第6章 图形的初步知识 单元检测基础过关卷（含解析）

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第6章 图形的初步知识 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B． C． D．
2．A，B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东40°方向上，∠AOB＝110°，则B在灯塔O的（　　）
A．南偏东30°方向 B．南偏东40°方向 C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向
3．图中的几何体是由哪个图形绕虚线旋转一周得到的（　　）
A． B． C． D．
4．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β互余是（　　）
A． B． C． D．
5．一个角的余角比这个角的一半大15°，则这个角的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．35°
6．如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点间的线段的长度，叫做这两点的距离
8．如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（　　）
A．β B．（α﹣β） C．α﹣β D．α
9．已知线段AB＝8cm，C是线段AB所在直线上一点．下列说法：
①若C为线段AB的中点，则AC＝4cm；
②若AC＝4cm，则C为线段AB的中点；
③若AC＞BC，则点C一定在线段AB的延长线上；
④线段AC与BC的长度和一定不小于8cm．
其中正确的说法是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
10．如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，∠BOE＝∠EOC，则下列四个结论正确的个数有（　　）
①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．用度分秒表示34.62°＝　 　° 　 　′　 　”．
12．已知∠β＝38°25'，则∠β的补角的度数是 　 　．
13．在一个棱柱中，一共有5个面，则这个棱柱有 　 　条棱．
14．如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，则MC的长是 　 　．
15．如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．如图②，若∠MON＝120°，射线OP为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数是 　 　．
16．如图，线段AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且．图中共有 　 　条线段；若P为直线AB上一点，且，则的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画出直线AB，射线CB，线段AC；
（2）在线段AC取一点D，数数看，此时图中共有多少条线段？
18．计算：
（1）180°﹣46°37'45″；
（2）175°16'30″﹣47°30'÷6+4°12'50″×3．
19．如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上，且．若AC＝9，求线段DC的长．
请将下面的解题过程补充完整：
解：∵点C是线段AB的中点，（已知）．
∴AB＝2AC．（理由：　 　）
AC＝9，（已知）
∴AB＝ 　 　．
∵点D在线段AB上，，（已知）
∴AD＝ 　 　AB．
∴AD＝ 　 　，
∴DC＝ 　 　﹣　 　＝ 　 　．
20．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．
21．如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有　 　条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC　 　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝22，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
22．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数；
（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
23．阅读感悟：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，C，D是线段AB上的两点，AB＝18，AC＝4，CD＝6，M为AC的中点，点N在线段AB上，且DN＝AD，请你补全图形，并求线段MN的长度．
以下是小欣的解答过程：
解：补全图形如图2所示．
因为AD＝AC+CD＝4+6＝10，M为AC的中点，DN＝AD，
所以MC＝AC＝　 　，DN＝×10＝4．
所以MN＝MC+CN＝MC+CD﹣DN＝　 　+6﹣4＝　 　．
小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．”
完成以下问题：
（1）请将小欣的解答过程补充完整．
（2）根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段MN的长度．
24．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　．
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），已知∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　．
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？请说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据角的表示方法，结合图形判断即可．
【解析】解：A．∠1、∠ABC、∠B表示的不一定是同一个角，错误，∵以∠B为顶点的有多个角，故本选项不符合题意；
B．∠1、∠ABC、∠B表示的不一定是同一个角，错误，∵以∠B为顶点的有多个角，故本选项不符合题意；
C．∠1、∠ABC、∠B表示的是同一个角，正确，故本选项符合题意；
D．∠1、∠ABC、∠B表示的不一定是同一个角，错误，∵以∠B为顶点的有多个角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的概念，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．
2．A，B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东40°方向上，∠AOB＝110°，则B在灯塔O的（　　）
A．南偏东30°方向 B．南偏东40°方向 C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向
【点拨】先判断B在灯塔O的南偏东，因为∠A0B在北偏东40°，∠AOB＝110°，则180°﹣40°﹣110°＝30°，推出B地在灯塔O南偏东30°方向．
【解析】解：由题意得：180°﹣40°﹣110°＝30°，
∴B地在灯塔O的南偏东30°方向，
故选：A．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
3．图中的几何体是由哪个图形绕虚线旋转一周得到的（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】解：A、转动后是圆柱，故本选项不符合题意；
B、转动后是橄榄球形状，故本选项不符合题意；
C、转动后的几何体不符合题意；
D、转动后的几何体符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键．
4．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β互余是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】依次此处每个图形中∠α与∠β之间的关系即可解决问题．
【解析】解：图（1）中，∠α+90°+∠β＝180°，
所以∠α+∠β＝90°．
故A选项中∠α与∠β互余．
图（2）中，∠α+∠β＝180°．
故B选项中∠α与∠β互补．
图（3）中，∠α与∠β分别加上中间重叠部分的角都等于90°，
所以∠α＝∠β．
故C选项中∠α与∠β相等．
图（4）中，∠α+45°＝∠β+45°＝180°，
所以∠α＝∠β．
故D选项中∠α与∠β相等．
故选：A．
【点睛】本题考查余角和补角，熟知互余及互补的定义是解题的关键．
5．一个角的余角比这个角的一半大15°，则这个角的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．35°
【点拨】设这个角为x°，则这个角的余角＝（90°﹣x°），根据题意可得出方程，解出即可．
【解析】解：设这个角为x°，则这个角的余角为（90°﹣x°），
根据题意，得
90﹣x＝x+15，
解得：x＝50．
所以这个角的度数为50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了余角的定义．解题的关键是掌握余角的定义，注意掌握互余的两角之和为90度，互补的两角之和为180°．
6．如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
【点拨】先设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，AB＝3x，MB＝MC+BC＝2+x，根据线段中点的定义得AM＝MB＝AB，据此可得2+x＝×3x，由此解出x即可得线段AB的长．
【解析】解：设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝AC+BC＝2x+x＝3x，MB＝MC+BC＝2+x，
∵点M为AB的中点，
∴AM＝MB＝AB，
∴2+x＝×3x，
解得：x＝4，
∴AB＝3x＝12．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，熟练掌握线段的计算，理解线段中点的定义是解决问题的关键．
7．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点间的线段的长度，叫做这两点的距离
【点拨】根据线段的性质解答即可．
【解析】解：剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小根据是两点之间线段最短，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
8．如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（　　）
A．β B．（α﹣β） C．α﹣β D．α
【点拨】求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠NOC和∠MOC，相减即可求出答案．
【解析】解：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝∠BOC＝，∠MOC＝∠AOC＝，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝﹣＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠NOC和∠MOC的大小．
9．已知线段AB＝8cm，C是线段AB所在直线上一点．下列说法：
①若C为线段AB的中点，则AC＝4cm；
②若AC＝4cm，则C为线段AB的中点；
③若AC＞BC，则点C一定在线段AB的延长线上；
④线段AC与BC的长度和一定不小于8cm．
其中正确的说法是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【点拨】根据中点的定义可判断①②；举反例可判断③；根据线段的和差关系可判断④．
【解析】解：若C为线段AB的中点，则，故①正确；
若AC＝4cm，且C在线段AB上时，则C为线段AB的中点，故②错误；
若AC＞BC，则点C可能在线段AB的延长线上，也可能在线段AB上，故③错误；
AC+BC≥AB，线段AC与BC的长度和一定不小于8cm，故④正确；
综上可知，正确的说法是①④，
故选：D．
【点睛】本题考查线段、中点，熟练掌握以上知识点是关键．
10．如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，∠BOE＝∠EOC，则下列四个结论正确的个数有（　　）
①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】首先利用已知得出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．
【解析】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠BOE＝∠EOC，
∴设∠BOE＝x，则∠COE＝3x，
∵∠DOE＝60°，
∴∠BOD＝∠AOD＝60°﹣x，
∴2（60°﹣x）+x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，故①正确；
∵∠BOD＝∠AOD＝30°，∠DOE＝60°，
∴∠AOD+∠DOE＝90°，则∠EOC＝∠AOE＝90°，
∴射线OE平分∠AOC，故②正确；
∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，
∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；
∵∠AOE＝∠EOC＝90°，
∴∠AOE+∠EOC＝180°，
∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，
∴图中互补的角有6对，故④正确，
正确的有4个，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了角平分线，以及补角和余角，关键是正确计算出图中各角的度数．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．用度分秒表示34.62°＝　34　° 　37　′　12　”．
【点拨】把34.62°写成整数度+小数度，然后把小数度乘60化成分，再把小数分乘60化成秒即可．
【解析】解：34.62°＝34°+0.62°
＝34°+0.62×60′
＝34°+37.2′
＝34°+37′+0.2×60″
＝34°+37′+12″
＝34°37′12″，
故答案为：34，37，12．
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题关键是熟练掌握度分秒之间的换算为60进制．
12．已知∠β＝38°25'，则∠β的补角的度数是 　141°35′　．
【点拨】如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角，据此列式计算即可．
【解析】解：已知∠β＝38°25'，
则其补角为180°﹣38°25'＝141°35′，
故答案为：141°35′．
【点睛】本题考查补角，熟练掌握其定义是解题的关键．
13．在一个棱柱中，一共有5个面，则这个棱柱有 　9　条棱．
【点拨】根据棱柱有上、下两个底面，知道侧面是3个面，得知这个棱柱是三棱柱，从而得到棱柱的棱数．
【解析】解：∵棱柱有上、下两个底面，
∴侧面是3个面，
∴这个棱柱是三棱柱，
∴3×3＝9（条），
故答案为：9．
【点睛】本题考查了棱柱，掌握n棱柱的棱数＝3n（n是正整数，n≥3）是解题的关键．
14．如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，则MC的长是 　3cm　．
【点拨】由图形可知AC＝AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC的长．
【解析】解：由图形可知AC＝AB﹣BC＝8﹣2＝6（cm），
∵M是线段AC的中点，
∴MC＝AC＝3（cm）．
故MC的长为3cm．
故答案为：3cm．
【点睛】考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点．
15．如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．如图②，若∠MON＝120°，射线OP为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数是 　60°或40°或80°　．
【点拨】根据“幸运线”的定义得：射线OP在∠MON内部，且∠MOP，∠MON，∠NOP中，其中两个角的度数之比为1：2，因此有以下四种情况：①∠MOP：∠MON＝1：2，则∠MOP＝60°；②∠MOP：∠NOP＝1：2，则∠MOP＝40°；③∠NOP：∠MOP＝1：2，则∠MOP＝80°；④∠NOP：∠MON＝1：2，则∠MOP＝60°，综上所述即可得出∠MOP的度数．
【解析】解：∵∠MON＝120°，射线OP为∠MON的“幸运线”，
∴射线OP在∠MON内部，且∠MOP，∠MON，∠NOP中，其中两个角的度数之比为1：2，
∴有以下四种情况：
①∠MOP：∠MON＝1：2，
∴∠MOP＝∠MON＝60°；
②∠MOP：∠NOP＝1：2
∴∠NOP＝2∠MOP，
∵∠MON＝∠MOP+∠NOP＝120°，
∴3∠MOP＝120°，
∴∠MOP＝40°；
③∠NOP：∠MOP＝1：2，
∴∠MOP＝2∠NOP，
∵∠MON＝∠MOP+∠NOP＝120°，
∴3∠NOP＝120°，
∴∠NOP＝40°，
∴∠MOP＝∠MON﹣∠NOP＝80°；
④∠NOP：∠MON＝1：2，
∴∠NOP＝∠MON＝60°，
∵∠MOP＝∠MON﹣∠NOP＝60°．
综上所述：∠MOP的度数是60°或40°或80°．
【点睛】此题主要考查了角度的计算，理解“幸运线”的定义，熟练掌握角度的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是解决问题的易错点．
16．如图，线段AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且．图中共有 　6　条线段；若P为直线AB上一点，且，则的值为 　或　．
【点拨】先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答，分点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答．
【解析】解：图中的线段有：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6条线段，
故答案为：6；
∵点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且，
∴，
∵，
∴点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线，
如图：当点P在AB的延长线上时，则AP＝AB+BP＝a+BP，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
如图：当点P在BA的延长线上时，则BP＝AB+AP＝a+AP，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了线段的数量问题、线段的中点的性质、线段的和差等知识点，明确各线段间的关系成为解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画出直线AB，射线CB，线段AC；
（2）在线段AC取一点D，数数看，此时图中共有多少条线段？
【点拨】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AB，射线CB，线段AC；
（2）根据图中的线段为AB，AD，CD，BC，AC，即可得到图中线段的条数．
【解析】解：（1）如图，直线AB，射线CB，线段AC即为所求；
（2）图中有AB，AD，CD，BC，AC共5条线段．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键．
18．计算：
（1）180°﹣46°37'45″；
（2）175°16'30″﹣47°30'÷6+4°12'50″×3．
【点拨】进行度、分、秒的加法、减法、乘除法计算，度与度，分与分，秒与秒对应相加，分的结果若满60，则转化为度；度与度，分与分，秒与秒对应相乘除，分的结果若满60，则转化为度．
【解析】解：（1）180°﹣46°37'45″
＝179°59′60″﹣46°37'45″
＝133°22′15″；
（2）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3
＝175°16′30″﹣42°330′÷6+12°36′150″
＝175°16′30″﹣7°55′+12°38′30″
＝167°21′30″+12°38′30″
＝180°．
【点睛】本题考查了度、分、秒的换算．解题的关键是能够正确进行度、分、秒的加法、减法、乘除法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
19．如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上，且．若AC＝9，求线段DC的长．
请将下面的解题过程补充完整：
解：∵点C是线段AB的中点，（已知）．
∴AB＝2AC．（理由：　线段中点定义　）
AC＝9，（已知）
∴AB＝ 　18　．
∵点D在线段AB上，，（已知）
∴AD＝ 　　AB．
∴AD＝ 　6　，
∴DC＝ 　AC　﹣　AD　＝ 　3　．
【点拨】由线段中点定义求出AB的长，由得到AD＝AB．即可求出AD的长，DC＝AC﹣AD，即可得到答案．
【解析】解：∵点C是线段AB的中点，（已知），
∴AB＝2AC．（理由：线段中点定义），
∵AC＝9（已知），
∴AB＝18，
∵点D在线段AB上，（已知），
∴AD＝AB．∴AD＝6．
∴DC＝AC﹣AD＝3．
故答案为：线段中点定义，18，，6，AC，AD，3．
【点睛】本题考查求线段的长，关键是掌握线段中点定义．
20．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．
【点拨】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解析】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；
（2）∵∠AOD＝∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
【点睛】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键．
21．如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有　6　条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC　＝　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝22，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
【点拨】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．
（2）①依据AB＝CD，即可得到AB+BC＝CD+BC，进而得出AC＝BD．
②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．
【解析】解：（1）∵B、C在线段AD上，
∴图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．共6条．
故答案为：6；
（2）①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD．
故答案为：＝；
②∵AD＝22，BC＝12，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝10，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴，，
∴BM+CN＝（AB+CD）＝5，
∴MN＝BM+CN+BC＝5+12＝17．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
22．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数；
（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
【点拨】（1）由∠DCE＝40°，∠ACD＝90°求出∠ACE的度数，由∠ECB＝90°即可得出∠ACB＝∠ACE+∠ECB；
（2）由∠ACB＝145°，∠ECB＝90°求出∠ACE的度数，由∠ACD＝90°即可求出∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE；
（3）由于∠ACD＝∠ECB＝90°，即可得∠ACE+∠ECD+∠ECD+∠DCB＝180°，所以∠ACB+∠DCE＝180°．
【解析】解：（1）由题可知：∠DCE＝40°，∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣40°＝50°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；
（2）∵∠ACB＝145°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝145°﹣90°＝55°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣55°＝35°；
（3）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠ECD+∠ECD+∠DCB＝180°，
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
【点睛】本题题主要考查了角的计算，掌握互补、互余的定义等知识是解题的关键．
23．阅读感悟：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，C，D是线段AB上的两点，AB＝18，AC＝4，CD＝6，M为AC的中点，点N在线段AB上，且DN＝AD，请你补全图形，并求线段MN的长度．
以下是小欣的解答过程：
解：补全图形如图2所示．
因为AD＝AC+CD＝4+6＝10，M为AC的中点，DN＝AD，
所以MC＝AC＝　2　，DN＝×10＝4．
所以MN＝MC+CN＝MC+CD﹣DN＝　2　+6﹣4＝　4　．
小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．”
完成以下问题：
（1）请将小欣的解答过程补充完整．
（2）根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段MN的长度．
【点拨】（1）先根据条件求出AD，MC和DN，最后根据MN＝MC+CD﹣DN求出答案即可；
（2）根据小颖的想法，点N还可以在点D的右侧，画出图形，然后根据条件求出AD，MC和DN，最后根据MN＝MC+CD+DN求出答案即可．
【解析】解：（1）小欣的解答过程如下：
∵AC＝4，CD＝6，
∴AD＝AC+CD＝4+6＝10，
∵M为AC的中点，DN＝AD，
∴MC＝AC＝2，DN＝×10＝4．
∴MN＝MC+CN
＝MC+CD﹣DN
＝2+6﹣4
＝4，
故答案为：2，2，4；
（2）画图如下：
∵AC＝4，CD＝6，
∴AD＝AC+CD＝4+6＝10，
∵M为AC的中点，DN＝AD，
∴MC＝AC＝2，DN＝×10＝4．
∴MN＝MC+CN
＝MC+CD+DN
＝2+6+4
＝12．
【点睛】本题主要考查了线段两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系．
24．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　40　．
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），已知∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135　．
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？请说明理由．
【点拨】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案；
（2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可；
②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案．
【解析】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°．
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°．
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴，，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ
＝∠AOC+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝∠AOB
＝×180°
＝135°．
【点睛】本题考查了角的计算，掌握数形结合是解题的关键．
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