第5章 一元一次方程单元测试（培优卷）（含解析）

第5章 一元一次方程单元测试（培优卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若一元一次方程的解是，则的关系为（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数
2．（23-24七年级上·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知数a，b在数轴上，，b比最大的负整数大2，则的值是（　　）
A．2 B． C．2或 D．2或
4．（22-23七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值是（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．2或4
5．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程 的解（ ）
A． B． C． D．2
6．（21-22七年级上·广东广州·期末）若关于x的一元一次方程的解，比关于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（x﹣m）的解大15，则m＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
7．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（ ）
0 1 2
4 0
A． B． C． D．
8．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，在2022年2月的日历表中用优美的“ ”形框住五个数，框出1，3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“ ”的位置又框出五个数，已知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．19
9．（2024七年级·全国·竞赛）关于的一元一次方程的解（ ）．
A．是一个大于小于的数 B．是一个大于的数
C．是一个大于小于的数 D．不存在
10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）编一个实际应用题，要求所列的方程是，则下列不符合要求的是（ ）
A．两块宽度相同的铁皮，一块长为15厘米，另一块长为45厘米，如果两块铁皮的总面积为180平方厘米，问铁皮的宽度为多少？
B．现甲、乙两人一起加工180个零件，甲一天能做15个，乙一天能做45个，如果两人同时加工，问需要多少天完成任务？
C．两辆车从甲、乙两地同时出发，同向而行，慢车车速为15公里/时，快车车速为45公里/时，甲、乙两地相距180公里，慢车在快车的前面，问快车经过多长时间追上慢车？
D．张老师到文具店去买笔袋，其中甲型笔袋的单价是45元，乙型笔袋的单价是15元，张老师买两种笔袋共花了180元，且买两种笔袋的数量是相同的，问两种笔袋各买了几个？
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·河南周口·期中）如果是关于x的方程的解，那么 ．
12．（2024七年级·全国·竞赛）已知，则 ．
13．（23-24七年级上·江苏南通·期中）若方程的解比方程的解大2，则 ．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ．
15．（23-24七年级上·重庆合川·期末）小军在解关于的方程去分母时，方程右边的3未乘21，由此求得方程的解为，则这个方程的正确的解应为 ．
16．（21-22七年级上·北京·期中）我们知道，，，，……因此关于的方程的解是 ；关于的方程的解是 （用含的式子表示）．
17．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）按下面的程序计算：
若输入，则输出结果是501；若输入，则输出结果是631；若开始输入的数x为正整数，最后输出结果为556，则开始输入的x的所有可能的值为 ．
18．（2024七年级上·安徽·专题练习）下列说法正确的是 （直接填写序号）．
①是方程；
②方程是一元一次方程；
③若关于x的方程是一元一次方程，则k为任意实数；
④若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程
(1) (2)
20．（本小题满分8分）（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：
(1)； (2)．
21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值．
22．（本小题满分10分）（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为．
(1)补充求解的过程．
(2)用换元法解方程．
23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）老李今年种植了两种品种的小蜜薯，其中收获品种的小蜜薯比品种的小蜜薯的2倍多4000千克，共收获两个品种小蜜薯28000千克．
(1)老李收获两个品种小蜜薯各多少千克？
(2)某收购商分两次向老李收购完这些小蜜薯，两个品种各自独立装箱，品种每箱50千克，品种每箱100千克．第一次收购了两个品种共60箱，受某些因素影响，收购商第二次收购时做出了价格调整：每箱品种小蜜薯的收购价为200元，每箱品种小蜜薯的收购价为250元，老李给出的优惠方式均为打8折．两次收购完所有的小蜜薯后，收购商发现第二次支付给老李的费用为54400元，求收购商第一次收购品种小蜜薯多少箱？
24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·湖北咸宁·期中）探究与发现：
表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．
理解与应用：
（1）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B表示的数________；
（2）若，则________．
拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：
（3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为4；
（4）数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为2．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C A A A B C C
1．B
【分析】把解代入方程，求得关系计算即可．本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键．
【详解】∵关于x的方程的解是，
∴,
解得，
故选B．
2．C
【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【详解】解：、由可得，原选项正确，不符合题意；
、由可得，原选项正确，不符合题意；
、由可得，原选项错误，符合题意；
、由，可得，原选项正确，不符合题意；
故选：．
3．C
【分析】本题考查了化简绝对值、一元一次方程的应用、代数式求值等知识，熟练掌握绝对值和一元一次方程的应用是解题关键．先化简绝对值、解一元一次方程求出或，再求出，然后代入计算即可得．
【详解】解：，
或，
解得或，
比最大的负整数大2，
，
则或，
故选：C．
4．C
【分析】根据平方根的含义先求解，，再分类讨论即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
当，，
∴，
∴，
当，，
∴，
∴，
当，，
∴，
∴，
当，，
∴，
∴，
综上：的值是0或4．
故选C．
【点睛】本题考查的是平方根的含义，求解代数式的值，等式的基本性质的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
5．A
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，根据方程的特点，逐步的去分母与去括号即可得到答案．
【详解】解：．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
故选A
6．A
【分析】分别求出方程的解为，方程的解为，然后根据题意得到，由此求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：；
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：；
∵关于x的一元一次方程的解，比关于x的一元一次方程的解大15，
∴，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
7．A
【分析】由即，解得，根据表格中数据即可求解．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴关于的方程的解为，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，将整式作为整体看成未知数是解题的关键．
8．B
【分析】设最小的数为x，则其余四个数分别为，求和即可求得．
【详解】最小的数为x，则其余四个数分别为，
∵这五个数的和为53，
∴，
∴，
∴最小两个数为：，
∴最小两个数和为：．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，能利用图形圈出5个数的关系列出方程是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了解一元一次方程，利用分数的性质先对方程化简，再移项，转化为，得到，解之即可求解，把方程转化为是解题的关键．
【详解】解：原方程变形为，
即，
∵，
∴，
∴，
∴方程的解是一个大于小于的数，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分别列出四个选项的方程即可判断．
【详解】解：A、设铁皮的宽为，则两块铁皮的面积分别为，，则，符合题意；
B、需要天完成任务，则甲乙两人共完成个，个，则，符合题意；
C、设快车经过小时追上慢车，则慢车、快车行驶的路程分别为公里，公里，则，不符合题意；
D、两种笔袋各买了个，乙型与甲型笔袋花费元，元，则，符合题意；
故答案为：C．
11．
【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．
由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，
整理得，，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查等式的性质，理解等式的性质是解题关键．
根据等式的性质等式左右两边同时乘以，等式左右两边同时乘以，分析求解．
【详解】解：
等式左右两边同时乘以可得：
等式变形，可得
等式左右两边同时乘以可得：
∴，
故答案为：．
13．20
【分析】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
先根据等式的性质求出第一个方程的解是，求出第二个方程的解是，再把代入第二个方程得出，再求出方程的解即可．
【详解】解：解方程，
得，
∵方程的解比方程的解大2，
∴方程的解是，
代入得：，
解得：．
故答案为：20．
14．
【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可．
【详解】不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，
，
，
，
，，
，，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了方程的解，以及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．由题意可知，是方程的解，进而求出，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】解：由题意可知，是方程的解，
将代入方程得：，
解得：，
即原方程为，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：，
故答案为：．
16． （或）
【分析】（1）根据题意将方程的左边变形，进而即可求解；
（2）同（1）的方法解一元一次方程即可
【详解】（1）
可化为：
即
解得
（2）
即
解得（或）
【点睛】本题考查了解一元一次方程，仿照例题解决问题是解题的关键．
17．或
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次方程的应用等知识，根据题意列方程求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如果第一次输入值后结果大于，输出结果为，则：
，
解得：，
如果前几次的结果都小于，最后一次输出结果为，那么在最后一次输出结果时的值为，输出结果为时的值为：
，
解得：，
依此类推，，
解得：，不是整数，
∴开始输入的x的所有可能的值为或，
故答案为：或．
18．①④
【分析】本题主要考查方程及一元一次方程，正确理解方程及一元一次方程的形式是解答本题的关键．分别根据方程、一元一次方程的形式以及方程的解判断各选项即可．
【详解】解：①是方程，原说法正确；
②方程分母中含有未知数，不是一元一次方程，原说法错误；
③若关于的方程是一元一次方程，则，原说法错误；
④关于x的方程的解为，把方程中看成整体，的解是，即，解得，原说法正确．
综上，正确的有①④．
故答案为：①④．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）把多重括号去掉，化简方程，求解即可；
（2）先将各小数化为整数，化简方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
去中括号，得
去小括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：
整理，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；
（1）方程两边同时乘以，依次去括号，即可求解；
（2）先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．
【详解】（1）
两边同时乘以，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）
裂项，得：，
化简，得：，
通分，得：，
系数化为1，得：
21．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可．
【详解】解：对方程，
去分母得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
系数化为1得；
把代入，得，
解得：．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，
（1）根据解一元一次方程的法则解答即可，
（2）利用换元的思想解答即可；
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：，
设，则原方程可变形为，
，
，
，
，
，
，
∴，
解得．
23．(1)老李收获品种小蜜薯8000千克，收获品种小蜜薯20000千克
(2)20箱
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．
（1）设老李收获品种小蜜薯千克，则收获品种小蜜薯千克，根据共收获两个品种小蜜薯28000千克，列出方程进行求解即可；
（2）设收购商第一次收购品种小蜜薯箱，则收购商第一次收购品种小蜜薯箱，收购商第二次收购品种小蜜薯箱，收购品种小蜜薯箱，根据第二次支付给老李的费用为54400元，列出方程进行求解即可；
读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：设老李收获品种小蜜薯千克，收获品种小蜜薯千克，
根据题意得：，解得，
（千克）．
答：老李收获品种小蜜薯8000千克，收获品种小蜜薯20000千克．
（2）由题意可知，品种小蜜薯8000千克，可装（箱），品种小蜜薯20000千克，可装（箱）．
设收购商第一次收购品种小蜜薯箱，则收购商第一次收购品种小蜜薯箱，收购商第二次收购品种小蜜薯箱，收购品种小蜜薯箱，
根据题意得：，解得．
答：收购商第一次收购品种小蜜薯20箱．
24．（1）；（2）或；（3）秒或秒；（4）当为秒或秒或秒或秒时，， 之间的距离为
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是运用分类讨论的思想去解决问题．
（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点表示的数；
（2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号；
（3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；
②分，或三种情况，找出关于t的一元一次方程．
【详解】解：（1）由题意得，数轴上点表示的数．
故答案为：；
（2），
或，
或．
故答案为：或．
（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，
依题意得：，
即或，
解得：或．
∴当为秒或秒时，，两点之间的距离为．
（4）到达点时间：（秒），
到达点时间：（秒）．
当时，、都没有到达点，
点表示的数为，点表示的数为，
依题意得：，
即或，
解得：或；
当时，已经到达点并在返回的途中，没有到达点，
点表示的数为，点表示的数为，
依题意得：，
即或，
解得：或；
当时，、都已经到达点，
点表示的数为，点表示的数为，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：当为秒或秒或秒或秒时，， 之间的距离为 ．