浙教版数学七上考点突破训练：有理数运算的实际应用
一、夯实基础
1．汽车每小时行驶40km，行驶100km要用 ( )
A．25 h B．2 h C．2 D．2.5 h
2．（2024七上·杭州期末）我国地域辽阔，南北温差大．某日哈尔滨的最高气温为，海口的最高气温为，则该日这两地的温差为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·温州期中）某工厂通过购进原材料加工成商品供给经销商来获取收益，今年十月的现金流水账目如下：，，，，，（注：“”表示收入，“”表示支出，单位：万元），则该工厂十月共盈利 万元．
4．（2024七上·湖州开学考）年月日是我国第二十三个全国“爱牙日”昆明乐知小学兴趣小组利用暑期进行社会实践活动，他们发现某品牌一只净含量为立方厘米的牙膏圆形出口的直径是毫米如果早晚各刷一次牙，每次挤出的牙膏长约毫米请你帮他们算一算这只牙膏大约能用 天取作为圆周率的近似值
5．一种商品有两种不同规格的包装，其质量和价格如图所示．请问哪一种包装每毫升的价格比较低？
6．下表记录的是黑河本星期内的水位变化情况(正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降)，上个星期日的水位已达到15米.
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化(米) +0.2 +0.8 -0.4 +0.2 +0.3 -0.5 -0.2
（1）本星期最高水位是 米，最低水位是 米.
（2）与上个星期日相比，本星期日河流的水位是 (填“上升了”或“下降了”).
（3）由于有大降雨天气，工作人员预测水位在本星期日的基础上将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到16.5米时，就要开闸泄洪，请你计算一下，再经过多少小时工作人员就需要开闸泄洪
7．出租车司机小李某天上午的营运全是在一条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程(单位：km)如下：
-6.5，+5，-7，+10，+6.5，-9.
已知出租车计费方式如下表所示：
起步价(3 km以内) 超过3km部分每千米费用(不足 1 km以1 km计) 等候费(不足 4min以4 min计)
11元 2.5元 每 4分钟2.5元
请根据所给条件回答下列问题：
（1）若记出发的位置为点 A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置
（2）若出租车耗油量为0.1 L/ km，小李接送这六位乘客后，出租车共耗油多少升
（3）小李接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为32 min，问第三位乘客需支付车费多少元
二、能力提升
8．（2024七上·浙江期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在到之间的产品都属于合格产品，现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品不合格的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七上·临平期中）为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）。已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（ ）
类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高
B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小
D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰
10． 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，若它是奇数，则对它乘3再加1；若它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能得到1.这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”.虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5×3+1→16÷2→8÷2→4÷2→2÷2→1.若正整数 m 经过6 步运算可得到1，则m的值为 .
11．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ．
12．（2024七上·浙江期中）如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯示意图，一个纸杯高为，6个纸杯高为．
（1）如图叠放纸杯，每多一个杯子高度增加多少厘米？
（2）当有个杯子按如图方式叠放在一起时，高度为厘米，求与之间的数量关系．
（3）若有20个杯子按如图方式叠放，高度是多少厘米？
13．（2024七上·温州期中）某仓库在一周内的原料进出记录如下表所示(记运进为正，运出为负，单位：吨)：
时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
进出数量 5 -2 -1.5 3 -4 2 -2
进出次数 2 1 3 2 1 2 2
（1）该周仓库的原料比原来增加或减少了多少吨
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；
方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料6元；
从节约运费的角度考虑，请你通过计算说明选用哪一种方案比较合适
三、拓展创新
14．（2024七上·浙江期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．9
15．（2024七上·绍兴竞赛）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①，
②，
③若，则，
④若，则或，
其中结论正确的序号是
16．（2024七上·瓯海期中）随着某地区公交票制票价调整，该地区的公交集团更换了新版公交站牌（每相邻两个站牌距离），乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用．新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上、下车站站名所对应数字相减再取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价．乘车路程计价区段与对应票价（部分）如下：
乘车路程计价区段 …
对应票价/元 4 5 6 …
另外，一卡通刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行折优惠．一名学生上车时站名上对应的数字是，下车时站名上对应的是数字是5，那么这名学生用学生卡刷卡时的乘车费用是 元．
17．（2024七上·西湖期中）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ．
账号：Tao Li Can Ting
密码
18．（2024七上·温州期中）跟随小希、小望，一起探究“分差”，完成问题，
【定义】对于确定顺序的三个互不相等的数： a， b， c， 计算 将这三个数的最小值称为 a， b， c 的 "分差".
【理解定义】例如， 对于 " "， 确定顺序即 ，所以 ，所以 " " 的 "分差" 为 -4 .
【知识探究】 小希：如果将“1，-2，3”三个数均乘以2得“2，-4，6”，那么其分差为原分差乘以 2，结果为-8. 问题①：通过计算判断小希的说法是否正确 小希：我猜想“a，b，c”的分差与“-a，-b，-c”的分差一定互为相反数! 小望：不能这么轻易下结论，还要考虑所乘因数的正负性. 问题②：结合小望的考虑，请你举出一组数(绝对值不大于5的整数)加以计算说明小希 的猜想是否正确，
【得出结论】 小希和小望通过讨论，最后得到一般性结论：当m为 ▲ 时，“am，bm，cm”的分差 为“a，b，c”的分差乘以m.(在横线处直接写出答案)
19．（2024七上·鹿城期中）根据以下素材，探索完成任务．
实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？
素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的．
素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球、、，左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距．
素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动．
问题解决
任务1 根据素材2，若球在数轴上表示坐标原点，球表示的数为40，则球表示的数为_______，右挡板表示的数为_______．
任务2 碰撞实验中，若球以每秒的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出球第一次和第二次撞向右挡板的时间．
任务3 在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为时，球在数轴上表示的数是_______．（直接写出答案）
20．（2024七上·义乌月考）定义一种对整数的""运算：，以表示对整数进行次""运算.例如，表示对1进行2次""运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是3.据此回答下列问题：
（1）求的运算结果.
（2）若为奇数，且的运算结果为6，求的值.
（3）若为奇数，且的运算结果为4，直接写出的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：∵汽车每小时行驶40km，
∴行驶100km的时间=100÷40=2.5h，
故答案为：D.
【分析】利用“时间=路程÷速度”列出算式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵一天的最低气温为，最高气温为，
∴该地这天的温差为：，
故答案为：A．
【分析】利用有理数的减法解题即可．
3．【答案】60
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，（万元），
∴该工厂十月共盈利60万元．
故答案为：60．
【分析】本题考查有理数的加减混合运算的实际应用.根据题意可列出算式：，利用有理数的加减法进行计算可求出该工厂十月共盈利．
4．【答案】50
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：6 毫米 =0.6厘米，20 毫米 =2厘米.
54÷（3×0.32×2×2）=50（ 天 ）.
故答案为：50.
【分析】先统一单位为厘米，再根据“牙膏的总体积除以每天用去的牙膏”列式计算.
5．【答案】解：15÷250=0.06（元），25÷500=0.05（元），
∵0.06＞0.05，
∴第二种包装每毫升的价格比较低．
【知识点】有理数除法的实际应用
【解析】【分析】通过单价=总价÷容积可得单价，再比较大小，即可得出答案．
6．【答案】（1）16.1；15.2
（2）上升了
（3）解： (小时)，
答：再经过22个小时工作人员就需要开闸泄洪.
【知识点】有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：(1) 周一：
周二：
周三：
周四：
周五：
周六：
周日：
周五水位最高是16.1m，周一水位最低是15.2m.
故答案为： 16.1； 15.2；
和上周末相比水位上升了0.4m，
故答案为：上升了；
【分析】(1)根据有理数的加法计算，然后比较即可解题；
(2)根据有理数的减法计算即可解题；
(3)根据水位差除以上升的速度解题即可.
7．【答案】（1）解：∵
∵规定向北为正，向南为负，
∴小李在点A往南1km处.
（2）解：
∵出租车耗油量为0.1 L/ km，
∴出租车共耗油：.
（3）解： 第三位乘客需支付车费为：.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减计算法则，结合规定向北为正，向南为负，进而即可求解；
（2）根据题意计算出绝对值之和，然后乘以出租车的耗油量，进而即可求解；
（3）根据题目中给出的分段计算法则，计算出相应费用总后求其之和即可.
8．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，合格范围为：到，
∴不符合的为 ，
故答案为：D．
【分析】先得出合格产品尺寸范围为到，再逐项判断即可．
9．【答案】D
【知识点】有理数的加法实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A、1.68+3.11-1.52-2.05-1.01-0.20-0.35=-0.34，最终水位比初始低，A错误；
B、-0.18-0.28+0.56+0.12-1.10+1.52-0.85=-0.21，最终水位比初始低，B错误；
C、由表格数据可知，乙地的变化比甲地小，C错误；
D、由表可知，乙地水位最高值在第4天或者第6天，第4天水位：-0.18-0.28+0.56+0.12=0.22，第6天水位：-0.18-0.28+0.56+0.12-1.10+1.52=0.64，故第6天达到最高峰，D正确；
故答案为：D.
【分析】将每天水位相加，根据第7天的水位正负即可判断最终水位与初始水位的高低，两地的水位变化可以根据表格直观看出，水位最高峰对应的一天即相加数值最大的一天.
10．【答案】10或64
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8，
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32由第1次计算后得5，可得原数为10.
由第1次计算后32，可得原数为64，
故答案为：10或64.
【分析】利用倒推法逐步进行计算即可求解.
11．【答案】（1）鲁班锁
（2）1，2，3
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵小云参与了所有活动．
∴小云第一个挑战必定成功，
∵小云只挑战成功一个，
∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，
∴挑战成功的活动名称为鲁班锁；
故答案为：鲁班锁；
（2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，
∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，
若第一次挑战华容道，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战魔方，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战鲁班锁，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3．
故答案为：1，2，3
【分析】（1）根据小云参与了所有活动得到小云第一个挑战必定成功，再根据只挑战成功一个，得到小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，进而即可求解；
（2）先根据题意得到小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，进而分类讨论即可求解。
12．【答案】（1）解：
，
∴每多一个杯子高度增加
（2）解：由题意得，
（3）解：当时，，∴有20个杯子按如图方式叠放，高度是
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）由题可得：增加5个杯子高度增加了，据此求解即可；
（2）根据（1）中所求的数值列式即可；
（3）把代入（2）中等式即可解题．
（1）解：
，
∴每多一个杯子高度增加；
（2）解：由题意得，
；
（3）解：当时，，
∴有20个杯子按如图方式叠放，高度是．
13．【答案】（1）解：
（1）分步作法： 周一：5×2=10（吨）（运进） 周二： 2×1= 2（吨）（运出） 周三： 1.5×3= 4.5（吨）（运出） 周四：3×2=6（吨）（运进） 周五： 4×1= 4（吨）（运出） 周六：2×2=4（吨）（运进） 周日： 2×2= 4（吨）（运出） 10 2 4.5+6 4+4 4=5.5（吨） 由于结果为正数，所以这周仓库的原料比 原来增加了5.5吨. 综合作法： （5×2+3×2+2×2）-（2×1+1.5×3+4× 1+2×2）=5.5（吨） 所以这周仓库的原料比原来增加了5.5吨.
（2）解：
方案一： 运进费用：(10+6+4)×5=100（元） 运出费用：( 2 4.5 4 4)×8=116（元） 总费用：100+116=216（元） 方案二： 总运费：(10+2+4.5+6+4+4+4)×6=207 （元）
∵207＜217
因此，从节约运费的角度考虑，选用方案二更合适.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据图表信息计算，结果为正数即为增加，即可得结果；
（2）根据图表信息可得两个方案的费用，比较较小的即为合适方案.
14．【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：由图2可得，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，
∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于
∴．
故答案为：B．
【分析】观察图2得到“九宫格”每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，列式求解即可．
15．【答案】①④
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解： ①，正确；
②明显，错误；
③，当 时，a=-b，原式=-2a2≠2ab，错误；
④，即a=0或b=1，正确.
故答案为：①④.
【分析】本题根据定义运算公式 ，对四个选项分别进行计算，然后用自己计算出来的结果和四个选项的结果进行对比，发现只有①④是正确的.
16．【答案】
【知识点】有理数的乘除混合运算；绝对值的概念与意义；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：这名学生的乘车路程为，
由表格可知，这名学生的乘车费用为元，
则这名学生用学生卡刷卡时的乘车费用是元，
故答案为：．
【分析】先根据题意求出这名学生的乘车路程，再根据表格得出对应的票价，结合优惠这款，即可求解.
17．【答案】244872
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
由前三个式子得到的规律计算该式得：
，
故答案为．
【分析】利用前面三个等式得到规律，然后利用规律得到“密码”即可．
18．【答案】解：问题①
对于 " "， 确定顺序即 ，
所以 ，
所以 " " 的 "分差" 为一 8 ， 则小希的说法正确.
问题②
解法一： 可以直接引用 " " 的分差 -8 ， 再求 " " 的分差
对于 " " ， ，
所以 " " 的 "分差" 为 与 -8 不是相反数， 所以小希的猜想错误
问题③
写正数或大于 0
填对部分， 比如 ， 正整数等（属于正数范围内的形式）
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】问题①根据 "分差" 的定义分别代入a=2，b=-4，c=6计算 "分差"，可得结果；
问题②由问题①再代入a=-2，b=4，c=-6与问题①中结果比较即可得结果；
问题③由问题①和问题②可得m为正数，填写即可.
19．【答案】任务1：，70 ；
任务2∶根据题意得∶（秒）；
（秒）．
答∶B球第一次撞向右挡板E的时间为7秒，B球第二次撞向右挡板E的时间为43秒；
任务3：．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：任务1∶根据题意得∶，，
若A球在数轴上表示坐标原点，则C球在数轴的负半轴，右挡板E在数轴的正半轴，
∴C球表示的数为，右挡板E表示的数为．
故答案为∶，70；
任务3∶，
∵左挡板D在数轴的负半轴，
∴左挡板D表示的数为．
根据题意得∶C球的运动范围为；A球的运动范围为；B球的运动范围为，，
∴当3个钢球运动的路程和为时，C球在运动此时离左挡板D的距离为，
∴此时C球在数轴上表示的数是．
故答案为∶．
【分析】任务1∶根据题意，可求出，的值，再根据球在数轴的负半轴，B球在数轴的正半轴，即可得出C球及右挡板B表示的数；
任务2∶根据题意，可求出B球第一次及第二次撞向右挡板的路程和，再利用时间路程速度，即可求出结论；
任务3∶求出的值，结合左挡板D在数轴的负半轴，可得出左挡板D表示的数为，分析三个球的运动范围，可找出当3个钢球运动的路程和为时，C球在运动，此时离左挡板D的距离为，结合左挡板D表示的数为，即可求出结论.
20．【答案】（1）解：，∴
（2）解：∵n是奇数，∴n+5就是偶数；
，解得n=7.
∴n的值是7
（3）解：∵n是奇数，∴第一次运算n+5就是偶数；第二次运算就是；
当运算结果为奇数时，第三次运算即为，解得n=-7；
当运算结果为偶数时，第三次运算即为，解得n=11；
∴n=-7或11
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）题中，本题根据定义“表示对1进行2次" ，因此 就是对4进行1次运算，因为4是偶数，所以直接代入中直接计算1次即可；
（2）（3）题需要先分析是几次运算，然后分析奇偶结果讨论计算即可.
1 / 1浙教版数学七上考点突破训练：有理数运算的实际应用
一、夯实基础
1．汽车每小时行驶40km，行驶100km要用 ( )
A．25 h B．2 h C．2 D．2.5 h
【答案】D
【知识点】有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：∵汽车每小时行驶40km，
∴行驶100km的时间=100÷40=2.5h，
故答案为：D.
【分析】利用“时间=路程÷速度”列出算式求解即可.
2．（2024七上·杭州期末）我国地域辽阔，南北温差大．某日哈尔滨的最高气温为，海口的最高气温为，则该日这两地的温差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵一天的最低气温为，最高气温为，
∴该地这天的温差为：，
故答案为：A．
【分析】利用有理数的减法解题即可．
3．（2024七上·温州期中）某工厂通过购进原材料加工成商品供给经销商来获取收益，今年十月的现金流水账目如下：，，，，，（注：“”表示收入，“”表示支出，单位：万元），则该工厂十月共盈利 万元．
【答案】60
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，（万元），
∴该工厂十月共盈利60万元．
故答案为：60．
【分析】本题考查有理数的加减混合运算的实际应用.根据题意可列出算式：，利用有理数的加减法进行计算可求出该工厂十月共盈利．
4．（2024七上·湖州开学考）年月日是我国第二十三个全国“爱牙日”昆明乐知小学兴趣小组利用暑期进行社会实践活动，他们发现某品牌一只净含量为立方厘米的牙膏圆形出口的直径是毫米如果早晚各刷一次牙，每次挤出的牙膏长约毫米请你帮他们算一算这只牙膏大约能用 天取作为圆周率的近似值
【答案】50
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：6 毫米 =0.6厘米，20 毫米 =2厘米.
54÷（3×0.32×2×2）=50（ 天 ）.
故答案为：50.
【分析】先统一单位为厘米，再根据“牙膏的总体积除以每天用去的牙膏”列式计算.
5．一种商品有两种不同规格的包装，其质量和价格如图所示．请问哪一种包装每毫升的价格比较低？
【答案】解：15÷250=0.06（元），25÷500=0.05（元），
∵0.06＞0.05，
∴第二种包装每毫升的价格比较低．
【知识点】有理数除法的实际应用
【解析】【分析】通过单价=总价÷容积可得单价，再比较大小，即可得出答案．
6．下表记录的是黑河本星期内的水位变化情况(正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降)，上个星期日的水位已达到15米.
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化(米) +0.2 +0.8 -0.4 +0.2 +0.3 -0.5 -0.2
（1）本星期最高水位是 米，最低水位是 米.
（2）与上个星期日相比，本星期日河流的水位是 (填“上升了”或“下降了”).
（3）由于有大降雨天气，工作人员预测水位在本星期日的基础上将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到16.5米时，就要开闸泄洪，请你计算一下，再经过多少小时工作人员就需要开闸泄洪
【答案】（1）16.1；15.2
（2）上升了
（3）解： (小时)，
答：再经过22个小时工作人员就需要开闸泄洪.
【知识点】有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：(1) 周一：
周二：
周三：
周四：
周五：
周六：
周日：
周五水位最高是16.1m，周一水位最低是15.2m.
故答案为： 16.1； 15.2；
和上周末相比水位上升了0.4m，
故答案为：上升了；
【分析】(1)根据有理数的加法计算，然后比较即可解题；
(2)根据有理数的减法计算即可解题；
(3)根据水位差除以上升的速度解题即可.
7．出租车司机小李某天上午的营运全是在一条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程(单位：km)如下：
-6.5，+5，-7，+10，+6.5，-9.
已知出租车计费方式如下表所示：
起步价(3 km以内) 超过3km部分每千米费用(不足 1 km以1 km计) 等候费(不足 4min以4 min计)
11元 2.5元 每 4分钟2.5元
请根据所给条件回答下列问题：
（1）若记出发的位置为点 A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置
（2）若出租车耗油量为0.1 L/ km，小李接送这六位乘客后，出租车共耗油多少升
（3）小李接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为32 min，问第三位乘客需支付车费多少元
【答案】（1）解：∵
∵规定向北为正，向南为负，
∴小李在点A往南1km处.
（2）解：
∵出租车耗油量为0.1 L/ km，
∴出租车共耗油：.
（3）解： 第三位乘客需支付车费为：.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减计算法则，结合规定向北为正，向南为负，进而即可求解；
（2）根据题意计算出绝对值之和，然后乘以出租车的耗油量，进而即可求解；
（3）根据题目中给出的分段计算法则，计算出相应费用总后求其之和即可.
二、能力提升
8．（2024七上·浙江期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在到之间的产品都属于合格产品，现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品不合格的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，合格范围为：到，
∴不符合的为 ，
故答案为：D．
【分析】先得出合格产品尺寸范围为到，再逐项判断即可．
9．（2024七上·临平期中）为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）。已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（ ）
类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高
B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小
D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰
【答案】D
【知识点】有理数的加法实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A、1.68+3.11-1.52-2.05-1.01-0.20-0.35=-0.34，最终水位比初始低，A错误；
B、-0.18-0.28+0.56+0.12-1.10+1.52-0.85=-0.21，最终水位比初始低，B错误；
C、由表格数据可知，乙地的变化比甲地小，C错误；
D、由表可知，乙地水位最高值在第4天或者第6天，第4天水位：-0.18-0.28+0.56+0.12=0.22，第6天水位：-0.18-0.28+0.56+0.12-1.10+1.52=0.64，故第6天达到最高峰，D正确；
故答案为：D.
【分析】将每天水位相加，根据第7天的水位正负即可判断最终水位与初始水位的高低，两地的水位变化可以根据表格直观看出，水位最高峰对应的一天即相加数值最大的一天.
10． 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，若它是奇数，则对它乘3再加1；若它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能得到1.这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”.虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5×3+1→16÷2→8÷2→4÷2→2÷2→1.若正整数 m 经过6 步运算可得到1，则m的值为 .
【答案】10或64
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8，
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32由第1次计算后得5，可得原数为10.
由第1次计算后32，可得原数为64，
故答案为：10或64.
【分析】利用倒推法逐步进行计算即可求解.
11．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ．
【答案】（1）鲁班锁
（2）1，2，3
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵小云参与了所有活动．
∴小云第一个挑战必定成功，
∵小云只挑战成功一个，
∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，
∴挑战成功的活动名称为鲁班锁；
故答案为：鲁班锁；
（2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，
∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，
若第一次挑战华容道，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战魔方，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战鲁班锁，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3．
故答案为：1，2，3
【分析】（1）根据小云参与了所有活动得到小云第一个挑战必定成功，再根据只挑战成功一个，得到小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，进而即可求解；
（2）先根据题意得到小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，进而分类讨论即可求解。
12．（2024七上·浙江期中）如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯示意图，一个纸杯高为，6个纸杯高为．
（1）如图叠放纸杯，每多一个杯子高度增加多少厘米？
（2）当有个杯子按如图方式叠放在一起时，高度为厘米，求与之间的数量关系．
（3）若有20个杯子按如图方式叠放，高度是多少厘米？
【答案】（1）解：
，
∴每多一个杯子高度增加
（2）解：由题意得，
（3）解：当时，，∴有20个杯子按如图方式叠放，高度是
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）由题可得：增加5个杯子高度增加了，据此求解即可；
（2）根据（1）中所求的数值列式即可；
（3）把代入（2）中等式即可解题．
（1）解：
，
∴每多一个杯子高度增加；
（2）解：由题意得，
；
（3）解：当时，，
∴有20个杯子按如图方式叠放，高度是．
13．（2024七上·温州期中）某仓库在一周内的原料进出记录如下表所示(记运进为正，运出为负，单位：吨)：
时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
进出数量 5 -2 -1.5 3 -4 2 -2
进出次数 2 1 3 2 1 2 2
（1）该周仓库的原料比原来增加或减少了多少吨
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；
方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料6元；
从节约运费的角度考虑，请你通过计算说明选用哪一种方案比较合适
【答案】（1）解：
（1）分步作法： 周一：5×2=10（吨）（运进） 周二： 2×1= 2（吨）（运出） 周三： 1.5×3= 4.5（吨）（运出） 周四：3×2=6（吨）（运进） 周五： 4×1= 4（吨）（运出） 周六：2×2=4（吨）（运进） 周日： 2×2= 4（吨）（运出） 10 2 4.5+6 4+4 4=5.5（吨） 由于结果为正数，所以这周仓库的原料比 原来增加了5.5吨. 综合作法： （5×2+3×2+2×2）-（2×1+1.5×3+4× 1+2×2）=5.5（吨） 所以这周仓库的原料比原来增加了5.5吨.
（2）解：
方案一： 运进费用：(10+6+4)×5=100（元） 运出费用：( 2 4.5 4 4)×8=116（元） 总费用：100+116=216（元） 方案二： 总运费：(10+2+4.5+6+4+4+4)×6=207 （元）
∵207＜217
因此，从节约运费的角度考虑，选用方案二更合适.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据图表信息计算，结果为正数即为增加，即可得结果；
（2）根据图表信息可得两个方案的费用，比较较小的即为合适方案.
三、拓展创新
14．（2024七上·浙江期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：由图2可得，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，
∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于
∴．
故答案为：B．
【分析】观察图2得到“九宫格”每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，列式求解即可．
15．（2024七上·绍兴竞赛）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①，
②，
③若，则，
④若，则或，
其中结论正确的序号是
【答案】①④
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解： ①，正确；
②明显，错误；
③，当 时，a=-b，原式=-2a2≠2ab，错误；
④，即a=0或b=1，正确.
故答案为：①④.
【分析】本题根据定义运算公式 ，对四个选项分别进行计算，然后用自己计算出来的结果和四个选项的结果进行对比，发现只有①④是正确的.
16．（2024七上·瓯海期中）随着某地区公交票制票价调整，该地区的公交集团更换了新版公交站牌（每相邻两个站牌距离），乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用．新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上、下车站站名所对应数字相减再取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价．乘车路程计价区段与对应票价（部分）如下：
乘车路程计价区段 …
对应票价/元 4 5 6 …
另外，一卡通刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行折优惠．一名学生上车时站名上对应的数字是，下车时站名上对应的是数字是5，那么这名学生用学生卡刷卡时的乘车费用是 元．
【答案】
【知识点】有理数的乘除混合运算；绝对值的概念与意义；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：这名学生的乘车路程为，
由表格可知，这名学生的乘车费用为元，
则这名学生用学生卡刷卡时的乘车费用是元，
故答案为：．
【分析】先根据题意求出这名学生的乘车路程，再根据表格得出对应的票价，结合优惠这款，即可求解.
17．（2024七上·西湖期中）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ．
账号：Tao Li Can Ting
密码
【答案】244872
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
由前三个式子得到的规律计算该式得：
，
故答案为．
【分析】利用前面三个等式得到规律，然后利用规律得到“密码”即可．
18．（2024七上·温州期中）跟随小希、小望，一起探究“分差”，完成问题，
【定义】对于确定顺序的三个互不相等的数： a， b， c， 计算 将这三个数的最小值称为 a， b， c 的 "分差".
【理解定义】例如， 对于 " "， 确定顺序即 ，所以 ，所以 " " 的 "分差" 为 -4 .
【知识探究】 小希：如果将“1，-2，3”三个数均乘以2得“2，-4，6”，那么其分差为原分差乘以 2，结果为-8. 问题①：通过计算判断小希的说法是否正确 小希：我猜想“a，b，c”的分差与“-a，-b，-c”的分差一定互为相反数! 小望：不能这么轻易下结论，还要考虑所乘因数的正负性. 问题②：结合小望的考虑，请你举出一组数(绝对值不大于5的整数)加以计算说明小希 的猜想是否正确，
【得出结论】 小希和小望通过讨论，最后得到一般性结论：当m为 ▲ 时，“am，bm，cm”的分差 为“a，b，c”的分差乘以m.(在横线处直接写出答案)
【答案】解：问题①
对于 " "， 确定顺序即 ，
所以 ，
所以 " " 的 "分差" 为一 8 ， 则小希的说法正确.
问题②
解法一： 可以直接引用 " " 的分差 -8 ， 再求 " " 的分差
对于 " " ， ，
所以 " " 的 "分差" 为 与 -8 不是相反数， 所以小希的猜想错误
问题③
写正数或大于 0
填对部分， 比如 ， 正整数等（属于正数范围内的形式）
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】问题①根据 "分差" 的定义分别代入a=2，b=-4，c=6计算 "分差"，可得结果；
问题②由问题①再代入a=-2，b=4，c=-6与问题①中结果比较即可得结果；
问题③由问题①和问题②可得m为正数，填写即可.
19．（2024七上·鹿城期中）根据以下素材，探索完成任务．
实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？
素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的．
素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球、、，左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距．
素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动．
问题解决
任务1 根据素材2，若球在数轴上表示坐标原点，球表示的数为40，则球表示的数为_______，右挡板表示的数为_______．
任务2 碰撞实验中，若球以每秒的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出球第一次和第二次撞向右挡板的时间．
任务3 在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为时，球在数轴上表示的数是_______．（直接写出答案）
【答案】任务1：，70 ；
任务2∶根据题意得∶（秒）；
（秒）．
答∶B球第一次撞向右挡板E的时间为7秒，B球第二次撞向右挡板E的时间为43秒；
任务3：．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：任务1∶根据题意得∶，，
若A球在数轴上表示坐标原点，则C球在数轴的负半轴，右挡板E在数轴的正半轴，
∴C球表示的数为，右挡板E表示的数为．
故答案为∶，70；
任务3∶，
∵左挡板D在数轴的负半轴，
∴左挡板D表示的数为．
根据题意得∶C球的运动范围为；A球的运动范围为；B球的运动范围为，，
∴当3个钢球运动的路程和为时，C球在运动此时离左挡板D的距离为，
∴此时C球在数轴上表示的数是．
故答案为∶．
【分析】任务1∶根据题意，可求出，的值，再根据球在数轴的负半轴，B球在数轴的正半轴，即可得出C球及右挡板B表示的数；
任务2∶根据题意，可求出B球第一次及第二次撞向右挡板的路程和，再利用时间路程速度，即可求出结论；
任务3∶求出的值，结合左挡板D在数轴的负半轴，可得出左挡板D表示的数为，分析三个球的运动范围，可找出当3个钢球运动的路程和为时，C球在运动，此时离左挡板D的距离为，结合左挡板D表示的数为，即可求出结论.
20．（2024七上·义乌月考）定义一种对整数的""运算：，以表示对整数进行次""运算.例如，表示对1进行2次""运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是3.据此回答下列问题：
（1）求的运算结果.
（2）若为奇数，且的运算结果为6，求的值.
（3）若为奇数，且的运算结果为4，直接写出的值.
【答案】（1）解：，∴
（2）解：∵n是奇数，∴n+5就是偶数；
，解得n=7.
∴n的值是7
（3）解：∵n是奇数，∴第一次运算n+5就是偶数；第二次运算就是；
当运算结果为奇数时，第三次运算即为，解得n=-7；
当运算结果为偶数时，第三次运算即为，解得n=11；
∴n=-7或11
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）题中，本题根据定义“表示对1进行2次" ，因此 就是对4进行1次运算，因为4是偶数，所以直接代入中直接计算1次即可；
（2）（3）题需要先分析是几次运算，然后分析奇偶结果讨论计算即可.
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