4.5 相似三角形的性质及其应用(2) 提优训练（含答案）2024-2025学年浙教版九年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台
4.5 相似三角形的性质及其应用(2)
基础巩固
1.如图所示,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式中，一定成立的是( ).
2.如图所示,在 ABCD中,点E 在边DC上,DE:EC=3:1,连结AE交BD 于点F,则△DEF的面积与△BAF 的面积之比为( ).
A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1
3.如图所示,在△ABC 中,D 是AB 边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图所示，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，那么 S△DEF : S△ABC的值为 .
5.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O 与原点重合，顶点 B 在x轴上，∠ABO=90°,OA 与反比例函数 的图象交于点 D,且OD=2AD,过点 D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=10,则k的值为 .
6.已知两个相似三角形的一组对应边长分别是35cm和14cm.
(1)若它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长.
(2)若它们的面积相差588cm ，求这两个三角形的面积.
能力提升
7.如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O,若S△DOE : S△COA=1:9,则S△BDE与S△CDE的比是( ).
A.1:3 B.1:2 C.1:4 D.1:9
8.点 E,F分别在 ABCD的边BC,AD上,BE=DF,点 P 在边AB上,AP:PB=1:n(n>1),过点 P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S1,S2的两部分,将△CDF分成面积为S3，S4的两部分(如图所示).现有下列四个等式： ②: S4- S4)=n:(n+1).其中成立的是( ).
A.①②④ B.②③ C.②③④ D.③④
9.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,D是BC 边上一点,DE⊥AB于点E,∠ADC=45°,若DE:AE=1:5,BE=3,则△ABD的面积为 .
10.如图所示，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 .
11.如图所示,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连结AE,则△ABE的面积为 .
12.如图所示,已知AD是△ABC的角平分线,⊙O经过A,B,D三点.过点 B作BE∥AD,交⊙O于点E,连结 ED.
(1)求证:ED∥AC.
(2)若BD=2CD,设△EBD的面积为S ,△ADC的面积为S2,且 求△ABC的面积.
夯实演练
13.如图所示,在 ABCD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分线交BC 于点E,交 DC的延长线于点F,BG⊥AE于点G,若BG=8,则△CEF的周长为( ).
A.16 B.17
C.24 D.25
14.如图所示,在△ABC 中,点 D,E,F 分别在AB,BC,AC 边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC.
(2)设
①若 BC=12,求线段 BE 的长.
②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
15.如图所示,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E 在边BC 上沿点B 到点C方向运动，且DE始终经过点A，EF 与AC 交于点M.
(1)求证:△ABE∽△ECM.
(2)在△DEF的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形 若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由.
(3)当线段AM 最短时，求重叠部分的面积.
4.5 相似三角形的性质及其应用(2)
1. D 2. B 3. C 4.2 5.-16
6.(1)较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm.
(2)较大的三角形的面积为 700cm ，较小的三角形的面积为112cm .
7. B 8. B 9.1310.
11.78 【解析】∵在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,
15×20=150.
∵AD=5,∴CD=AC-AD=15.
∵DE⊥BC,∴∠DEC=∠BAC=90°.
又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA.
即 解得CE=12.
∴BE=BC-CE=13.
12.(1)∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAC.
∵∠E=∠BAD,∴∠E=∠DAC.
∵BE∥AD,∴∠E=∠EDA.
∴∠EDA=∠DAC.∴ED∥AC.
(2)∵BE∥AD,∴∠EBD=∠ADC.
又∵∠E=∠DAC,
∴△EBD∽△ADC,且相似比.
即
即
13. A 【解析】∵在□ABCD中,CD=AB=10,BC=AD=15,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,∴AB∥DC,∠BAF=∠DAF.
∴∠BAF=∠F.∴∠DAF=∠F.∴DF=AD=15.
同理,BE=AB=10,∴CF=DF-CD=15-10=5.
在 Rt△ABG中,
∴AE=2AG=12.
∴△ABE的周长为10+10+12=32.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CF.
∴△CEF∽△BEA,相似比为5 :10=1:2.
∴△CEF的周长为16.故选 A.
14.(1)∵DE∥AC,∴∠DEB=∠FCE.
∵EF∥AB,∴∠DBE=∠FEC.∴△BDE∽△EFC.
∵EC=BC-BE=12-BE,
解得 BE=4.
∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC.
15.(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B.
∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE.∴△ABE∽△ECM.
(2)能.∵∠AEF=∠B=∠C,∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF.∴AE≠AM.
①当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5.∴BE=BC-EC=1.
②当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE =∠MEA +∠CEM, 即∠CAB
=∠CEA.
∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA.∴CE=AC.
∴BE=1或
(3)设 BE=x.
∴当x=3时,AM最短为
此时 ∴E为BC的中点.
又