4.5 相似三角形的性质及其应用(3) 提优训练（含答案）2024-2025学年浙教版九年级数学上册

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4.5 相似三角形的性质及其应用(3)
基础巩固
1.如图所示，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC，OB=3OD)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a 的两个端点上.若CD=1.8cm,则AB的长为( ).
A.7.2cm B.5.4cm C.3.6cm D.0.6cm
2. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何 ”这是我国古代数学名著《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( ).
A.1.25尺 B.57.5尺
C.6.25尺 D.56.5尺
3.如图所示，一张斜边长为10cm的红色直角三角形纸片，一张斜边长为6cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( ).
A.60cm B.50cm D.30cm
4.如图所示，小明用长为3m的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆AB 的高为 m.
5.如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上.已知胶片与屏幕平行，点A 为光源，点A 与胶片BC 的距离为0.1m,胶片的高BC为0.038m,若投影后的图象DE 高1.9m，则投影机的光源离屏幕大约为 m.
6.如图所示，小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树AB的高度，他调整自己的位置，使斜边 DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一条直线上.已知纸板的两条直角边 DE=40cm,EF=20cm,测得边 DF 离地面的高度AC=1.5m,CD=10m,则AB= m.
7.如图所示,矩形ABCD为台球桌面,AD=260cm,AB=130cm,球目前在点E的位置,AE=60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点 D的位置.
(1)求证:△BEF∽△CDF.
(2)求 CF 的长.
8.如图所示为一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB 表示铁夹的两个面，点C是轴，CD⊥OA 于点D,已知DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm,铁夹的侧面是轴对称图形,请求出A，B两点间的距离.
能力提升
9.如图所示，小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶 BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5m,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点 G处，测得CG=15m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3m，小明身高1.6m,凉亭的高AB约为( ).
A.8.5m B.9m C.9.5m D.10m
10.如图所示，有一所占地正方形的学校，北门(点A)和西门(点B)各开在北面、西面围墙的正中间.在北门的正北方30m处(点C)有一棵大榕树.若一名学生从西门出来，朝正西方向走750m(点D)，恰好能看到学校北面的大榕树，则该所学校占地 m .
11.如图所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=4,把边长分别为. 的n(n≥1)个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长. (用含n的代数式表示).
12.有一张锐角三角形卡纸余料ABC,它的边 BC=120cm,高AD=80cm,为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片 EFGH 和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片的一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示.
(1)求矩形纸片较长边 EH 的长.
(2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余余料△AEH中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边 EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.
夯实演练
13.如图所示，在河对岸有一矩形场地 ABCD，为了估测场地大小,在笔直的河岸l上依次取点E,F,N,使AE⊥l,BF⊥l,点N,A,B在同一直线上.在F 点观测A 点后，沿FN方向走到M 点，观测点C发现∠1=∠2.测得EF=15m,FM=2m,MN=8m,∠ANE=45°,则场地的边 AB为 m,BC为 m.
14.如图所示，为了测量一栋楼的高OE，小明同学先在操场上的点 A 处放一面镜子，向后退到点 B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到点C处，然后后退到点 D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明的眼睛距地面的高 BF,DG为1.6m,试确定楼的高OE.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C 同时出发，均以1cm/s的速度分别沿CA，CB向终点A，B移动，同时动点 P 从点B 出发，以2cm/s的速度沿 BA向终点A 移动,连结 PM,PN,设移动时间为t(单位:s, 2.5).
(1)当t为何值时，以点A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似
(2)是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值 若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由.
4.5 相似三角形的性质及其应用(3)
1. B 2. B 3. D 4.9 5.5 6.6.5
7.(1)由已知得∠EFB=∠DFC.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠EBF=∠FCD=90°,∴△BEF∽△CDF.
(2)∵四边形ABCD是矩形,AD=260cm,AB=130cm,∴BC=AD=260cm,CD=AB=130cm.
又∵AE=60cm,∴BE=70cm.
由(1)知△BEF∽△CDF,
即 解得CF=169.
∴CF 的长是169cm.
8.如答图所示，作出示意图，连结AB,连结OC 并延长交AB 于点 E.
∵夹子的侧面是轴对称图形，OE 所在的直线是对称轴，
∴OE⊥AB,AE=BE.
∵∠COD=∠AOE,∠CDO=∠AEO=90°,
∴AE=15mm.∴AB=2AE=30(mm).
9. A 10.90000
12.(1)设EF=2x,则 EH=5x.
∵矩形对边 EH∥BC,∴△AEH∽△ABC.
即 解得x=15.
∴EH=5x=15×5=75(cm),
∴矩形纸片较长边 EH 的长为75cm.
(2)小聪的剪法不正确.
理由如下：设正方形 PMNQ的边长为a(cm).
∵AR=AD-RD=80-2×15=50(cm),
∴AK=(50-a)(m).
由题意知△APQ∽△AEH,
即 解得a=30.
与边EH平行的中位线长为
∵37.5≠30,∴小聪的剪法不正确.
【解析】∵AE⊥l,BF⊥l,∠ANE=45°,
∴△ANE 和△BNF 是等腰直角三角形.
∴AE=EN,BF=FN.
∵EF=15,FM=2,MN=8,
∴AE=EN=15+2+8=25,BF=FN=2+8=10.
如答图所示，过点 C 作CH⊥l于点H,过点 B作PQ∥l交AE 于点P,交CH于点Q,
∴AE∥CH.
∴四边形 PEHQ 和四边形 PEFB 是矩形.
∴PE=BF=QH=10,PB=EF=15,BQ=FH.
∵∠1=∠2,∠AEF=∠CHM=90°,
∴△AEF∽△CHM.
设MH=3x,CH=5x.
∴CQ=5x-10,BQ=FH=3x+2.
∵∠APB=∠ABC=∠CQB=90°,
∴∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBQ=90°.
∴∠PAB=∠CBQ.∴△APB∽△BQC.
解得x=6.
∴BQ=CQ=20.∴BC=20
综上所述，边AB为15 m,BC为2
14.令OE=a,AO=b,CB=x.
由题意得△GDC∽△EOC , ∴ 即 整理得3.2+1.6b=2.1a-ax①.
由题意得△FBA∽△EOA,∴B =ABA,即 整理得1.6b=2a-ax②,
将②代入①得3.2+2a-ax=2.1a-ax,
∴a=32,即OE=32.
∴楼的高OE为32m.
15.∵∠C=90°,AC=4(cm),BC=3(cm),
(1)以点A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时,
即 解得
②当△APM∽△ABC时,
即 解得t=0(不合题意，舍去).
综上所述，当 时，以点 A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似.
(2)存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值.
理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形 APNC的面积S有最小值.
如答图所示,过点 P作PH⊥BC于点 H,则 PH∥AC, 即
有最小值.
当 时，
∴当 时，四边形 APNC的面积S有最小值，其最小值是