4.4 两个三角形相似的判定(1) 提优训练（含答案）2024-2025学年浙教版九年级数学上册

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4.4 两个三角形相似的判定(1)
基础巩固
1.下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是( ).
A.都含有一个30°的内角 B.都含有一个45°的内角
C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个80°的内角
2.如图所示, ABCD中,E是AD延长线上一点,BE交AC,DC于点F,G,则下列结论中，错误的是( ).
A.△ABE∽△DGE B.△CGB∽△DGE
C.△BCF∽△EAF D.△ACD∽△GCF
3.如图所示,F是△ABC的边BC上一点,DE∥BC交AF 于点G,若 则 的值为( ).
A. B. C. D.
4.如图所示,E 是□ABCD 的边AD 上一点, CE 与BD 相交于点 F,BD=10,则 DF 的长为 .
5.如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠ADE=∠B,若AE=4,AB=5,则AD 的长为 .
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB 于点E.求证:△ABD∽△CBE.
7.如图所示,CD为⊙O的直径,弦AB交CD 于点E,连结BD,OB.
(1)求证:△AEC∽△DEB.
(2)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求⊙O的半径.
能力提升
8.如图所示,在锐角三角形 ABC中,∠A=60°,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,那么DE:BC为( ).
A.2:3 B.1:3 C.1:2 D.3:2
9.如图所示,点E,F分别在菱形ABCD 的边AB,AD上,且AE=DF,BF交DE 于点G,延长 BF交CD 的延长线于点 H，若 则 的值为( ).
A. B. C. D.
10.如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连结OE交AD 于点F.若CD=5,BC=8,AE=2,则AF 的长为 .
11.如图所示,在正方形ABCD中,H为CD 的中点,延长AH 至点F,使AH=3FH;过点F作FG⊥CD，垂足为点G；过点 F作BC 的垂线交BC 的延长线于点E.求证：
(1)△ADH∽△FGH.
(2)四边形CEFG是正方形.
12.如图所示,△ABC内接于⊙O,AB 是⊙O的直径;CD平分∠ACB 交⊙O于点 D,交AB 于点F;弦AE⊥CD于点 H;连结CE,OH.
(1)求证:△ACE∽△CFB.
(2)若AC=6,BC=4,求OH的长.
夯实演练
13.如图所示,点C在∠AOB 的内部,∠OCA=∠OCB,∠OCA与∠AOB互补.若AC=1.5,BC=2,则OC的长为 .
14.如图所示,在矩形 ABCD中,E 是BC 的中点;DF⊥AE,垂足为点 F.
(1)求证:△ABE∽△DFA.
(2)若AB=6,BC=4,求DF 的长.
15.如图所示,Rt△AB'C'是由 Rt△ABC绕点A 按顺时针旋转得到的,连结( 交斜边于点 E,CC'的延长线交BB'于点 F.
(1)求证:△ACE∽△FBE.
(2)设 试探索α，β满足怎样的数量关系时,△ACE≌△FBE,请说明理由.
4.3 相似三角形
1. C 2. C 3. A 4. 5.
6.(1)∵△ABC∽△DAC,
即 解得AB=3.
(2)∵△ABC∽△DAC,
即 解得
(3)∵△ABC∽△DAC,∴∠B=∠DAC,∠BAC=∠D.
又∵∠B=36°,∠D=107°,
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=107°+36°=143°.
7.(1)∵FG∥AB,∴∠BAD=∠AGF.
∵∠BAD=∠GAF,∴∠AGF=∠GAF,AF=GF.
∵BE=AF,∴FG=BE.
∵FG∥BE,∴四边形 BGFE为平行四边形.
(2)∵△ABG∽△AGF,∴AB=AG.
又∵AB=10,AG=6,∴AF=3.6.∴BE=3.6.
8. B 9. 或 10.113°或92°
11.(1)∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=60°.∴∠ACP=120°.
∵△ACP∽△PDB,∴∠APC=∠B.
∴∠APC+∠CPB=∠B+∠CPB.
∴∠APB=∠ACP=120°.
(2)∵△ACP∽△PDB,∴AC:PD=PC:BD.
∴PD·PC=AC·BD.
∵△PCD是等边三角形,∴PC=PD=CD.
∴CD =AC·BD.
12.设OP=x(x>0).
(1)如答图1所示，若点 P在AB的左边，有两种可能：
①若△ABP∽△PDC,则 PB:CD=AB: PD,
∴(x-2):3=4:(x+2),解得x=4.
∴点 P的坐标为(-4,0).
②若△ABP∽△CDP,则AB:CD=PB: PD,
∴4:3=(x-2):(x+2),解得x=-14.不存在.
(2)如答图2所示，若点 P在AB与CD之间，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP,则AB:CD=BP: PD,
∴4:3=(x+2):(2-x),解得
∴点 P 的坐标为( ,0).
②若△ABP∽△PDC,则AB: PD=BP:CD,
∴4:(2-x)=(x+2):3,方程无解.
(3)如答图3所示，若点P 在CD 的右边，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP,则AB:CD=BP: PD,
∴4:3=(2+x): (x-2).∴x=14.
∴点 P 的坐标为(14,0).
②若△ABP∽△PDC,则AB: PD=BP:CD,
∴4:(x-2)=(x+2):3,
∴x=4或x=-4(舍去).
∴点 P 的坐标为(4,0).
综上所述，点 P 的坐标为( ,0),(14,0),(4,0),(-4,0).
13. A
14.3≤AP<4 【解析】如答图 1 所示,过点 P 作 PD∥AB交BC 于点 D,PE∥BC 交AB 于点 E,则△PCD∽△ACB,△APE∽△ACB,此时0如答图3所示,过点 P 作∠CPG=∠CBA交BC 于点G,则△CPG∽△CBA,当点 G 与点 B 重合时,( CA,即2 =CP×4,∴CP=1,AP=3.
∴此时3≤AP<4.
综上所述，AP 长的取值范围是3≤AP<4.
15.(1)∵△ABC∽△A B C ,且相似比为k(k>1), 即a=ka .
(2)取(a=8,b=6,c=4,同时取
此时
∴△ABC∽△A B C 且c=a .
(3)不存在这样的△ABC 和△A B C .
理由如下：若k=2，则
∴b+c=2c+c<4c.
∵4c=a,∴b+ca矛盾.
故不存在这样的△ABC和△A B C .