4.4 两个三角形相似的判定(4) 提优训练（含答案）2024-2025学年浙教版九年级数学上册

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4.4 两个三角形相似的判定(3)
基础巩固
1.如图所示,在 ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD 于点F,若BE:BC=2:3,则下列选项中,错误的是( ).
2.如图所示,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边上的点,DE∥BC,点 F 为BC 边上一点，连结AF交DE 于点G，则下列结论中，正确的是( ).
3.如图所示，AB是⊙O的直径，过点O作AB 的垂线与弦AC交于点D，连结 BC，若OD=3,⊙O的半径为4,则CD的长为( ).
A.1.4 B.1.8 C.2.4 D.2.6
4.如图所示，边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E，F，G分别在AB,BC,FD上.若BF=3,则小正方形的边长为( ).
A. B.2 C.4 D.5
5.如图所示,点D,E分别在AB,AC上,且∠ABC=∠AED,若DE=4,AE=5,BC=8,则 AB 的长为 .
6.如图所示,在 ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD 于点F,如果 那么 的值为 .
7.如图所示,已知在△ABC中,AB=3,AC=2,D是边AB 上的一点,∠ACD=∠B,∠BAC的平分线AQ分别与CD,BC交于点P,Q,那么 的值为 .
8.如图所示,在锐角三角形 ABC中,点 D,E 分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=3,AB=5,求 的值.
能力提升
9.如图所示，等腰直角三角形ABC的直角边长为3，P为斜边BC 上一点，且BP=1，D为AC 上一点.若∠APD=45°,则CD的长为( ).
A. D.
10.如图所示,D是等边三角形ABC边AB上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点 E,F分别在AC和BC上,则CE:CF为( ).
A. B. C. D.
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Rt△MPN的直角顶点 P 在AC上,PM交AB 于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP 的长为 .
12.如图所示,在△ABC中,AB=AC=6,∠A=2∠BDC,BD交AC边于点E,且AE=4,则BE·DE= .
13.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,对角线AC,BD交于点E,且AC⊥BD.
(1)求证:(
(2)F是BC边上一点,连结AF 与BD 交于点G,如果∠BAF=∠DBF,求证:
14.如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点 ,点 D 的坐标为(0,1).
(1)求直线 AD 的函数表达式.
(2)直线AD与x轴交于点B,若E是直线AD 上一动点(不与点 B 重合),当△BOD与△BCE 相似时,求点 E 的坐标.
夯实演练
15.如图所示,在 ABCD中,∠ABC 的平分线交AC 于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G.若AF=2FD,则 的值为( ).
A. B. C. D.
16.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,AF平分 分别交 DC,BC的延长线于点E,F,连结DF,过点A作AH∥DF,分别交 BD,BF于点G,H.
(1)求 DE 的长.
(2)求证:∠1=∠DFC.
秀秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是 的中线，且. BE,垂足为点 P,设BC=a,AC=b,AB=c.求证:( ）
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连结 EF，利用EF 为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故 设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF 中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证.
(1)请你根据以上解题思路帮秀秀同学写出证明过程.
(2)利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点,连结BE,CF 并延长交于点M,BM,CM分别交AD 于点G,H,如图2所示，求 的值.
4.4 两个三角形相似的判定(3)
1. C 2. A 3. C 4.②③ 5.5
∴△ADF∽△EBF.∴∠1=∠E.
∵∠1=∠2,∴∠2=∠E.
∵∠BFG=∠EFB,∴△BEF∽△GBF.
即.BF =FG·EF.
7. B 8. Q,G 9.(1, )或(1,2+ )或(1,2- )
10.(1)∵E,F分别为 BC,AC的中点,
∴EF∥AB且
∵D是AB的中点,∴EF∥AD且EF=AD.
∴四边形 ADEF 是平行四边形.
(2) 如答 图 所示, 连结DH,DF.
∵AH⊥BC于点 H,D,F分别是AB,CA的中点,∴DH
∵D,E,F分别是 AB,BC,CA的中点,
∴∠DHF=∠DEF.
11.(1)∵BF⊥AE,CG∥AE,∴CG⊥BF.
∴∠CBG+∠BCG=90°,∠BAH+∠ABH=90°.
∵∠ABH+∠CBG=90°,
∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG.
∵AB=BC.∴△ABH≌△BCG.∴CG=BH.
(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90°,
∴△CFG∽△BFC.
即FC =BF·GF.
(3)同(2)可知BC°=BG·BF.
∵AB=BC,∴AB =BG·BF.
12. C
13.5 【解析】∵在 Rt△ABC 中,AC=1,BC=2,
∴与Rt△ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2.
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6 ，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出 DE 的三角形.
∴△DEF为符合条件的面积最大的三角形，其斜边长为5
14.(1)设AP=x.
∵以A，D，P为顶点的三角形与以 B，C，P 为顶点的三角形相似，
①当△ADP∽△BPC时,则
解得x=2或6.
②当△ADP∽△BCP时,则
解得x=2.
∴当以A，D，P为顶点的三角形与以 B，C，P为顶点的三角形相似时，AP 的值为2或6.
(2)设PA=x.∵△ADP∽△BPC,∴ABP=ABC.
整理得
由题意
∴当a,b,m满足 时,一定存在点 P 使△ADP∽△BPC.