【优+攻略】提分攻略本第6章专题提优十二线段中点、分点问题及有关计算
一、
1．已知线段AB=9，点C 在线段AB上，且 M 是AB 的中点，则MC的长为 ( )
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，
∵，M是的中点，，
∴， ，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据“，M是的中点”求出、的长度，然后两者相减即可求解．
2．如图，B，C 两点把线段MN 分成三部分，且MB ：BC：CN=2：3：4，P 是MN 的中点。若PC=2cm，则MN= cm。
【答案】36
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
则，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】根据线段比例，设设，则，列出一元一次方程求解即可．本题考查两点间的距离，弄清楚线段之间的数量关系是关键．
3．如图，在线段AB 的延长线上取一点C，使BC=2AB，在BA 的延长线上取一点 D，使DA=AB，取AB的中点E。若DE=7.5cm，则DC的长为 cm。
【答案】20
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设，
为的中点，，
∴，
则
解得
∴
∴
∴，
故答案为：．
【分析】设，根据E为的中点可得，根据，求得x，再根据，求解即可.
4．
（1）【问题探究】
如图，点C，D 均在线段AB 上且点C 在点 D 左侧，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，则线段AC 的长为 cm。
（2）【方法迁移】
已知点C，D 均在线段AB 上且点C 在点D 左侧，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，则线段AC 的长为 cm(用含a，b 的代数式表示)。
（3）【学以致用】
已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数是n(n【答案】（1）1.5
（2）
（3）解：如图，
表示七年级某班人数，
表示七年级某班男生人数，
表示七年级某班女生人数，
表示参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的女生，
表示参加围棋课的女生，
设，，则，，
∵选择围棋课的人数有人，
∴，即，解得：，
∵，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）利用线段和差可得，，即可求解；
（）利用线段和差，即可求解；
（）根据题意画出线段图，设，，则，，根据题意，表示出m，n，即可求解；
二、专题对点练二 线段中的分类讨论及动点问题
5．一根绳子AB 的长为20cm，C，D 是绳子AB 上任意两点(点C在点D 的左侧)。将AC，BD分别沿C，D两点翻折(翻折处长度不计)，A，B两点分别落在CD 上的点E，F 处。
（1）当CD=12cm时，E，F 两点间的距离为 cm。
（2）当E，F 两点间的距离为2cm时，CD的长为 cm。
【答案】（1）4
（2）11或9
【知识点】两点之间线段最短；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
由于翻折，如图，则，
∴，
∴，两点间的距离为；
故答案为：；
（2）当时，如图，
由于翻折，则，
由图知，，即，
∴，
∴；
当时，如图，
则，即，
∴，
∴；
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解；
（2）分两种情况：及，画出图形，即可求解．
6．如图，已知A，B，C 是数轴上的三点，O是原点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12。
（1）写出数轴上点 A，B表示的数。
（2）动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP 的中点，点 N 在线段CQ 上，且 设运动时间为t(s)(t>0)。
①求数轴上点 M，N表示的数(用含 t 的式子表示)。
②当t 为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点
【答案】（1）解：∵点C 表示的数为6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴点 B 表示的数为2。
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴点A 表示的数为-10
（2）解：①由题意可知：AP=6t，CQ=3t。
∵M 为AP 的中点，
∴在数轴上点 M 表示的数是-10+3t。
∵点 N 在CQ上，
∴在数轴上点 N 表示的数是6-t。
②分两种情况讨论：
i.如解图①，当点 P 在点O 的左侧，点Q 在点O的右侧时，。
∵O为PQ 的中点，∴OP=OQ，
∴10-6t=6-3t，解得
ii.如解图②，当点 P 在点O 的右侧，点 Q 在点O 的左侧时，。
∵O为PQ 的中点，∴，
∴，解得 (此时AP=8<10，不合题意，舍去)。
综上所述，当 时，原点O恰为线段PQ 的中点
【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求出A、B表示的数；
（2）①根据距离=速度×时间可得AP=6t，CQ=3t，根据中点性质可得AM=3t，根据 可得CN=t，根据线段的和差关系即可得答案；②根据中点定义可得，分两种情况，当点 P 在点O 的左侧，点Q 在点O的右侧时或者当点 P 在点O 的右侧，点 Q 在点O 的左侧时，再根据数轴的性质解答即可.
三、进阶特训
7．如图，线段 CD 在线段AB 上，且CD=2。若线段 AB 的长度值是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段的长度之和可能是( )
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】以这四点中任意两点为端点的所有线段为：
设，则b为正整数
由图可知，
又
则能够整除3
观察四个选项可知，只有B选项符合要求
故答案为：B．
【分析】先写出以这四点中任意两点为端点的所有线段，从而可得出所求的所有线段之和，再根据线段的和差、整数性判断即可．
8．如图，点C 在线段AB 上，AC=2BC，点 D在点E 的左侧。已知AB=18，DE=8，线段DE 在线段AB 上移动。
（1）当 E 为BC 的中点时，求AD 的长。
（2）若点 F(异于点A，B，C)在线段AB 上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD 的长。
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
如图，
∵E为BC中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意，得AF=3AD，AE=AD+DE=AD+8，
分类讨论：
①如图，当点E在点F的左侧时，
∵，，
∴，，
∵，，
∴点F是BC的中点，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点E在点F的右侧，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上所述：AD的长为3或5；
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）由，，可求出，．再根据E为BC中点，即得出，从而可求出CD的长，进而可求出AD的长；
（2）分类讨论：当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题．
1 / 1【优+攻略】提分攻略本第6章专题提优十二线段中点、分点问题及有关计算
一、
1．已知线段AB=9，点C 在线段AB上，且 M 是AB 的中点，则MC的长为 ( )
A．3 B． C． D．
2．如图，B，C 两点把线段MN 分成三部分，且MB ：BC：CN=2：3：4，P 是MN 的中点。若PC=2cm，则MN= cm。
3．如图，在线段AB 的延长线上取一点C，使BC=2AB，在BA 的延长线上取一点 D，使DA=AB，取AB的中点E。若DE=7.5cm，则DC的长为 cm。
4．
（1）【问题探究】
如图，点C，D 均在线段AB 上且点C 在点 D 左侧，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，则线段AC 的长为 cm。
（2）【方法迁移】
已知点C，D 均在线段AB 上且点C 在点D 左侧，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，则线段AC 的长为 cm(用含a，b 的代数式表示)。
（3）【学以致用】
已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数是n(n二、专题对点练二 线段中的分类讨论及动点问题
5．一根绳子AB 的长为20cm，C，D 是绳子AB 上任意两点(点C在点D 的左侧)。将AC，BD分别沿C，D两点翻折(翻折处长度不计)，A，B两点分别落在CD 上的点E，F 处。
（1）当CD=12cm时，E，F 两点间的距离为 cm。
（2）当E，F 两点间的距离为2cm时，CD的长为 cm。
6．如图，已知A，B，C 是数轴上的三点，O是原点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12。
（1）写出数轴上点 A，B表示的数。
（2）动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP 的中点，点 N 在线段CQ 上，且 设运动时间为t(s)(t>0)。
①求数轴上点 M，N表示的数(用含 t 的式子表示)。
②当t 为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点
三、进阶特训
7．如图，线段 CD 在线段AB 上，且CD=2。若线段 AB 的长度值是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段的长度之和可能是( )
A．28 B．29 C．30 D．31
8．如图，点C 在线段AB 上，AC=2BC，点 D在点E 的左侧。已知AB=18，DE=8，线段DE 在线段AB 上移动。
（1）当 E 为BC 的中点时，求AD 的长。
（2）若点 F(异于点A，B，C)在线段AB 上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD 的长。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，
∵，M是的中点，，
∴， ，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据“，M是的中点”求出、的长度，然后两者相减即可求解．
2．【答案】36
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
则，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】根据线段比例，设设，则，列出一元一次方程求解即可．本题考查两点间的距离，弄清楚线段之间的数量关系是关键．
3．【答案】20
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设，
为的中点，，
∴，
则
解得
∴
∴
∴，
故答案为：．
【分析】设，根据E为的中点可得，根据，求得x，再根据，求解即可.
4．【答案】（1）1.5
（2）
（3）解：如图，
表示七年级某班人数，
表示七年级某班男生人数，
表示七年级某班女生人数，
表示参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的女生，
表示参加围棋课的女生，
设，，则，，
∵选择围棋课的人数有人，
∴，即，解得：，
∵，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）利用线段和差可得，，即可求解；
（）利用线段和差，即可求解；
（）根据题意画出线段图，设，，则，，根据题意，表示出m，n，即可求解；
5．【答案】（1）4
（2）11或9
【知识点】两点之间线段最短；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
由于翻折，如图，则，
∴，
∴，两点间的距离为；
故答案为：；
（2）当时，如图，
由于翻折，则，
由图知，，即，
∴，
∴；
当时，如图，
则，即，
∴，
∴；
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解；
（2）分两种情况：及，画出图形，即可求解．
6．【答案】（1）解：∵点C 表示的数为6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴点 B 表示的数为2。
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴点A 表示的数为-10
（2）解：①由题意可知：AP=6t，CQ=3t。
∵M 为AP 的中点，
∴在数轴上点 M 表示的数是-10+3t。
∵点 N 在CQ上，
∴在数轴上点 N 表示的数是6-t。
②分两种情况讨论：
i.如解图①，当点 P 在点O 的左侧，点Q 在点O的右侧时，。
∵O为PQ 的中点，∴OP=OQ，
∴10-6t=6-3t，解得
ii.如解图②，当点 P 在点O 的右侧，点 Q 在点O 的左侧时，。
∵O为PQ 的中点，∴，
∴，解得 (此时AP=8<10，不合题意，舍去)。
综上所述，当 时，原点O恰为线段PQ 的中点
【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求出A、B表示的数；
（2）①根据距离=速度×时间可得AP=6t，CQ=3t，根据中点性质可得AM=3t，根据 可得CN=t，根据线段的和差关系即可得答案；②根据中点定义可得，分两种情况，当点 P 在点O 的左侧，点Q 在点O的右侧时或者当点 P 在点O 的右侧，点 Q 在点O 的左侧时，再根据数轴的性质解答即可.
7．【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】以这四点中任意两点为端点的所有线段为：
设，则b为正整数
由图可知，
又
则能够整除3
观察四个选项可知，只有B选项符合要求
故答案为：B．
【分析】先写出以这四点中任意两点为端点的所有线段，从而可得出所求的所有线段之和，再根据线段的和差、整数性判断即可．
8．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
如图，
∵E为BC中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意，得AF=3AD，AE=AD+DE=AD+8，
分类讨论：
①如图，当点E在点F的左侧时，
∵，，
∴，，
∵，，
∴点F是BC的中点，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点E在点F的右侧，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上所述：AD的长为3或5；
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）由，，可求出，．再根据E为BC中点，即得出，从而可求出CD的长，进而可求出AD的长；
（2）分类讨论：当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题．
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