3.7 正多边形提优训练（含答案）2024-2025学年浙教版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 3.7 正多边形提优训练（含答案）2024-2025学年浙教版九年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 389.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-31 21:52:45 | ||
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文档简介
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3.7 正多边形
基础巩固
1.若正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( ).
A. B.2 C.2
2.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的是( ).
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
3.如图所示，边长为a的正六边形内有两个斜边长为a，有一个角是60°的直角三角形，则 的值为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图所示，AD是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠BAD的度数为 .
5.如图所示，若干全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 个五边形.
6.如图所示,在正八边形 ABCDEFGH 中,四边形 BCFG的面积为20cm ,则该正八边形的面积为 cm .
7.如图所示，以正六边形ABCDEF的边AB 为边，在正六边形内作正方形 ABMN,连结MC.求∠BCM的大小.
能力提升
8.蜂巢的构造非常美丽、科学.如图所示为由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上.设定AB边如图所示，如果△ABC是直角三角形，那么这样的三角形有( ).
A.4个 B.6个
C.8个 D.10个
9.如图所示，平面上有两个全等的正十边形，其中点 A 与点A'重合,点 C 与点C'重合.则∠BAJ'的度数为 .
10.如图所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形 ABC、正方形ABCD、正五边形 ABCDE、…、正 n 边形 ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.
(1)求图1中∠MON 的度数.
(2)图2中∠MON的度数为 ,图3中∠MON 的度数为 .
(3)试探究∠MON 的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
11.如图1所示，已知在正五边形ABCDE中.
(1)AC与BE 相交于点 P,求证:四边形 PEDC 为菱形.
(2)延长CD,与AE交于点M,连结BM交CE 于点N,如图2所示,求证:CN=EP.
夯实演练
12.已知正方形 MNOK 和正六边形ABCDEF 的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B按顺时针方向旋转，使KM边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C按顺时针方向旋转，使MN边与CD 边重合，完成第二次旋转……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是( ).
A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5
13.如图所示，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形 且A A ∥B B ,直线l经过点B2,B3,则直线l与A1A2的夹角α的度数为 .
14.(1)如图1所示,△ABC是⊙O的内接等边三角形,P 为 上一动点,求证:PA=PB+PC.
(2)如图2所示，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P 为上一动点，求证：PA=
(3)如图3所示,六边形ABCDEF 是⊙O的内接正六边形,P 为 上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明.
3.7 正多边形
1. B 2. A 3. C 4.72° 5.7 6.40
7.∵六边形 ABCDEF为正六边形,
∴∠ABC=120°,AB=BC.
∵四边形 ABMN 为正方形,
∴∠ABM=90°,AB=BM.
∴∠BCM=∠BMC=75°.
8. D 9.108°
10.(1)连结OB,OC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵OC=OB,点O是外接圆的圆心,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.
∴∠OBM=∠OCN=30°.
∵BM=CN,OC=OB,∴△OMB≌△ONC.
∴∠BOM=∠NOC.∴∠MON=∠BOC.
∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°.∴∠MON=120°.
(2)90° 72°
11.(1)∵五边形 ABCDE是正五边形,
∴∠BCD=∠BAE=108°,CD=DE=BC=AB=AE.
∴∠ABE=∠AEB=36°.∴∠CBE=72°.
∴∠DCB+∠CBE=180°.∴CD∥BE.
同理可证AC∥DE，∴四边形 PEDC是平行四边形.
又∵CD=DE,∴四边形 PEDC是菱形.
(2)如答图所示，连结AN.
由(1)知四边形 PEDC是平行四边形.
∵∠MCA=∠MAC=72°,∴MC=MA.
∵BC=BA,∴BM垂直平分线段AC.
∴NC=NA.∴∠NCA=∠NAC=36°.
易知∠PAE=∠NEA=72°,
∴∠PEA=∠NAE=36°.
∵AE=EA,∴△PAE≌△NEA.
∴PE=AN.∴CN=PE.
12. C 【解析】如答图所示,在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的粗虚线，观察图象可知点 B，M间的距离d 的取值范围是 ≤d≤1.故选C.
13.48° 【解析】如答图所示,设 l交A A 于点 E,交A A 于点 D.∵六边形 A A A A A A 是正六边形，六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,∴∠A A A =
∵五边形 B B B B B 是正五边形，五边形的内角和为
14.(1)如答图1所示,延长BP 至点E,使 PE=PC,连结CE.
∵A,B,P,C四点共圆,∴∠BAC+∠BPC=180°.
∵∠BPC+∠EPC=180°,∴∠BAC=∠EPC=60°.
∵PE=PC,∴△PCE是等边三角形.
∴CE=PC,∠ECP=60°.
∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,
∴∠BCE=∠ACP.
∵△ABC,△ECP为等边三角形,∴CE=PC,BC=AC.
∴△BEC≌△APC.∴PA=BE=PB+PC.
(2)如答图2所示,过点 B作BE⊥PB交PA 于点 E.
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.
∵∠APB=45°,∴BP=BE,PE= PB.
∵AB=BC,∴△ABE≌△CBP.∴PC=AE.
证明:如答图3所示,过点 B 作BM⊥AP 于点M,在 AP上截取AQ=PC,连结 BQ.
∵∠BAP=∠BCP,AB=BC,∴△ABQ≌△CBP.
∴BQ=BP.∴MP=QM.
3.7 正多边形
基础巩固
1.若正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( ).
A. B.2 C.2
2.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的是( ).
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
3.如图所示，边长为a的正六边形内有两个斜边长为a，有一个角是60°的直角三角形，则 的值为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图所示，AD是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠BAD的度数为 .
5.如图所示，若干全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 个五边形.
6.如图所示,在正八边形 ABCDEFGH 中,四边形 BCFG的面积为20cm ,则该正八边形的面积为 cm .
7.如图所示，以正六边形ABCDEF的边AB 为边，在正六边形内作正方形 ABMN,连结MC.求∠BCM的大小.
能力提升
8.蜂巢的构造非常美丽、科学.如图所示为由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上.设定AB边如图所示，如果△ABC是直角三角形，那么这样的三角形有( ).
A.4个 B.6个
C.8个 D.10个
9.如图所示，平面上有两个全等的正十边形，其中点 A 与点A'重合,点 C 与点C'重合.则∠BAJ'的度数为 .
10.如图所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形 ABC、正方形ABCD、正五边形 ABCDE、…、正 n 边形 ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.
(1)求图1中∠MON 的度数.
(2)图2中∠MON的度数为 ,图3中∠MON 的度数为 .
(3)试探究∠MON 的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
11.如图1所示，已知在正五边形ABCDE中.
(1)AC与BE 相交于点 P,求证:四边形 PEDC 为菱形.
(2)延长CD,与AE交于点M,连结BM交CE 于点N,如图2所示,求证:CN=EP.
夯实演练
12.已知正方形 MNOK 和正六边形ABCDEF 的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B按顺时针方向旋转，使KM边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C按顺时针方向旋转，使MN边与CD 边重合，完成第二次旋转……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是( ).
A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5
13.如图所示，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形 且A A ∥B B ,直线l经过点B2,B3,则直线l与A1A2的夹角α的度数为 .
14.(1)如图1所示,△ABC是⊙O的内接等边三角形,P 为 上一动点,求证:PA=PB+PC.
(2)如图2所示，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P 为上一动点，求证：PA=
(3)如图3所示,六边形ABCDEF 是⊙O的内接正六边形,P 为 上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明.
3.7 正多边形
1. B 2. A 3. C 4.72° 5.7 6.40
7.∵六边形 ABCDEF为正六边形,
∴∠ABC=120°,AB=BC.
∵四边形 ABMN 为正方形,
∴∠ABM=90°,AB=BM.
∴∠BCM=∠BMC=75°.
8. D 9.108°
10.(1)连结OB,OC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵OC=OB,点O是外接圆的圆心,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.
∴∠OBM=∠OCN=30°.
∵BM=CN,OC=OB,∴△OMB≌△ONC.
∴∠BOM=∠NOC.∴∠MON=∠BOC.
∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°.∴∠MON=120°.
(2)90° 72°
11.(1)∵五边形 ABCDE是正五边形,
∴∠BCD=∠BAE=108°,CD=DE=BC=AB=AE.
∴∠ABE=∠AEB=36°.∴∠CBE=72°.
∴∠DCB+∠CBE=180°.∴CD∥BE.
同理可证AC∥DE，∴四边形 PEDC是平行四边形.
又∵CD=DE,∴四边形 PEDC是菱形.
(2)如答图所示，连结AN.
由(1)知四边形 PEDC是平行四边形.
∵∠MCA=∠MAC=72°,∴MC=MA.
∵BC=BA,∴BM垂直平分线段AC.
∴NC=NA.∴∠NCA=∠NAC=36°.
易知∠PAE=∠NEA=72°,
∴∠PEA=∠NAE=36°.
∵AE=EA,∴△PAE≌△NEA.
∴PE=AN.∴CN=PE.
12. C 【解析】如答图所示,在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的粗虚线，观察图象可知点 B，M间的距离d 的取值范围是 ≤d≤1.故选C.
13.48° 【解析】如答图所示,设 l交A A 于点 E,交A A 于点 D.∵六边形 A A A A A A 是正六边形，六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,∴∠A A A =
∵五边形 B B B B B 是正五边形，五边形的内角和为
14.(1)如答图1所示,延长BP 至点E,使 PE=PC,连结CE.
∵A,B,P,C四点共圆,∴∠BAC+∠BPC=180°.
∵∠BPC+∠EPC=180°,∴∠BAC=∠EPC=60°.
∵PE=PC,∴△PCE是等边三角形.
∴CE=PC,∠ECP=60°.
∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,
∴∠BCE=∠ACP.
∵△ABC,△ECP为等边三角形,∴CE=PC,BC=AC.
∴△BEC≌△APC.∴PA=BE=PB+PC.
(2)如答图2所示,过点 B作BE⊥PB交PA 于点 E.
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.
∵∠APB=45°,∴BP=BE,PE= PB.
∵AB=BC,∴△ABE≌△CBP.∴PC=AE.
证明:如答图3所示,过点 B 作BM⊥AP 于点M,在 AP上截取AQ=PC,连结 BQ.
∵∠BAP=∠BCP,AB=BC,∴△ABQ≌△CBP.
∴BQ=BP.∴MP=QM.
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