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第3章《三视图与表面展开图》单元重点题型专练
题型一 平行投影
1．（2024 赤峰一模）下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可．
【解答】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确；
B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误；
C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误；
D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平行投影特点：解题的关键是根据平行投影和中心投影的区别进行解答即可．
2．（2024秋 沈河区校级期末）平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行投影的定义判断即可．
【解答】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：
故选：D．
【点评】本题考查平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型．
3．（2024秋 金凤区校级月考）下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（ ）
A．①→②→③→④ B．④→②→③→① C．③→④→①→② D．①→③→②→④
【分析】不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知按照时间的先后顺序正确的是③→④→①→②，
故选：C．
【点评】本题考查平行投影的特点和规律：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变．注意图上方向与实际方向的联系．
4．（2024 张家口一模）矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
【解答】解：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，
即相对的边平行或重合，
故C不可能，即不会是梯形．
故选：C．
【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，平行物体的影子仍旧平行或重合．
5．（2023秋 九江月考）下列图形是平行投影的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接影子的顶端和木杆的顶端得到投影线，若投影线平行则为平行投影．
【解答】解：A.B.C.D.
只有B中的投影线是平行的，
故选：B．
【点评】本题考查了平行投影的知识，牢记平行投影的定义是解题的关键．
题型二 中心投影
1．（2024秋 秦都区校级月考）下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．阳光下沙滩上人的影子
B．晚上人走在路灯下的影子
C．中午用来乘凉的树影
D．阳光下旗杆的影子
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【解答】解：A．阳光下沙滩上人的影子，是平行投影，不符合题意；
B．晚上人走在路灯下的影子，是中心投影，符合题意；
C．中午用来乘凉的树影，是平行投影，不符合题意；
D．阳光下旗杆的影子，是平行投影，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心投影，明确太阳光一般看作平行光线是本题解题的关键．
2．（2023秋 榆中县期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影
B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影
D．不能确定
【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可．
【解答】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影．
故选：B．
【点评】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
3．（2024秋 浑南区期末）如图1，2分别反映了小树在同一时刻的影子，关于影子的形成说法正确的是（ ）
A．图1，2的影子都是在太阳光下形成的
B．图1的影子是在灯光下形成的，图2的影子是在太阳光下形成的
C．图1的影子是在太阳光下形成的，图2的影子是在灯光下形成的
D．图1，2的影子都是在灯光下形成的
【分析】利用中心投影和平行投影解答．
【解答】解：图1可看成是平行投影形成的，图2是中心投影形成的，
所以图1的影子是在太阳光下形成的，图2的影子是在灯光下形成的．
故选：C．
【点评】本题考查了平行投影，中心投影，解题的关键是掌握平行投影，中心投影的定义．
4．（2023秋 东港区期末）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．进行判断即可．
【解答】解：因为由A到B，离灯光由远到近再到远，所以影子先变短后变长．
故选：C．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
5．（2024 济南一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用“在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断．
【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点评】本题考查中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
6．下列各种现象：①皮影戏中的影子；②物体在太阳光形成下的影子；③探照灯下的投影；④路灯下人的影子，其中属于中心投影的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可．
【解答】解：中心投影的光源为灯光，所以属于中心投影的是：①③④，共有3种．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
题型三 简单几何体的三视图
1．（2023秋 沈阳期末）如图，圆锥从正面看是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的平面图形进行解答即可
【解答】解：从正面观察圆锥时，会看到一个等腰三角形，
这个等腰三角形的底边是圆锥底面的直径的投影，而两腰则是从圆锥的顶点到底边两端的连线．
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握圆锥的特征是关键．
2．（2023秋 碑林区校级期末）下列四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用从正面看到的图叫做主视图判断即可．
【解答】解：A、主视图为矩形，故本选项不符合题意；
B、主视图为矩形，故本选项不符合题意；
C、主视图为三角形，故本选项符合题意；
D、主视图为矩形且内部有条虚线，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．
3．（2023秋 绵阳期末）如图，分别从前面、左面、上面观察下列几何体，得到的平面图形相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的特征进行判断即可．
【解答】解：球从前面、左面、上面观察得到的平面图形都是圆，
故选：B．
【点评】本题考查从不同位置看几何体，画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
4．（2024 巴中模拟）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5．（2024 易门县二模）下面四个几何体，同一个几何体从正面看和从左面看的形状图相同，这样的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据几何体的三视图解答即可．
【解答】解：正方体、球，圆锥与圆柱四种几何体从正面看和从左面看，看到的相同，
故选：D．
【点评】此题考查几何体的三视图，关键是根据几何体的三视图解答．
题型四 简单组合体的三视图
1．（2024秋 金水区校级月考）如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左面看到的图形是左视图可得答案．
【解答】解：该几何体的左视图为一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．准确掌握定义是解题的关键．
2．（2024秋 廊坊期末）如图，这是由六个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
3．（2024 河东区二模）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，可得如图：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看到的视图是俯视图．
4．（2024秋 重庆期中）一个三棱柱如图所示摆放在地面，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用几何体的形状进而得出其主视图．
【解答】解：如图所示：这个三棱柱，它的主视图是
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度得出主视图是解题关键．
5．（2024秋 于洪区期末）如图所示的几何体，其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的左视图即可．
【解答】解：这个几何体的左视图为：
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
6．（2024 莲都区二模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．
题型五 在格点中作几何体的三视图
1．（2024秋 二道区期末）如图是由6个大小相同的小立方体方块搭成的几何体．请按要求在方格内分别画出从三个不同方向看到的这个几何体的形状图．
【分析】根据从不同方向看到的形状画图即可．
【解答】解：如图：
【点评】本题考查了从不同方向看几何体，掌握知识点的应用是解题的关键．
2．（2024秋 沈阳校级期末）如图是由十块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列正方形的数目从左往右分别为1，1，2；左视图有3列，每列正方形的数目从左往右分别为3，2，1；俯视图有3列，每列正方形的数目从左往右分别为3，2，1，即可画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
【解答】解：画图如下．
【点评】本题主要考查了作图﹣三视图，直接画出不同方向看到的图形是解题的关键．
3．（2024秋 农安县期末）如图，这是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体．
（1）请在网格中画出它的三视图．
（2）如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以有 种添加方法．
【分析】（1）根据三视图的定义画图即可．
（2）根据题意，可以在第一列最底层最前面添加一个相同的正方体，或在第三列最底层最前面添加一个相同的正方体，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以在第一列最底层最前面添加一个相同的正方体，或在第三列最底层最前面添加一个相同的正方体，
∴可以有2种添加方法．
故答案为：2．
【点评】本题考查作图﹣三视图、简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义．
4．（2024秋 北镇市期中）一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示．
（1）在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
（2）给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？
【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可；
（2）在从上面看到的图形上的相应位置标注可能添加的最多时的小正方体的个数即可．
【解答】解：（1）从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图1所示；
（2）在从上面看的图形的相应位置标可能摆放的最多小正方体的个数，所以最多可添加4个小立方块．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
5．（2024秋 灞桥区校级期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示，请画出这个几何体从三个方向看到的图形．
【分析】根据从三个不同方向看到的图形求解即可．
【解答】解：如图所示，即为这个几何体从三个方向看得的图形．
【点评】本题主要考查从不同方向看几何体，掌握三视图的作法是解题的关键．
6．（2024秋 高新区校级月考）如图是由大小相同的8个小立方块搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图；
（2）若每个小正方体的棱长均为1cm，这个几何体的体积是 ；
（3）用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
【分析】（1）根据三视图的看法作出三视图即可求解；
（2）根据图可得每个正方体的体积为1cm3，即可解答；
（3）由俯视图易得最底层小立方块的个数，再根据主视图即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）1×1×8＝8（cm3），
故答案为：8cm3；
（3）搭这样的一个几何体最少需要个小立方块7，搭这样的一个几何体最多需要个小立方块9，
故答案为：7；9．
【点评】本题考查了作图﹣三视图以及应用，解题的关键是运用空间想象能力画出三视图以及由视图判断几何体的形状．
题型六 由三视图确定小立方体的个数
1．（2024秋 三原县期中）如图是由若干个小正方体木块搭建成的几何体从正面、左面和上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】由上面看可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看和从左面看可得第二层和第三层小木块的个数，依此将得到的正方体的个数在图上标出来计算总个数即可．
【解答】解：∵从上面看有5个正方形，
∴最底层有5个正方体小木块，
根据主视图和左视图，在俯视图相应位置标出小正方体的个数如下：
∴搭成这个几何体的小正方体的个数是1+1+1+2+3＝8（个），
故答案为：A．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练根据由不同方向看几何体得到的平面图形得出几何体的形状是解题的关键．
2．（2024秋 铁西区期中）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图的定义一一判断即可．
【解答】解：选项A、C的俯视图不符合题意，选项D的主视图和俯视图均不符合题意；
选项B的三视图符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
3．（2023秋 新华区校级期末）如图，是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，即可得出小正方体的个数，进而可求出体积．
【解答】解：由三视图可知，这个几何模型的底层有3+1＝4（个）小正方体，第二层有2个小正方体，
∴搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+2＝6（个）．
∴这个几何体的体积是6×13＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．
4．（2023秋 聊城期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据主视图、俯视图，求出摆放最多时的正方体的个数，进而求出答案．
【解答】解：根据主视图、俯视图，可以得出最多时，在俯视图的相应位置上所摆放的个数，其中的一种情况如下：
最多时需要13个，
因此n的最大值为13．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上相应位置标出所摆放的个数是解决问题的关键．
5．（2024秋 南海区校级月考）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）当d＝2，e＝3时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图．
【分析】（1）根据从正面和上面看到的形状判断即可；
（2）根据从正面和上面看到的形状判断即可；
（3）根据从左面看到的形状图画出图形．
【解答】解：（1）由图可知a＝2，b＝c＝1．
故答案为：2，1，1；
（2）这个几何体最少由2+1+1+3+1＝8个小立方块搭成，
∴最多由2+1+1+3+3＝10个小立方块搭成．
故答案为：8，10；
（3）从左面看到的图形如图所示：
【点评】本题考查由从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形．
题型七 由三视图判断几何体
1．（2023秋 满城区期末）桌面上摆着一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，从它的正面看到的形状是，从它的左面看到的形状是，这个立体图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据观察物体的方法，从正面看，是四个正方形，下行三个，上行一个位于左面，排除A和D；从左面看是三个正方形，下行三个，上行一个位于右面，由此判断．
【解答】解：从左面看到的是三个正方形，右边一列二个正方形，左边一个正方形与右边一列下边的一个成一行；由此可得这个立体图形可能是．
故选：C．
【点评】此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
2．（2023 老河口市校级一模）如图所示，一个几何体恰好能通过两个小孔，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【分析】根据主视图、俯视图即可判断出这个几何体的形状．
【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆锥．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力和学生对三视图掌握程度和灵活运用能力．
3．（2023 启东市二模）如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体图形是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：由主视图和左视图为长方形判断出是柱体，由俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为三角形就是三棱柱．
4．（2024秋 大东区期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据俯视图得到这个几何体为锥体，再根据主视图和左视图得出该几何体是柱体和锥体的组合体．
【解答】解：根据俯视图发现该几何体为圆锥，B、C不符合题意，
根据主视图和左视图发现该几何体为圆柱和圆锥的结合体，D符合题意，
故选：D．
【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5．（2024 霍山县三模）从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个三角形，
∴此几何体为三棱柱．
故选：C．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
题型八 正方体的展开图
1．（2024秋 金沙县期中）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．能围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案．
【解答】解：A，C，D不是正方体的展开图，B是正方体的展开图．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的展开图，解题关键是根据正方体的特征，熟记正方体的11种展开图．
2．（2024秋 南海区月考）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由正方体及其表面展开图的特点，即可判断．
【解答】解：A、B、C中的图形能围成正方体，故A、B、C不符合题意；
D、图形围成几何体时，有两个面重合，不能围成正方体，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查几何体的展开图，关键是掌握正方体及其表面展开图的特点．
3．（2024秋 海淀区期末）如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据展开图可知，黑白两圆所在的小正方形为相对面，两个三角形所在小正方形为相邻面可排除A，B，由阴影三角形与白色圆的位置可排除C，据此进行判断即可．
【解答】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为：
．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握正方体的展开图是关键．
4．（2023秋 南山区期中）把如图所示的正方体展开，则选项中哪一个图形不是这个正方体的展开图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图案的相对位置作出判断即可．
【解答】解：由题知ACD三个选项中的图案都是原正方体的展开图，
B选项中黑色小圆圈与一个白色小圆圈相对了，故B选项中的图形不是原正方体的展开图，
故选：B．
【点评】本题主要考查正方体的展开图，根据小圆圈的相对位置得出结论是解题的关键．
5．（2024秋 利津县月考）下面是同一个立方体从三个不同角度拍到的三张照片，这个立方体的展开图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】运用排除法解答即可．
【解答】解：根据第一个正方体中，2和3相邻，可以排除选项C，因为它的2和3相对；
同理，根据第三个正方体中，5和6相邻，可以排除选项A，因为它的5和6相对；
根据第二个正方体中，2和4相邻，可以排除选项D，因为它的2和4相对；
综上所述，只有B符合要求．
故选：B．
【点评】本题考查正方体的展开图，解决此题的关键是找准正方体展开图中的相对面．
题型九 其它几何体的展开图
1．（2024 青海）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形即可得出答案．
【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面展开图，理解圆锥的侧面展开图是扇形是解决问题的关键．
2．（2024秋 南城县期中）下面的图形中，是三棱锥的侧面展开图的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三棱锥的三个侧面都是三角形，还要能围成一个立体图形，进而分析得出即可．
【解答】解：A、选项图形不可以围成三棱锥，选项不符合题意；
B、选项图形可以围成三棱锥，选项符合题意；
C、选项图形不可以围成三棱锥，选项不符合题意；
D、选项图形不可以围成三棱锥，选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，注意几何体的形状特点是关键．
3．（2024秋 北镇市期中）下列形状不同的四张纸板中，经过折叠能围成一个三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三棱柱的表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：根据三棱柱的表面展开图的特征可知，选项B中图形经过折叠能围成一个三棱柱，
故选：B．
【点评】本题考查展开图折叠城几何体，掌握三棱柱展开图的特征是正确解答的关键．
4．下列图形能折叠成三棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三棱柱的特点可得三棱柱是由两个三角形，三个矩形围成．
【解答】解：A、可以折叠成四棱锥，故此选项不符合题意；
B、可以折叠成三棱柱，故此选项符合题意；
C、可以折叠成圆锥，故此选项不符合题意；
D、可以折叠成三棱锥，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，关键是掌握三棱柱的特点．
5．（2023秋 青岛期末）下面图形经过折叠能围成棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】对每一个选项中的展开图进行分析，看折叠后的立体图形是不是棱柱即可解决问题．
【解答】解：第一个经过折叠能围成四棱柱（长方体），第二个经过折叠不能围成三棱柱，第三个经过折叠可以围成四棱柱（正方体），第四个经过折叠不能围成六棱柱．
故能围成棱柱的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查棱柱，掌握有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱是解题的关键．
题型十 正方体相对面上的数字
1．（2024 荷塘区校级模拟）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．中 B．考 C．胜 D．利
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是考，
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
2．（2024秋 农安县期末）做最好的自己！小明同学将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“自”时，下面的字是（ ）
A．做 B．最 C．好 D．己
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“好”字相对的面上的汉字是“自”．
故选：C．
【点评】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
3．（2024秋 太康县期中）如图是一个正方体的展开图，若在原正方体中相对两个面上的代数式的值相等，则代数式x2+a2+y2的值为（ ）
A．12 B．26 C．42 D．50
【分析】根据正方体的表面展开图先找出相对面，从而求出a，x﹣y，xy的值，然后再把所求的代数式化简后代入进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a与5相对，x﹣y与3相对，4与xy相对，
∴a＝5，x﹣y＝3，xy＝4，
x2+a2+y2＝（x﹣y）2+2xy+a2
＝9+8+25
＝42．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找出相对面求出x﹣y，xy的值是解题的关键．
4．（2023秋 西华县期末）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字母A所标注的代数式的值等于（ ）
A．8 B．﹣12 C．24 D．﹣8
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：由题意得：
x+6与x﹣3是相对面，y+2与y﹣2是相对面，A与﹣8x是相对面，
∴x+6+x﹣3＝0，
∴x，
∴A＝8x＝8×（）＝﹣12，
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
5．（2024秋 管城区校级月考）临近月考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光!”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”相对的是（ ）
A．总 B．发 C．努 D．力
【分析】根据正方体的展开图，可以得到折叠后的正方体，结合展开图中的各面的字，可以得到结果．
【解答】解：如图，把正方体的展开图折叠成正方体后，
∵正对的面上的字是“力”，左侧面上的字是“努”，上面的字是“总”，
右侧面上的字是“会”，下面的字是“光”，后面的字是“发”，
∴折叠后与“力”相对的是“发”．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟练地把展开图折叠成正方体的立体图形是解题的关键．
6．（2024秋 宝鸡期中）如图是正方体的展开图，已知图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则3x+1+y的值为 ．
【分析】需要知道相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得出的值．
【解答】解：由正方体的展开图可得3x+1与3相对，y与﹣3相对，﹣4与2相对，
∵相对面上的两个数之和相等，
∴3x+1+3＝﹣4+2，y﹣3＝﹣4+2，
解得x＝﹣2，y＝1，
故x＝﹣2，y＝1，
∴3x+1+y＝3×（﹣2）+1+1＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
题型十一 由展开图来判断立体图形的形状
1．（2024 牙克石市一模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的表面展开图可以判断这个几何体是三棱柱．
【解答】解：根据几何体的展开图可知：
这个几何体是：．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
2．（2024 鼓楼区一模）下列图形是三棱柱展开图的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
3．（2024 玄武区二模）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（ ）
A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱
【分析】根据五棱锥的侧面展开图得出答案．
【解答】解：由几何体的表面展开图由五个三角形和一个五边形组成，可知该几何体是五棱锥．
故选：A．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
4．（2024 陈仓区三模）下列图形中不是三棱柱的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，直接判断出A不符合题意．
【解答】解：三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，故选项A不是三棱柱的表面展开图．
故选：A．
【点评】本题考查了三棱柱的展开图，关键用两个底面的位置来判断．
5．（2024 西安校级模拟）下列图形中是圆锥展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由圆锥的展开图特点：侧面是扇形，底面是个圆．
【解答】解：A．圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故本选项符合题意；
B．该图形是三棱柱的展开图，故本选项不符合题意；
C．该图形是圆柱的展开图，故本选项不符合题意；
D．该图形是正方体的展开图，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟悉圆锥的展开图特点，是解答此题的关键．
题型十二 截一个几何体
1．（2024秋 坪山区校级期中）用一个平面去截下列几何体，截得的平面图形可能是圆的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据三棱柱，圆锥，圆柱，四棱柱的特点判断即可．
【解答】解：根据题意可知，三棱柱，四棱柱的截面不可能是圆，
圆锥，圆柱的截面可能是圆．
故选：C．
【点评】本题考查了截一个几何体，认识平面图形，掌握几何体的空间结构是关键．
2．（2024秋 兴平市期中）用一个平面去截下面的几何体，不能得到三角形截面的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】看所给选项的截面能否得到三角形即可．
【解答】解：A、用一个平面去截长方体，截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；
B、用一个平面去截三棱柱，截面可能是三角形，长方形，不符合题意；
C、用一个平面去截圆锥，截面可能是圆，三角形，不符合题意；
D、用一个平面去截圆柱，截面可能是圆，长方形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了截一个几何体，掌握几何体的空间结构是关键．
3．（2024秋 永年区期中）如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到一个新的多面体，这个多面体的面数和棱数分别是（ ）
A．8、12 B．7、12 C．8、10 D．7、10
【分析】根据正方体有12条棱，6个面，截去正方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，棱数不变，少了一个顶点即可得解．
【解答】解：由图可得，多面体的面数是7，棱数为12，
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的截面，正确进行分析是解题关键．
4．（2023秋 温江区期末）如图，圆柱形桶中装一半的水，将桶水平放置，此时桶中水面的形状是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】水面的形状是平面，实际上就是用垂直于底面的平面截这个圆柱体所得到的截面的形状即可．
【解答】解：桶内水面的形状，就是用垂直于底面的平面截这个圆柱体所得到的截面的形状，
而圆柱体用垂直于底面的平面去截可得到长方形的截面，
故选：A．
【点评】本题考查截一个几何体，掌握圆柱体的形体特征是正确判断的前提．
5．（2024秋 福鼎市期中）用一个平面去截下列几何体，截面的形状不可能是长方形的是（ ）
A．长方体 B．三棱柱 C．球 D．圆柱
【分析】根据圆锥、圆柱、三棱柱、六棱柱的形状特点逐项判断即可得．
【解答】解：A、长方体的截面可能为长方形，选项说法正确，不符合题意；
B、三棱柱的截面可能为长方形，选项说法正确，不符合题意；
C、球的截面不可能为长方形形，选项说法错误，符题意；
D、圆柱的截面可能为长方形，选项说法正确，不符题意．
故选：C．
【点评】本题考查了截一个几何体，掌握几何体的空间形状特点是解题关键．
6．（2024秋 南城县校级月考）用一个平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱、球的形状判断即可．
【解答】解：用一个平面去截圆柱，截面可能为长方形，
用一个平面去截长方体，截面可能为长方形，
用一个平面去截四棱柱，截面可能为长方形，
用一个平面去截圆锥，截面不可能为长方形，
用一个平面去截球，截面不可能为长方形，
故截面可能是长方形的有圆柱，长方体，四棱柱，3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查几何体的截面问题，掌握各几何体的特点是解题的关键．
题型十三 几何体的表面积
1．（2024秋 内江期中）如图，长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3 C．x2+4x D．2x2+4x
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两种视图的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3）；S左＝x2+x＝x（x+1）；
∴S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、左视图、和俯视图，想象几何体的前面上面和左面的形状以及几何体的长宽高．
2．（2024秋 张店区期中）如图，将若干个相同的小正方体堆成如图所示的立体图形．若每个小正方体的棱长为3cm，则这个立体图形的表面积为（ ）
A．150cm2 B．180cm2 C．450cm2 D．540cm2
【分析】分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积可得到答案．
【解答】解：根据题意可知，从立体图形的上面看，露在外面的小正方体的面一共有1+2+3+4＝10（个），
从立体图形的下面看露在外面的小正方体的面一共有1+2+3+4＝10（个），
从立体图形的左面看，露在外面的小正方体的面一共有1+2+3+4＝10（个），
从立体图形的右面看，露在外面的小正方体的面一共有1+2+3+4＝10（个），
从立体图形的正面看，露在外面的小正方体的面一共有1+2+3+4＝10（个），
从立体图形的后面看，露在外面的小正方体的面一共有1+2+3+4＝10（个），
∴该立体图形露在外面的面一共有60个，
∵小立方体的棱长为3cm，
∴这个几何体的表面积为：60×32＝60×9＝540（cm2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何体的表面积，掌握几何体的表面积公式是关键．
3．（2024秋 威海期中）如图，有一个棱长是4cm的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1cm的正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比较（ ）
A．变大了 B．变小了
C．没变 D．无法确定变化
【分析】观察图发现：挖去小正方体后，减少了三个面，又增加了三个面，剩下物体的表面积和原来的表面积相等．
【解答】解：挖去小正方体后，剩下物体的表面积与原来的表面积相比较没变化，
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的表面积，挖正方体的相对面的面积是相等的．
4．（2024秋 七星关区校级月考）一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是5cm，侧棱长是4cm，该六棱柱的侧面积之和是（ ）cm2
A．120 B．20 C．100 D．150
【分析】六棱柱有六个侧面，求出一个侧面的面积再乘以6即可．
【解答】解：5×4×6＝120（cm2），
∴六棱柱的侧面积之和是120cm2．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的表面积，熟练掌握立体图形的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
5．（2024 碑林区校级开学）一个长方体木块的长为8厘米，宽为6厘米，高为10厘米，在这个木块的一个角上挖掉一个棱长为3厘米的正方体，这个木块现在的表面积是 平方厘米．
【分析】由题意可知：挖去一个小正方体后，减少了小正方体的3个面，同时又增加了小正方体的3个面，因此在这个木块中挖掉一个棱长为3厘米的正方体，表面积不变等于原来长方体的表面积，于是利用长方体的表面积公式S＝（ab+ah+bh）×2，即可得解．
【解答】解：（8×6+8×10+6×10）×2
＝（48+80+60）×2
＝188×2
＝376（平方厘米），
答：这个木块现在的表面积是376平方厘米．
故答案为：376．
【点评】本题考查了几何体的表面积和认识立体图形，掌握长方体的表面积公式是解题的关键．
6．（2024 温江区校级开学）如图是一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯去一个正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米．锯下正方体木料的表面积是 30 平方厘米．
【分析】根据题意可知，把这根长方体木料锯下一个正方体，这个正方体的棱长等于原来长方体的底面边长．表面积减少的是锯下的正方体的4个面的面积，由此可以求出锯下的正方体的一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答．
【解答】解：（74﹣54）÷4×6
＝20÷4×6
＝5×6
＝30（平方厘米）．
答：锯下正方体木料的表面积是30平方厘米．
故答案为：30．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的表面积的应用，关键是求出原来长方体木料的底面的面积，即锯下的正方体的一个面的面积．
题型十四 几何体的体积
1．（2024秋 公主岭市期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm，则底面正方形的边长是 cm．
【分析】根据图形得到底面正方形边长．
【解答】解：由图形可知：底面正方形的边长＝17﹣12＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
2．已知一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，求该几何体的体积．
【分析】根据三视图，得出这个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．
【解答】解：由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
∴V＝5×5×5﹣1×1×5＝120，
∴几何体的体积是120．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，根据三视图得出几何体的形状是计算体积的关键．
3．（2024秋 金水区期中）在学习《从立体图形到平面图形》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图（如图所示）．拼完后，小明发现所拼长方体的展开图存在问题．
（1）请你帮小明直接在图中修改，若有多余面，则把图中多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全；
（2）长方体共有 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开，得到问题（1）中修正后的展开图，则需要剪开 条棱；
（3）根据图中的数据，求出用修正后的展开图折叠而成的长方体的体积．
【分析】（1）由长方体的展开图解题解答即可；
（2）由平面图形的折叠及长方体的展开图解题；
（3）按平面折叠成几何体后求得体积．
【解答】解：（1）有多余面，
；
（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱；
故答案为：12，7；
（3）底面正方形边长：12÷4＝3（cm），
长方体高：17﹣3×3＝8（cm），
长方体体积为：3×3×8＝72（cm3），
答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为72cm3．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握长方体的展开图特点是解答本题的关键．
4．（2024秋 滕州市校级月考）如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图．
（1）这个食品包装盒的几何体名称是 ；
（2）若AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，DF＝6cm，求这个几何体的所有棱长的和及体积．
【分析】由平面图形的折叠及棱柱体的展开图解题．
【解答】解：（1）由展开图可知该几何体名称是三棱柱，
故答案为：三棱柱；
（2）所有棱长为（3+4+5）×2+6×4＝48（cm），
体积为（3×4÷2）×6＝36（cm2）．
【点评】解题时勿忘记三棱柱的特征及棱柱的体积计算方法．
5．（2024秋 东平县校级月考）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．
（1）如图1是一张长方形纸片，AB长为8cm，BC长为12cm．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π）
（2）已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π）
【分析】（1）分绕AD和BC两边中点所在直线旋转一周和绕AB和CD两边中点所在直线旋转一周两种情况解答即可；
（2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）当绕AD和BC两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：12π×8＝168π（cm2）；
当绕AB和CD两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：8π×12＝128π（cm2）；
故形成的几何体的表面积为168πcm2或128πcm2；
（2）三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为4cm，高均为3cm，
得到的几何体的体积V＝π×42×332π（cm3）．
【点评】本题考查点、线、面、体以及几何体的表面积，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键．
题型十五 与圆柱有关的计算
1．（2024秋 龙凤区校级期中）把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（ ）平方厘米．
A．240 B．80 C．120 D．160
【分析】把圆柱形木料平行于底面截成3段会增加4个底面，由此即可得．
【解答】解：因为把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段会增加4个底面，
所以表面积增加了20×4＝80（平方厘米），
故选：B．
【点评】本题考查了圆柱的表面积，熟练掌握把圆柱形木料平行于底面截成3段会增加4个底面是解题关键．
2．（2024 临湘市校级开学）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（ ）
A．2：π B．1：π C．1：2π D．不能确定
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：C＝tπ，那么d，据此解答．
【解答】解：这个圆柱的底面直径与高的比是d：πd＝1：π．
故选：B．
【点评】此题考查了圆柱的计算，考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆的周长公式、比的意义及应用．
3．（2024 衡阳开学）如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（ ）
A．2rh B．4rh C．2πr2 D．4πr2
【分析】根据表面积增加了两个边长为2r和h的矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加2r×h×2＝4rh．
故选：B．
【点评】本题考查了截一个几何体，圆柱的计算和几何体的表面积，掌握几何体的特点是关键．
4．（2023秋 龙潭区期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（ ）
A．64πm2 B．72πm2 C．68πm2 D．80πm2
【分析】由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：2π，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积．
【解答】解：∵半圆的直径为4m，
∴半径为2m，
∴塑料膜的面积＝2π×32+π×22＝68π（平方米）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了．
5．（2024秋 云岩区期中）如图，将一张长为6cm，宽为4cm的长方形纸片分别绕它的长、宽所在直线旋转一周，可以得到两个不同的圆柱体．
（1）请计算这两个圆柱体的侧面积并比较大小．（结果保留π）
（2）如果长方形的长为a cm，宽为b cm，上面的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】根据圆柱的侧面积公式，分别计算两个圆柱的侧面积即可．
【解答】解：（1）因为绕它的长所在直线旋转一周，得到的圆柱体的侧面积为2π×4×6＝48π（cm2），
绕它的宽所在直线旋转一周，得到的圆柱体的侧面积为2π×6×4＝48π（cm2），
所以这两个圆柱体的侧面积相等；
（2）上面的结论还成立，
理由：因为绕它的长所在直线旋转一周，得到的圆柱体的侧面积为2πb×a＝2πab（cm2），
绕它的宽所在直线旋转一周，得到的圆柱体的侧面积为2πa×b＝2πab（cm2），
所以上面的结论还成立．
【点评】本题考查圆柱的计算、点、线、面、体、几何体的表面积，掌握圆柱侧面积的计算方法是解题的关键．
题型十六 与圆锥有关的计算
1．（2024秋 秦皇岛期中）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若小正方形方格的边长为2cm，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠AOB＝90°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，OA＝OB4（cm），AB＝8cm，
∴OA2+OB2＝32+32＝64，AB2＝64，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴的长为：6π（cm），
则圆锥底面半径为：6π2π＝3（cm），
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
2．（2024秋 岳麓区月考）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40cm，底面圆的半径为30cm，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．700πcm2 B．900πcm2 C．1200πcm2 D．1600πcm2
【分析】利用圆锥的侧面积＝圆锥母线×π×圆锥底面圆的半径直接求出侧面积．
【解答】解：∵圆锥的母线长为40cm，底面圆的半径为30cm，
∴圆锥的侧面积＝π×40×30＝1200π（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆锥侧面积公式求解是解题关键．
3．（2024秋 裕华区校级月考）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则母线AB的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，进而得出圆锥的侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵BC＝6cm，BC为底面直径，
∴圆锥的底面周长＝6πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为6πcm，
，
∴AB＝5，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4．（2023秋 濉溪县校级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，若以点B为圆心，BA为半径，剪出扇形ABE．
（1）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆的半径．
【分析】（1）由矩形面积，扇形面积的计算方法由S阴影部分＝S矩形ABCD﹣S扇形ABE可得答案；
（2）由圆锥的底面周长等于扇形弧长，列方程求解即可．
【解答】解：（1）S阴影部分＝S矩形ABCD﹣S扇形ABE
＝6×4
＝24﹣4π，
即阴影部分的面积为24﹣4π；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得
，
解得r＝1，
即圆锥的底面圆的半径为1．
【点评】本题考查扇形面积的计算，圆锥的计算，掌握扇形面积的计算方法，弧长的计算公式是正确解答的关键．
5．（2024秋 盐城期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
（1）这顶锥形草帽的底面半径为 cm，侧面积为 cm2；（结果保留π）
（2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
【分析】（1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解；
（2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可．
【解答】解：（1）∵母线长为25cm、高为20cm，
∴底面半径为r15（cm），
侧面积为πrl＝15×25π＝375π（cm2），
故答案为：15；375π；
（2）设扇形卡纸的圆心角的度数为n°，
由题意得，
解得n＝216，
所以所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度．
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度．
【点评】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用．
6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【分析】（1）设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴 BC AD﹣S扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π DE，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．
（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S阴 BC AD﹣S扇形AEF10×20（100﹣25π）cm2．
【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．
（1）求圆锥形纸杯的侧面积．
（2）若在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离．
【分析】（1）根据扇形的面积公式计算即可得到结果；
（2）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，求出EA长即可，在Rt△EOA中，OA＝8，0E＝10，根据勾股定理求出AE，即可得出结果．
【解答】解：（1）S圆锥的侧面积10×10π＝50π；
（2）圆锥侧面沿母线OF展开可得下图：
则圆锥底面周长的一半10π，
∴n＝90，即∠EOF＝90°，
在Rt△AOE中，OA＝8cm，OE＝10cm，
根据勾股定理可得：AE＝2cm，
所以蚂蚁爬行的最短距离为2cm．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．中小学教育资源及组卷应用平台
第3章《三视图与表面展开图》单元重点题型专练
题型一 平行投影
1．（2024 赤峰一模）下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
2．（2024秋 沈河区校级期末）平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 金凤区校级月考）下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（ ）
A．①→②→③→④ B．④→②→③→① C．③→④→①→② D．①→③→②→④
4．（2024 张家口一模）矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋 九江月考）下列图形是平行投影的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 中心投影
1．（2024秋 秦都区校级月考）下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．阳光下沙滩上人的影子
B．晚上人走在路灯下的影子
C．中午用来乘凉的树影
D．阳光下旗杆的影子
2．（2023秋 榆中县期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影
B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影
D．不能确定
3．（2024秋 浑南区期末）如图1，2分别反映了小树在同一时刻的影子，关于影子的形成说法正确的是（ ）
A．图1，2的影子都是在太阳光下形成的
B．图1的影子是在灯光下形成的，图2的影子是在太阳光下形成的
C．图1的影子是在太阳光下形成的，图2的影子是在灯光下形成的
D．图1，2的影子都是在灯光下形成的
4．（2023秋 东港区期末）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
5．（2024 济南一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各种现象：①皮影戏中的影子；②物体在太阳光形成下的影子；③探照灯下的投影；④路灯下人的影子，其中属于中心投影的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
题型三 简单几何体的三视图
1．（2023秋 沈阳期末）如图，圆锥从正面看是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋 碑林区校级期末）下列四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋 绵阳期末）如图，分别从前面、左面、上面观察下列几何体，得到的平面图形相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024 巴中模拟）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024 易门县二模）下面四个几何体，同一个几何体从正面看和从左面看的形状图相同，这样的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型四 简单组合体的三视图
1．（2024秋 金水区校级月考）如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 廊坊期末）如图，这是由六个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024 河东区二模）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 重庆期中）一个三棱柱如图所示摆放在地面，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 于洪区期末）如图所示的几何体，其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024 莲都区二模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 在格点中作几何体的三视图
1．（2024秋 二道区期末）如图是由6个大小相同的小立方体方块搭成的几何体．请按要求在方格内分别画出从三个不同方向看到的这个几何体的形状图．
2．（2024秋 沈阳校级期末）如图是由十块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
3．（2024秋 农安县期末）如图，这是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体．
（1）请在网格中画出它的三视图．
（2）如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以有 种添加方法．
4．（2024秋 北镇市期中）一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示．
（1）在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
（2）给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？
5．（2024秋 灞桥区校级期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示，请画出这个几何体从三个方向看到的图形．
6．（2024秋 高新区校级月考）如图是由大小相同的8个小立方块搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图；
（2）若每个小正方体的棱长均为1cm，这个几何体的体积是 ；
（3）用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
题型六 由三视图确定小立方体的个数
1．（2024秋 三原县期中）如图是由若干个小正方体木块搭建成的几何体从正面、左面和上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
2．（2024秋 铁西区期中）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋 新华区校级期末）如图，是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2023秋 聊城期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（2024秋 南海区校级月考）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）当d＝2，e＝3时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图．
题型七 由三视图判断几何体
1．（2023秋 满城区期末）桌面上摆着一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，从它的正面看到的形状是，从它的左面看到的形状是，这个立体图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023 老河口市校级一模）如图所示，一个几何体恰好能通过两个小孔，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
3．（2023 启东市二模）如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体图形是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
4．（2024秋 大东区期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024 霍山县三模）从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
题型八 正方体的展开图
1．（2024秋 金沙县期中）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 南海区月考）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 海淀区期末）如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋 南山区期中）把如图所示的正方体展开，则选项中哪一个图形不是这个正方体的展开图（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 利津县月考）下面是同一个立方体从三个不同角度拍到的三张照片，这个立方体的展开图是（ ）
A． B．
C． D．
题型九 其它几何体的展开图
1．（2024 青海）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 南城县期中）下面的图形中，是三棱锥的侧面展开图的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024秋 北镇市期中）下列形状不同的四张纸板中，经过折叠能围成一个三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形能折叠成三棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋 青岛期末）下面图形经过折叠能围成棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型十 正方体相对面上的数字
1．（2024 荷塘区校级模拟）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．中 B．考 C．胜 D．利
2．（2024秋 农安县期末）做最好的自己！小明同学将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“自”时，下面的字是（ ）
A．做 B．最 C．好 D．己
3．（2024秋 太康县期中）如图是一个正方体的展开图，若在原正方体中相对两个面上的代数式的值相等，则代数式x2+a2+y2的值为（ ）
A．12 B．26 C．42 D．50
4．（2023秋 西华县期末）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字母A所标注的代数式的值等于（ ）
A．8 B．﹣12 C．24 D．﹣8
5．（2024秋 管城区校级月考）临近月考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光!”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”相对的是（ ）
A．总 B．发 C．努 D．力
6．（2024秋 宝鸡期中）如图是正方体的展开图，已知图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则3x+1+y的值为 ．
题型十一 由展开图来判断立体图形的形状
1．（2024 牙克石市一模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 鼓楼区一模）下列图形是三棱柱展开图的（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024 玄武区二模）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（ ）
A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱
4．（2024 陈仓区三模）下列图形中不是三棱柱的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024 西安校级模拟）下列图形中是圆锥展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
题型十二 截一个几何体
1．（2024秋 坪山区校级期中）用一个平面去截下列几何体，截得的平面图形可能是圆的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2024秋 兴平市期中）用一个平面去截下面的几何体，不能得到三角形截面的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024秋 永年区期中）如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到一个新的多面体，这个多面体的面数和棱数分别是（ ）
A．8、12 B．7、12 C．8、10 D．7、10
4．（2023秋 温江区期末）如图，圆柱形桶中装一半的水，将桶水平放置，此时桶中水面的形状是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 福鼎市期中）用一个平面去截下列几何体，截面的形状不可能是长方形的是（ ）
A．长方体 B．三棱柱 C．球 D．圆柱
6．（2024秋 南城县校级月考）用一个平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型十三 几何体的表面积
1．（2024秋 内江期中）如图，长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3 C．x2+4x D．2x2+4x
2．（2024秋 张店区期中）如图，将若干个相同的小正方体堆成如图所示的立体图形．若每个小正方体的棱长为3cm，则这个立体图形的表面积为（ ）
A．150cm2 B．180cm2 C．450cm2 D．540cm2
3．（2024秋 威海期中）如图，有一个棱长是4cm的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1cm的正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比较（ ）
A．变大了 B．变小了
C．没变 D．无法确定变化
4．（2024秋 七星关区校级月考）一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是5cm，侧棱长是4cm，该六棱柱的侧面积之和是（ ）cm2
A．120 B．20 C．100 D．150
5．（2024 碑林区校级开学）一个长方体木块的长为8厘米，宽为6厘米，高为10厘米，在这个木块的一个角上挖掉一个棱长为3厘米的正方体，这个木块现在的表面积是 平方厘米．
6．（2024 温江区校级开学）如图是一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯去一个正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米．锯下正方体木料的表面积是 30 平方厘米．
题型十四 几何体的体积
1．（2024秋 公主岭市期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm，则底面正方形的边长是 cm．
2．已知一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，求该几何体的体积．
3．（2024秋 金水区期中）在学习《从立体图形到平面图形》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图（如图所示）．拼完后，小明发现所拼长方体的展开图存在问题．
（1）请你帮小明直接在图中修改，若有多余面，则把图中多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全；
（2）长方体共有 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开，得到问题（1）中修正后的展开图，则需要剪开 条棱；
（3）根据图中的数据，求出用修正后的展开图折叠而成的长方体的体积．
4．（2024秋 滕州市校级月考）如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图．
（1）这个食品包装盒的几何体名称是 ；
（2）若AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，DF＝6cm，求这个几何体的所有棱长的和及体积．
5．（2024秋 东平县校级月考）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．
（1）如图1是一张长方形纸片，AB长为8cm，BC长为12cm．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π）
（2）已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π）
题型十五 与圆柱有关的计算
1．（2024秋 龙凤区校级期中）把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（ ）平方厘米．
A．240 B．80 C．120 D．160
2．（2024 临湘市校级开学）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（ ）
A．2：π B．1：π C．1：2π D．不能确定
3．（2024 衡阳开学）如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（ ）
A．2rh B．4rh C．2πr2 D．4πr2
4．（2023秋 龙潭区期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（ ）
A．64πm2 B．72πm2 C．68πm2 D．80πm2
5．（2024秋 云岩区期中）如图，将一张长为6cm，宽为4cm的长方形纸片分别绕它的长、宽所在直线旋转一周，可以得到两个不同的圆柱体．
（1）请计算这两个圆柱体的侧面积并比较大小．（结果保留π）
（2）如果长方形的长为a cm，宽为b cm，上面的结论还成立吗？请说明理由．
题型十六 与圆锥有关的计算
1．（2024秋 秦皇岛期中）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若小正方形方格的边长为2cm，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024秋 岳麓区月考）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40cm，底面圆的半径为30cm，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．700πcm2 B．900πcm2 C．1200πcm2 D．1600πcm2
3．（2024秋 裕华区校级月考）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则母线AB的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．（2023秋 濉溪县校级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，若以点B为圆心，BA为半径，剪出扇形ABE．
（1）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆的半径．
5．（2024秋 盐城期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
（1）这顶锥形草帽的底面半径为 cm，侧面积为 cm2；（结果保留π）
（2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
7．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．
（1）求圆锥形纸杯的侧面积．
（2）若在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离．
