专题复习三 等边三角形与等腰直角三角形同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题复习三 等边三角形与等腰直角三角形
重点提示
等边三角形三边相等，三个角都是60°，可以分割成两个含30°角的直角三角形；等腰直角三角形三个角之比为1：1：2，三边之比为1：1： .这两种三角形是最为特殊的三角形.
1.等边三角形的面积为8 ，它的高线长为( ).
2.如图所示，将等腰直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=70°,则∠2的度数为( ).
A.95° B.105°
C.115° D.125°
3.如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm、高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°.若要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( ).
A.10cm B.20cm
C.30cm D.35cm
4.如图所示,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC 边的中点,过点 D作DE⊥DF,交AB 于点E,交 BC 于点F,若S四边形BEDF =9,则AB的长为( ).
A.3 B.6 C.9 D.18
5.如图所示，已知等边三角形ABC的边长为2，BD是AC边上的中线，E为BC 延长线上一点,且CD=CE,则 DE= .
6.如图所示,在△ABC中,AB=1.8,BC=3.9,∠B=60°,将△ABC绕点A 顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点 B的对应点D 恰好落在BC边上时，CD的长为 .
7.如图所示,在等边三角形ABC中,点 D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线 DE 翻折,使点B落在点 B'处,DB',EB'分别交AC于点 F,G.若∠ADF=70°,则∠BED= .
8.如图所示,在等边三角形ABC中,点 D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点 E作EF⊥DE,交 BC的延长线于点 F.
(1)求∠F 的度数.
(2)若CD=2,求 DF的长.
9.如图所示,AC=BC,AC⊥BC于点C,AB=AD=BD,CD=CE=DE.若 则 BE 的长为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图所示,已知等边三角形ABC外有一点P,点P落在∠BAC内,设点P到BC,CA,AB三边的距离分别为h ，h ，h ，且满足 则等边三角形 ABC 的面积为( ).
11.如图所示，在等边三角形 ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F作BC,AC,AB的垂线,得到等边三角形 RPQ,若 则AD的长为( ).
A B. C. D.2
12.如图所示,D为等边三角形ABC 内一点,且BD=AD,BP=BA,∠1=∠2,则∠P=
13.如图所示,等边三角形A C C 的周长为1,作C D ⊥A C 于点 D ,在 C C 的延长线上取点 C ,使 ,连结 D C ,以C C 为边作等边三角形 A C C ;作 C D ⊥A C 于点 D ,在 C C 的延长线上取点 C ，使 连结 D C ,以C C 为边作等边三角形 A C C ……且点 A ,A ,A ,…都在直线C C 同侧,如此下去,则△A C C ,△A C C ,△A C C ,…,△A C C 的周长和为 .(n≥2，且n为整数)
14.如图所示，D为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点，E为BC 边上一点，连结 ED 并延长，交CA 的延长线于点F，过点 D 作. EF交AC 于点G,交 BC的延长线于点H,给出下列结论:①DE=DG;②BE=CG;③DF=DH;④BH=CF.其中正确的是 .(填序号)
15.如图所示,△ABC 和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE D为AB 边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD.
(2)设AC和DE 交于点M,若AD=6,BD=8,求 DE 的长.
16.在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB 的延长线上,且AE=BD.
(1)当E是AB 的中点时,如图1所示,求证:EC=ED.
(2)当E不是AB 的中点时,如图2所示,过点 E 作EF∥BC,求证:△AEF 是等边三角形.
(3)在(2)的条件下，EC与ED 还相等吗 请说明理由.
17.已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB 上，P 为该平面内一动点,且满足 PC=2,则 PM的最小值为( ).
A.2
18.如图所示，已知等边三角形ABC的边长是2，以 BC边上的高AB 为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB C ；再以等边三角形AB C 的B C 边上的高AB 为边作等边三角形，得到第二个等边三角形 AB C ;再以等边三角形AB C 的B C 边上的高 AB 为边作等边三角形，得到第三个等边三角形 AB C ……记△B CB 的面积为 S ,△B C B 的面积为 S ,△B C B 的面积为 S ,如此下去,则
19.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE 按如图1所示的方式摆放(点 E 在AB上),连结BD,取BD的中点P,连结 PC,PE,则有PC=PE,PC⊥PE.
(1)将△ADE绕点A 逆时针旋转，使点E落在AC上，如图2所示，结论是否仍成立 请证明你的判断.(如果你经过反复探索，没有找到解决问题的办法，可通过连结AP，延长 PE 或延长DE，延长AD，延长 BC的途径来完成你的证明)
(2)如图3所示,当△ADE绕点A 逆时针旋转30°时,连结DC,若DC∥AB,求 的值.
专题复习三 等边三角形与等腰直角三角形
1. C 2. C 3. D 4. B 5. 6.2.1 7.65°
8.(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠F=30°.
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°.
∴△EDC是等边三角形.∴ED=CD=2.
∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4.
9. A 10. A 11. B
12.30° 14.①②③④
15.(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE = 90°,∴AC= BC,EC= DC,∠ACE=∠BCD.
在△ACE 和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD.
(2)∵△ACE≌△BCD,∴AE=BD=8,∠EAC=∠B.∵∠B+∠BAC=90°,∴∠EAC+∠BAC=90°,即∠EAB=90°.
在 Rt△EAD中,
16.(1)在等边三角形ABC中,AB=BC=AC,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.∵AE=EB=BD,
∠ABC=30°.∴∠EDB=∠ECB.∴EC=ED.
(2)∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°.∴△AEF为等边三角形.
(3)EC=ED.理由如下:∵∠AEF=∠ABC=60°,∴∠EFC=∠DBE=120°.
∵AB=AC,AE=AF,∴AB-AE=AC--AF,即BE=FC.∵△AEF为等边三角形,∴AE=EF.
∵AE=BD,∴BD=EF.
在△DBE 和△EFC中, ∴△DBE≌△EFC(SAS).∴ED=EC.
17. B
19.(1)结论仍然成立.证明如下：如答图1所示,连结AP,延长 PE交AD 于点M.
∵△ABC,△ADE均为等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠DAE=45°.∴∠DAB=90°.
∵P为BD 中点,∴PA=PB=PD.
在△APC和△BPC中,
∴△APC≌△BPC.
同理△APE≌△DPE,∴∠APE=∠DPE,∠PAE=∠PDE.
∴∠APE+∠PAE=∠DPE+∠PDE,即∠AEM =45°.∴∠CPE=90°.
∴△CPE为等腰直角三角形,即 PC=PE,PC⊥PE.
(2)如答图2所示,过点 D作 DF⊥AC,垂足为点 F.
∵DC∥AB,∴∠DCF=∠CAB=45°.∴DF=CF.
在 Rt△ADF中,∠DAF=30°,
设DF=k,则AD=2k,AF= k,