第5章 一元一次方程单元测试（基础卷）（含解析）

第5章 一元一次方程单元测试（基础卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（24-25七年级上·四川广安·阶段练习）下列式子不是方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）运用等式基本性质进行变形，不正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．（2024七年级上·全国·专题练习）若与是同类项，则代数式的值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．5
4．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）把公式变形为用U，S，R表示V．下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）方程，可以化成（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七年级上·云南·专题练习）对于任意四个有理数，，，，定义新运算：．已知，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（23-24七年级下·山西晋城·期中）若，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．（2024七年级上·河南·专题练习）小明在做拍照打印出来的作业时，发现方程中的一个常数被黑点遮住了，他翻开书后的答案，发现方程的解是，那么这个被黑点遮住的常数是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）小聪说：“我的体重是36千克”．根据下面哪位同学的描述，方程可以计算出他的体重．（ ）
A．小明说：“小聪的体重正好是我体重的”
B．小智说：“我的体重比小聪的体重轻”
C．小慧说：“小聪比我重”
D．小真说：“我的体重比小聪的重”
10．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）根据如图的程序计算，从“输入整数x”到“判断结果是否”为一次运行．若最终输出的结果为19，则说明运行的次数最多是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知，用含x的式子表示 ．
12．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ．
13．（2024七年级上·云南·专题练习）若关于的方程有正整数解，则整数的值为 ．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）式子的值比的值大1，则x的值是 ．
15．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x的方程与方程的解相同，则方程的解为 ．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是 ．（请填写序号）
17．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是
18．（2024七年级上·云南·专题练习）跨学科试题·语文众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多12首，总字数却反而少了个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有首，根据题意，可列方程为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程：
(1)； (2)．
20．（本小题满分8分）（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值．
21．（本小题满分10分）（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，解答下列问题：
(1)如果方程的解是时，求字母a的值．
(2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值．
(3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值．
22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/本）
售价（元/本） 20 13
(1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？
(2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？
23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·山西晋中·期末）阅读与探究
我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rational number”，“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，但其实“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，所以“rational number”这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数4可以写成，分数就是整数11和整数3的比． 思考：0.8是不是有理数呢？ 小亮的思路如下： 设，则…． 所以…． 所以……． 化简，得． 解得． 所以 ……
初步探究：
（1）根据上述推理过程，________有理数．（填“是”或“不是”）
类比迁移：
（2）请根据材料中的方法，判断是否为有理数，并说明理由．
24．（本小题满分12分）（23-24七年级上·广东广州·期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为．如：点表示的数为2，点表示的数为3，则．
问题提出：
（1）填空：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，、两点之间的距离______；
拓展探究：
（2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒（），
①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______；
②求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
③求当为何值时，、之间的距离为5．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D A C C D C B
1．A
【分析】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．方程就是含有未知数的等式，依据定义即可判断．
【详解】解：A、不是方程，故本选项符合题意；
B、符合方程的定义，故本选项不符合题意；
C、符合方程的定义，故本选项符合题意；
D、符合方程的定义，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．根据等式的基本性质判断各选项即可得到答案．
【详解】解：A.根据等式性质1，，两边都加，即可得到，故本选项正确，不符合题意；
B.根据等式性质2，如果，两边都乘以，那么，原式成立，故本选项正确，不符合题意；
C. 根据等式性质2，，两边都除以，即可得到，故本选项正确，不符合题意；
D. 如果，那么或，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了已知同类项求指数中字母的值或代数式的值，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握同类项的定义是解题的关键：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．并建立方程来解决问题，注意字母的顺序可能有变化．
根据同类项的定义可得一元一次方程，解方程即可求出与的值，然后将其代入代数式求值即可．
【详解】解：与是同类项，
，，
解得：，，
，
故选：．
4．D
【分析】本题考查解一元一次方程，将作为未知数，解方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
故选D．
5．A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．将分子分母同时乘以10即可得到答案．
【详解】解：分子分母同时乘以10得：即．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了定义新运算和解一元一次方程．理解新运算的定义是解题的关键．根据新运算的定义：，将变换成求解即可．
【详解】解：，，
，
化简得：，
移项、合并同类项，得，
解得：．
故选C．
7．C
【分析】本题考查了含有绝对值的方程．利用绝对值的意义可得，解出的值即可．
【详解】解：，
∴，
当时，解得，
当时，解得，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，设被黑点遮住的常数为，将代入，得到关于的方程求解即可．
【详解】设被黑点遮住的常数为，将代入中，得
解得：
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找出相等关系是解题的关键，根据各选项列出方程比较即可得解．
【详解】解∶、设小明的体重为千克，根据小聪的体重正好是我体重的．可列方程，解答求出小明的体重，故本选项不符合题意；
、设小智的体重为千克，根据我的体重比小聪的体重轻列方程得，故本选项不符合题意；
、设小慧的体重为千克，根据小聪比我重可列方程解答求出小慧的体重故本选项不符合题意；
、设小真的体重为千克，根据我的体重比小聪的重可列方程，故本选项不符合题意．
故选∶C．
10．B
【分析】本题主要考查了程序图和一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给程序图的运算顺序．根据题意求出当最终输出的结果为19时，输入的x值为7，再求出计算结果为7时，输入的x值为3，然后求出计算结果为3时，输入的x值，最后得出结果即可．
【详解】解：∵最终输出的结果为19，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
，
解得：，
∵输入的数为整数，
∴最多运行的次数为2次，
故选：B．
11．
【分析】此题主要考查等式的性质变形， 根据等式的性质进行变形即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．2024
【分析】把代入方程，得到，整体思想，变形求代数式的值即可．
本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解，正确求代数式的值是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴,
解得，
∴，
∴
故答案为：．
13．1或3
【分析】本题考查的是一元一次方程的正整数解，先解方程可得，再根据正整数解的含义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
当时，
∴．
∵原方程有正整数解，且为整数，
∴或3．
故答案为：1或3
14．0
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念．根据文字描述写出一元一次方程，求解即可．
【详解】解：由题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
故答案为：0．
15．
【分析】表示出两方程的解，由两方程为同解方程，求出的值，进而确定出方程的解．此题考查了同解方程，明确“同解方程即为两方程解相同的方程”是解题的关键．
【详解】解：方程，解得：，
方程，解得：，
由题意得：，
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
代入得：，
解得：．
故答案为：．
16．③
【分析】此题考查了解一元一次方程．利用等式的性质1“等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），所得结果仍然是等式”；等式的性质2：“等式两边同时乘或除以同一个不是零的数（或代数式），所得结果仍然是等式”判断即可．
【详解】解：①等式两边同时乘以10去分母，利用了“等式的性质2”；
②在方程的两侧同时加上，利用了“等式的性质1”；
④在方程的两边同时除以3，利用了“等式的性质2”；
③合并同类项，不是利用等式的性质；
故答案为：③．
17．70
【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系，灵活利用整体思想是关键．
由题意可得，求出即可．
【详解】解：∵方程的解是，
∴，
即为的解是，故，
∴，
故答案为：70．
18．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．理解题意，正确找出等量关系是解题的关键．
七言绝句有首，则其总字数为：，五言绝句则有首，其总字数为：，根据七言绝句总字数比五言绝句少个字列出方程即可．
【详解】解：七言绝句有首，则其总字数为：，
五言绝句则有首，其总字数为：，
故可列出方程：．
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次方程：
（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
20．(1)3
(2)，过程见解析
【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值；
（2）根据两个方程同解可得n的值．
【详解】（1）解：根据题意，得，，
解得：；
（2）解：当时，关于的方程为：，
解得：；
因为两个方程解相同，所以将代入，
得，
解方程，得．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，及方程的解法，理解题意，正确运算是解本题的关键；
（1）把代入，再解方程即可；
（2）按题意原方程去分母可得，把代入再解方程即可；
（3）先把方程去分母整理为，由方程无解可得，再解方程即可.
【详解】（1）解：把代入方程，得：
，
∴，
解得，；
（2）∵，
∴（去分母时漏乘），
把代入可得：
，
整理得：，
解得：；
（3），
∴，
整理得：，
当时，方程无解，
∴；
22．(1)甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元；
(2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找到等量关系列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据“购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元”，列出方程即可；
（2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，结合“购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元”，列出方程求解的值即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：，
，
答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元．
（2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，
由题意得，，
解得：，
，
答：甲类书刊购进350本，则乙类书刊购进450本．
23．（1）是；（2）是有理数，理由见解析．
【分析】此题考查了有理数的概念，无限循环小数转化为分数，一元一次方程的应用：
（1）根据有理数的概念，即可求解；
（2）仿照材料中的方法，即可求解．
【详解】解：（1）根据上述推理过程，是有理数．
故答案为：是
（2）是有理数．理由：
设，则…．
所以…．
所以……．
化简，得．
解得．
所以．
所以是有理数．
24．（1）；（2）①，；②当为3时，、两点相遇，相遇点所表示的数是7；③当为或时，点与点之间的距离是5个单位长度
【分析】本题考查一元一次方程的应用， 解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．
（1）根据阅读材料列式计算即可；
（2）①向右运动，就用加法运算，向左运动，则用减法运算，再结合数轴上点表示数的特点可得答案；②由P，Q两点相遇时，P，Q表示同一个数列方程可解得答案．③由、之间的距离为5列方程可解得答案．
【详解】解：（1）表示的数为，点表示的数为13，
，
故答案为15．
（2）①秒后，点表示的数为，点表示的数为，
故答案为，．
②根据题意得：，
解得，
相遇点所表示的数为，
答：当为3时，、两点相遇，相遇点所表示的数是7；
③由题得：，
即，
解得或，
当为秒或秒时，点与点之间的距离是5个单位长度．