浙江省杭州市采荷实验学校2024-2025学年第一学期九年级二次函数复习题——图象的平移
1．将拋物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
2．抛物线向右平移4个单位后的表达式为，求原抛物线的表达式
3．已知抛物线.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）将该抛物线左或向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值，并写出平移后的表达式.
4．已知二次函数.
（1）当时.①求该函数图象的顶点坐标；②当时，直接写出的取值范围.
（2）若点是该函数图象上不同的两点，求的值.
（3）当时，将该函数图象沿轴向上平移个单位，若图象的最低点到轴的距离为1，求t的值.
5． 学霸题—在学习了函数图象的平移后，小明将抛物线进行平移，平移后发现该抛物线经过点（0，3）和（1，4）
（1）求平移后该抛物线的表达式
（2）在(1)的条件下，当时，函数的最小值为1，求的值.
（3）平移后的抛物线与轴交于A，B两点，于轴交于点，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点，过点作交BC于点.求PQ的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将拋物线 向右平移3个单位，可得抛物线，
C选项符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，求解即可.
2．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得，原抛物线的表达式为抛物线向左平移4个单位得到的，
即
故答案为：.
【分析】根据函数图象的平移规则，上加下减，左加右减，再根据题意可得，原抛物线的表达式为抛物线向左平移4个单位可得.
3．【答案】（1）解：根据对称轴方程可得：
（2）解：，
当向右平移时，平移后的抛物线解析式为，
再将原点代入可得：，
解得m=3或m=-1（舍去），
此时，解析式为；
当向左平移时，平移后的抛物线解析式为，
再将原点代入可得：，
解得m=1或m=-3（舍），
此时抛物线解析式为：y=2x2-8x；
综上，m=3，解析式为；m=1，解析式为；
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，即可求解；
（2）先将抛物线表示成顶点式，即，再由题意可得平移后的解析式为或者，再将原点代入求解即可.
4．【答案】（1）解：①将 代入抛物线可得
将化为顶点式可得，
则顶点坐标为(-2，-1)；
②将代入可得，
解得或
的函数图象为：
结合函数图象可得， 当时 ，或.
（2）解：将代入解析式可得
解得
此时，
将代入可得
解得（舍去）或
则
（3）解：平移后的解析式为
则，
此时顶点坐标为
由 图象的最低点到轴的距离为1可得，
即或
解得或（舍去）或（负值舍去）
综上：或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1） ① 将 代入抛物线，再转化为顶点式，即可求解； ② 将代入，求得x，结合函数图象，即可求解；
（2）将代入解析式求得t，再将代入求得m即可；
（3）先求得平移后的解析式为，再将二次函数转化为顶点式，求得顶点坐标，由题意可得，顶点纵坐标的绝对值为1，求解即可.
5．【答案】（1）解：根据题意设抛物线的解析式为，图像经过点和
得解得
所以平移后抛物线的解析式为
（2）解：对称轴为，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y取最小值，得，
解得（舍去），．
所以；
（3）解：如图，过P点作轴交于点E，
设，
因为时，解得．
所以点A坐标为，点B坐标为．
设直线的解析式为
直线经过点和点
解得
直线的解析式为，则点
点和点
，
为等腰直角三角形，
．
．
在中，，
当最大时，最大．
当时，最大，
则最大．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，代入点和即可；
（2）对称轴为，当时，y随x的增大而增大，结合题意知当时，y取最小值，代入得解方程即可；
（3）过P点作轴交于点E，设，利用待定系数法求得直线的解析式为，则点，结合点坐标判定为等腰直角三角形，在中，，那么，当最大时，最大，由，当时，求得最大值即可．
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1．将拋物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将拋物线 向右平移3个单位，可得抛物线，
C选项符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，求解即可.
2．抛物线向右平移4个单位后的表达式为，求原抛物线的表达式
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得，原抛物线的表达式为抛物线向左平移4个单位得到的，
即
故答案为：.
【分析】根据函数图象的平移规则，上加下减，左加右减，再根据题意可得，原抛物线的表达式为抛物线向左平移4个单位可得.
3．已知抛物线.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）将该抛物线左或向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值，并写出平移后的表达式.
【答案】（1）解：根据对称轴方程可得：
（2）解：，
当向右平移时，平移后的抛物线解析式为，
再将原点代入可得：，
解得m=3或m=-1（舍去），
此时，解析式为；
当向左平移时，平移后的抛物线解析式为，
再将原点代入可得：，
解得m=1或m=-3（舍），
此时抛物线解析式为：y=2x2-8x；
综上，m=3，解析式为；m=1，解析式为；
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，即可求解；
（2）先将抛物线表示成顶点式，即，再由题意可得平移后的解析式为或者，再将原点代入求解即可.
4．已知二次函数.
（1）当时.①求该函数图象的顶点坐标；②当时，直接写出的取值范围.
（2）若点是该函数图象上不同的两点，求的值.
（3）当时，将该函数图象沿轴向上平移个单位，若图象的最低点到轴的距离为1，求t的值.
【答案】（1）解：①将 代入抛物线可得
将化为顶点式可得，
则顶点坐标为(-2，-1)；
②将代入可得，
解得或
的函数图象为：
结合函数图象可得， 当时 ，或.
（2）解：将代入解析式可得
解得
此时，
将代入可得
解得（舍去）或
则
（3）解：平移后的解析式为
则，
此时顶点坐标为
由 图象的最低点到轴的距离为1可得，
即或
解得或（舍去）或（负值舍去）
综上：或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1） ① 将 代入抛物线，再转化为顶点式，即可求解； ② 将代入，求得x，结合函数图象，即可求解；
（2）将代入解析式求得t，再将代入求得m即可；
（3）先求得平移后的解析式为，再将二次函数转化为顶点式，求得顶点坐标，由题意可得，顶点纵坐标的绝对值为1，求解即可.
5． 学霸题—在学习了函数图象的平移后，小明将抛物线进行平移，平移后发现该抛物线经过点（0，3）和（1，4）
（1）求平移后该抛物线的表达式
（2）在(1)的条件下，当时，函数的最小值为1，求的值.
（3）平移后的抛物线与轴交于A，B两点，于轴交于点，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点，过点作交BC于点.求PQ的最大值.
【答案】（1）解：根据题意设抛物线的解析式为，图像经过点和
得解得
所以平移后抛物线的解析式为
（2）解：对称轴为，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y取最小值，得，
解得（舍去），．
所以；
（3）解：如图，过P点作轴交于点E，
设，
因为时，解得．
所以点A坐标为，点B坐标为．
设直线的解析式为
直线经过点和点
解得
直线的解析式为，则点
点和点
，
为等腰直角三角形，
．
．
在中，，
当最大时，最大．
当时，最大，
则最大．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，代入点和即可；
（2）对称轴为，当时，y随x的增大而增大，结合题意知当时，y取最小值，代入得解方程即可；
（3）过P点作轴交于点E，设，利用待定系数法求得直线的解析式为，则点，结合点坐标判定为等腰直角三角形，在中，，那么，当最大时，最大，由，当时，求得最大值即可．
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