3.3 垂径定理(1) 提优训练（含答案）2024-2025学年浙教版九年级数学上册

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3.3 垂径定理(1)
基础巩固
1.如图所示，已知⊙O的半径为13，弦AB的长为24，则点O到AB 的距离是( ).
A.6 B.5
C.4 D.3
2.如图所示,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB⊥CD,垂足为点 E,连结 CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中,正确的是( ).
A. AD=2OB B. CE=EO C.∠OCE=40° D.∠BOC=2∠BAD
3.如图所示，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为( ).
A.2cm B. cm
4.如图所示，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(1，0)，以点 P 为圆心，AP长为半径作弧，与x轴交于点B，则点 B 的坐标为 .
5.如图所示,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心、CB为半径的圆交AB 于点D，则BD的长为 .
6.如图所示，在同一平面内，有一组平行线l1，l2，l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上,⊙O与直线l3的交点为点A,B,AB=12,求⊙O的半径.
7.如图所示，在平面直角坐标系中，以点C(2， )为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)若二次函数 的图象经过点A，B，试确定此二次函数的表达式.
能力提升
8.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为点 M,则AC的长为( ).
或4 cm D.2 cm或
9.如图所示,在⊙O内有折线OABC,其中OA=10,AB=16,∠A=∠B=60°,则BC的长为( ).
A.20 B.26 C.28 D.30
10.如图所示,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结BO并延长交⊙O于点E,连结CE,若AB=4,CD=1,则CE的长为 .
11.⊙O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB 上一动点,则OP长的取值范围是 .
12.如图所示,AB 是⊙O的弦,C是AB 上一点,∠AOC=90°,OA=8,OC=6,则AB = .
13.如图所示,在⊙O中,AB,CD两弦互相垂直于点E,AB被分成4cm和10cm两段.
(1)求圆心O到CD 的距离.
(2)若⊙O半径为8cm,求CD 的长.
14.如图所示，四边形 ADFE 和四边形BCDG 都为正方形，且点 F，D，C在半圆O的直径上，点E，A，B在半圆O的圆弧上，若小正方形的边长为4，求该半圆的半径.
夯实演练
15.如图所示，在半径为 的⊙O中,弦 AB 与CD 交于点 E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是( ).
16.已知AB 是⊙O的弦,OM⊥AB,垂足为点 M,连结OA.若△AOM中有一个角是 则弦AB 的长为 .
17.如图所示，在半径为2 的扇形 AOB中,∠AOB=120°,点C是 上的一个动点(不与点 A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为点 D,E.
(1)当BC=4时,求线段OD 的长.
(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边 如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由.
3.3 垂径定理(1)
1. B 2. D 3. D 4.(7,0) 5.2
6.如答图所示,连结OA,过点O作OD⊥AB于点 D.
∵相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8.
在 Rt△AOD 中,
∵AD=6,OD=8,
∴⊙O的半径为10.
7.(1)过点 C作CM⊥x轴于点M,则MA=MB,连结AC,如答图所示.
∵点C的坐标为(2， ),
∴OM=2,CM=
在 Rt△ACM中,CA=2,
∴OA=OM-AM=1,OB=OM+BM=3.
∴点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(3,0).
(2)将点 A(1,0),B(3,0)代入 得 解得
∴二次函数的表达式为
8. C 9. B 10. 11.4≤OP≤5 12.
13.(1)如答图所示,作OG⊥CD于点 G,OF⊥AB于点 F.
∵∠OGE=∠GEF=∠OFE=90°,
∴四边形OGEF 是矩形.∴OG=EF.
(4+10)=7(cm).
∴OG=EF=AF-AE=3(cm).
∴点O到CD 的距离为 3cm.
(2)如答图所示，连结OD.
在 Rt△ODG 中,
OD=8cm,OG=3cm,
∵OG⊥CD,∴CD=2GD=2 (cm).
14.如答图所示,连结 OA,OB,OE.∵四边形ADFE为正方形,∴EF=AD.
设OD=x,则(OC=x+4,AD=2x.
在 Rt△AOD中, 在 Rt△OBC中,(
解得 (舍去).
即该半圆的半径为4
15. C 【解析】如答图所示,过点 O作OF⊥CD于点 F,OG⊥AB于点 G,连结OB,OD,OE.
∴EG=AG-AE=2.
在 Rt△BOG中,
∴EG=OG.∴△EOG是等腰直角三角形.
∵∠DEB=75°,∴∠OEF=30°.∴OF= OE=
在 Rt△ODF 中, 故选 C.
16.12或4
17.(1)∵OD⊥BC,∴BD= BC=2.
(2)存在，DE的长度不变.
理由 如下：如答图所示，连结AB.
过点O作AB 的垂直平分线，与AB交于点F,与AB交于点M,则OM平分∠AOB与
∴∠AOF=60°.
∴在 Rt△AOF中,∠FAO=30°.
由垂径定理可知，D，E分别是BC 和CA 的中点，
∴DE 是△ABC的中位线.