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专题1.2 二次根式的性质五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：二次根式的性质与数轴的结合
【经典例题1】实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【变式训练1-1】实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【变式训练1-2】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简= ．
【变式训练1-4】实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，试化简：．
【变式训练1-5】已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简
题型二：利用二次根式的性质判断等式是否正确
【经典例题2】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-5】下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：已知字母的取值范围，对代数式进行化简
【经典例题3】如果，那么的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】若，则化简的结果为（ ）
A． B．2 C．0 D．
【变式训练3-2】当时，化简（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】若，化简的正确结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练3-4】若a，b为实数，，则化简式子等于（ ）
A．a B． C．b D．
【变式训练3-5】已知，则化简 的结果为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练3-6】若，且，则的值为 ．
题型四：二次根式的性质中阅读题型
【经典例题4】【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式，
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简；
【拓展提升】（3）若，求x的取值范围．
【变式训练4-1】阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
【变式训练4-2】阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式；
乙的解答：原式．
(1)你认为 的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ；
(3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
【变式训练4-3】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题：
化简：．
解：隐含条件，解得：，
．
原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】
（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知为的三边长．化简：．
【变式训练4-4】阅读下列材料并解决问题．
当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身；
当时，，此时a的绝对值是零；
当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即：
，
在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想．
问题解决：
(1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能；
(2)猜想：与的大小关系；
(3)当x满足什么条件时，．
题型五：复合二次根式阅读题型
【经典例题5】阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数）
例如：∵，
．
请你参考小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，其中，都是整数，直接写出的值．
【变式训练5-1】先阅读材料，然后回答问题：
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程
如下：
(1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简；
【变式训练5-2】先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
【变式训练5-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于即，；
．
由上述例题的方法化简：．
【变式训练5-4】【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，
．
善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
(1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______
(2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简
(3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系．
【变式训练5-5】阅读下列材料回答问题：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，．
(1)填空：______，______；
(2)化简：
①，
②；
(3)计算：．
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专题1.2 二次根式的性质五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：二次根式的性质与数轴的结合
【经典例题1】实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】A
【详解】解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
，
【变式训练1-1】实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0
∴a>0， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
【变式训练1-2】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
；
【变式训练1-3】已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简= ．
【答案】
【详解】解：由数轴，得，
∴，
∴
．
【变式训练1-4】实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，试化简：．
【答案】原式；
【详解】解：由数轴得，
，，
∴原式
．
【变式训练1-5】已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简
【答案】
【详解】解：根据实数，，在数轴上对应点的位置可得：，且，
∴，，，
∴原式．
题型二：利用二次根式的性质判断等式是否正确
【经典例题2】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A.，故此选项错误；
B. ，故此选项正确；
C. ，故此选项错误；
D. ，故此选项错误.
【变式训练2-1】下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项正确，符合题意；
D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意．
【变式训练2-2】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
【变式训练2-3】下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：、，原选项化简正确，符合题意；
、，原选项化简错误，不符合题意；
、，原选项化简错误，不符合题意；
、，原选项化简错误，不符合题意；
【变式训练2-4】下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A． ，故本选项不正确，不符合题意；
B． ，故本选项不正确，不符合题意；
C． ，故本选项不正确，不符合题意；
D． ，本选项正确，符合题意；
【变式训练2-5】下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A. ，原式计算错误，不符合题意；
B. ，原式计算错误，不符合题意；
C. 无意义，不符合题意；
D. ，原式计算正确，符合题意；
题型三：已知字母的取值范围，对代数式进行化简
【经典例题3】如果，那么的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
【变式训练3-1】若，则化简的结果为（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
【变式训练3-2】当时，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
可．
【详解】解：．
．
．
【变式训练3-3】若，化简的正确结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，，
【变式训练3-4】若a，b为实数，，则化简式子等于（ ）
A．a B． C．b D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【变式训练3-5】已知，则化简 的结果为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴
．
【变式训练3-6】若，且，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，即，
则．
题型四：二次根式的性质中阅读题型
【经典例题4】【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式，
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简；
【拓展提升】（3）若，求x的取值范围．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【详解】解：（1）∵有意义，
∴，即，
∴
；
（2）由题意得，，
∴，
∴
；
（3）∵，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
∴x的取值范围是．
【变式训练4-1】阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)的值为或7
【详解】（1）解：当时，，，
∴．
（2）解：原式，
当时，原式，解得，符合条件；
当时，原式，舍去；
当时，原式，解得，符合条件．
∴的值为或7．
【变式训练4-2】阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式；
乙的解答：原式．
(1)你认为 的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ；
(3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
【答案】(1)甲
(2)
(3)2
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
，
∴甲的解答是错误的；
故选：甲；
（2）解：错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质，
故答案为：；
（3）解：
，
∵，
∴，，
∴原式．
【变式训练4-3】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题：
化简：．
解：隐含条件，解得：，
．
原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】
（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知为的三边长．化简：．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【详解】解：（1），
隐含条件，解得：，
，
原式；
（2）由数轴可知，，，
，
；
（3）解：由三角形的三边关系可知，，，
，，
．
【变式训练4-4】阅读下列材料并解决问题．
当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身；
当时，，此时a的绝对值是零；
当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即：
，
在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想．
问题解决：
(1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能；
(2)猜想：与的大小关系；
(3)当x满足什么条件时，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：当时，；
当时，，
当时，，
即；
（2）解：由题意及（1）得，
；
（3）解：有意义，
，
，
，
即，
解得，
即当满足时，．
题型五：复合二次根式阅读题型
【经典例题5】阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数）
例如：∵，
．
请你参考小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，其中，都是整数，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
=
．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，都是整数，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
【变式训练5-1】先阅读材料，然后回答问题：
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程
如下：
(1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简；
【答案】(1)④，
(2)
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：；
（2）解：原式
．
【变式训练5-2】先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析
(2)
【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下：
（2）原式
【变式训练5-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于即，；
．
由上述例题的方法化简：．
【答案】
【详解】解：，这里，
由于，，
∴，
∴
．
【变式训练5-4】【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，
．
善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
(1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______
(2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简
(3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：把两边平方可得：
∴，．
【变式训练5-5】阅读下列材料回答问题：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，．
(1)填空：______，______；
(2)化简：
①，
②；
(3)计算：．
【答案】(1)；
(2)①；②
(3)
【详解】（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：
．
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