这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣2、﹣8、﹣18这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数﹣5、m、﹣20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值．
【点拨】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当﹣5m＝400时，②当﹣20m＝400时，分别计算即可．
【解析】解：（1）三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵三个数都是负数，
∴，，，
结果4、6、12都是整数，
∴﹣2、﹣8、﹣18三个数是“完美组合数”；
（2）∵﹣5、﹣20两个数乘积的算术平方根为10，
∴①若﹣5、m这两个数乘积的算术平方根为20，则﹣5m＝400，
解得m＝﹣80，
此时，，，
∴﹣5、﹣80、﹣20三个数是“完美组合数”；
②若﹣20、m这两个数乘积的算术平方根为20，则﹣20m＝400，
解得m＝﹣20，
∴不合题意；
综上所述，m＝﹣80．
【点睛】本题考查算术平方根．熟练掌握算术平方根的性质是关键．
24．如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合．（所有结果保留π）
（1）若圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点Q到达点Q'，设点Q′表示的数为a．
①求a的值；
②求的算术平方根．
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：
+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．
①第几次滚动后，点Q距离原点最近？第几次滚动后，点Q距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点Q运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【点拨】（1）①根据圆周长的计算方法求出圆的周长，再根据滚动方向，滚动的距离进行解答即可；
②根据算术平方根以及有理数加减法的计算方法进行计算即可；
（2）①根据滚动方向，滚动的距离，求出每次滚动后，点Q的对应点所表示的数，根据每次滚动后所表示数的绝对值进行解答即可；
②求出每次滚动的绝对值的和，再进行计算即可．
【解析】解：（1）①圆的周长为π×1＝π，所以圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点Q到达点Q'，点Q′表示的数为a＝﹣π；
②﹣（﹣a﹣）﹣π
＝﹣（﹣π﹣4）﹣π
＝π+4﹣π
＝4，
所以﹣（﹣a﹣）﹣π算术平方根为＝2；
（2）①第1次滚动后，点Q所对应的点所表示的数为2π，
第2次滚动后，点Q所对应的点所表示的数为2π﹣π＝π，
第3次滚动后，点Q所对应的点所表示的数为π+3π＝4π，
第4次滚动后，点Q所对应的点所表示的数为4π﹣4π＝0，
第5次滚动后，点Q所对应的点所表示的数为0﹣3π＝﹣3π，
所以第4次滚动后，点Q距离原点最近，第3次滚动后，点Q距离原点最远；
②当圆片结束运动时，点Q运动的路程为|2π|+|π|+|4π|+|0|+|﹣3π|＝10π，
此时点Q所表示的数是﹣3π．
【点睛】本题考查实数与数轴，估算无理数的大小，理解算术平方根的定义，掌握实数的计算方法是正确解答的关键．
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