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【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共18道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（八年级下·云南曲靖·月考）阅读下列计算过程：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
请解决下列问题：
(1)写出第个等式，并证明；
(2)计算：．
【答案】(1)，证明见解析 (2)
【详解】（1）解：第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第个等式：，
证明：左边右边；
（2）解：，
．
2．（八年级·山西运城·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如．
任务：
(1)化简：________．
(2)计算：．
(3)计算：．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
3．（八年级·陕西咸阳·期中）小辉在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
1．一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：．
2．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．
(1)根据以上方法，写出下列式子的结果：
①________；②________ ；
(2)若，求的值．
【答案】(1)①；② (2)
【详解】（1）解：①；
②，
故答案为：①；②．
（2）解：，
则．
4．（八年级下·江西九江·期中）观察下列规律：
∵，
∴．
∴．
…
(1)__________；
(2)__________；
(3)利用上面的规律计算：
．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，
（2）解：，
（3）解：原式
．
5．（八年级·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
．
，即．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算∶_____．
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)(2)9(3)5
【详解】（1）解：，
（2）解：，
，，
，，．
（3）解：，
∴，
∴．
6．（八年级·江西吉安·期中）观察与计算：
； ；
______； ______．
像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：
；；．
【应用】
（1）化简：①；②
（2）化简：
【详解】解：观察与计算：；
；
应用：（1）①；
②；
（2）（n为正偶数），
∴
．
7．（八年级·陕西商洛·期中）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决下列问题：
已知．
(1)化简a，b；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)(2)28
【详解】（1）解：由题意得：
，
；
（2）解：，
由（1）可知：，
∴，
∴原式．
8．（八年级·河北保定·期中）【阅读材料】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
【解决问题】
(1)仿照上面的解题过程，化简：______．
(2)计算：．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)(2)2024(3)10
【详解】（1）解：，
（2）解：
．
（3）解：∵，
，
∴，
∴．
1．（八年级·甘肃兰州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：．
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即，
∴=；
首先把化为，这里m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20
即，
∴=
（2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60
即，
∴=
2．（八年级下·上海浦东新·期末）观察下列各式及其化简过程:
==+1
==-
（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空：= =-1
（2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简;
（3）针对上述各式反映的规律，写出=-()中m、n与之间的关系．
【答案】（1）；（2）；（3）m=a＋b，n=ab
【详解】解：（1）===-1，
故填：；
（2）====
（3）通过以上规律不难发现：m=a＋b，n=ab.
3．（八年级下·重庆荣昌·期末）阅读理解题：阅读下列材料：
将化简，使根号内不含根号，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且mn＝，则将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得化简．例如，5±2＝3＋2±2＝＋±2×＝，所以＝＝±.
请仿照上例解下列问题：
(1)化简；(2)化简．
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）；
（2）.
4．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋
解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________
②根据上述思路，试将下列各式化简：
(1)； (2).
【答案】①，，3+；②(1)5-；(2) .
【详解】①===3+，
故答案为，，3+；
②(1)=====5-；
(2)=====.
5．有这样一类题目：将化简，如果能找到两个数m、n，使且，则可将变成，即变成开方，从而使得化简.
例如：5+2=3+2+2
=
=
请仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)5-2=3+3-2=+-2=，所以=．
(2)4-2=3+1-2=+(1)2-2 =，所以=．
6．（八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【答案】(1)(2)(3)7或13(4)当时，，当时，
（4）根据进行化简求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：由题意得，
∴，，
∵x，y为正整数，
∴，或，，
∴或．
（4）解：
，
当，即时，则原式；
当，即时，则原式；
综上所述，当时，，当时，．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共18道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（八年级下·云南曲靖·月考）阅读下列计算过程：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
请解决下列问题：
(1)写出第个等式，并证明；
(2)计算：．
2．（八年级·山西运城·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如．
任务：
(1)化简：________．
(2)计算：．
(3)计算：．
3．（八年级·陕西咸阳·期中）小辉在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
1．一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：．
2．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．
(1)根据以上方法，写出下列式子的结果：
①________；②________ ；
(2)若，求的值．
4．（八年级下·江西九江·期中）观察下列规律：
∵，
∴．
∴．
…
(1)__________；
(2)__________；
(3)利用上面的规律计算：
．
5．（八年级·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
．
，即．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算∶_____．
(2)计算：；
(3)若，求的值．
6．（八年级·江西吉安·期中）观察与计算：
； ；
______； ______．
像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：
；；．
【应用】
（1）化简：①；②
（2）化简：
7．（八年级·陕西商洛·期中）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决下列问题：
已知．
(1)化简a，b；
(2)求代数式的值．
8．（八年级·河北保定·期中）【阅读材料】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
【解决问题】
(1)仿照上面的解题过程，化简：______．
(2)计算：．
(3)已知，求的值．
1．（八年级·甘肃兰州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：．
2．（八年级下·上海浦东新·期末）观察下列各式及其化简过程:
==+1
==-
（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空：= =-1
（2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简;
（3）针对上述各式反映的规律，写出=-()中m、n与之间的关系．
3．（八年级下·重庆荣昌·期末）阅读理解题：阅读下列材料：
将化简，使根号内不含根号，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且mn＝，则将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得化简．例如，5±2＝3＋2±2＝＋±2×＝，所以＝＝±.
请仿照上例解下列问题：
(1)化简；(2)化简．
4．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋
解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________
②根据上述思路，试将下列各式化简：
(1)； (2).
5．有这样一类题目：将化简，如果能找到两个数m、n，使且，则可将变成，即变成开方，从而使得化简.
例如：5+2=3+2+2
=
=
请仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
6．（八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
