专题复习二 相似的综合应用 提优训练（含答案）2024-2025学年浙教版九年级数学上册

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专题复习二 相似的综合应用
1.如图所示,将△ABC沿 DE翻折,折痕 DE∥BC,若 则 DE 的长为( ).
A.2 B.3 C.4 D.4.5
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,AB边上有一点D,且AD=AC,过点 D作DE⊥AB交BC 于点E,则△BDE 的周长是( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图所示，E为 ABCD的边CB 的延长线上一点，若 则 的值为( ).
A. B. C.2 D.3
4.如图所示,在△ABC中,BC=3,G是△ABC的重心,若DG∥BC,则 DG 的长为 .
5.如图所示,已知四边形ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O的直径,AC 和BD交于点E,AC=BC,DE=2cm,AD=5cm,则⊙O 的半径为 cm.
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE 的延长线于点F，连结BF，交AC于点G.
(1)求证:
(2)若AH 平分∠BAC,交 BF 于点H,求证:BH 是 HG 和HF 的比例中项.
如图所示，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP 的延长线分别交AD 于点E,F,连结BD,DP,BD与CF 相交于点H,现有下列结论:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP =PH·PC.其中
正确的是( ).
A.①②③④ B.②③ C.①②④ D.①③④
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点 E作EF∥BC交AC 于点F,则EF的长为( ).
A. B. C.
9.如图所示,AC⊥BC于点C,AC=BC,D是BC上一点,连结AD,与∠ACB的平分线交于点 E,连结 BE.若 则AC的长为 .
10.如图所示,M为线段AB 的中点,AE与BD 交于点C,∠DME=∠A=∠B=45°,且DM交AC 于点 F,ME 交 BC 于点 G,连结 FG.若. ,则 BG= ,FG= .
11.矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使点B落在CD 边上的点P 处.
(1)如图1所示,已知折痕与边 BC交于点O,连结AP,OP,OA.
①求证:△OCP∽△PDA.
②若△OCP 与△PDA 的面积比为1:4,求 AB的长.
(2)如图2所示,在(1)的条件下,擦去AO和OP,连结BP.动点M在线段AP 上(不与点 P,A重合),动点N 在线段AB 的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB 于点F，作 ME⊥BP 于点 E.试问动点 M，N在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化 若不变，求出线段 EF 的长度；若变化，请说明理由.
专题复习二 相似的综合应用
1. B 2. B 3. C 4.1 5.
6.(1)∵CF∥AB,DE是中位线,
∴四边形 BCFD是平行四边形.∴DE=EF.
即
(2)如答图所示，连结CH.
∵AH 平分∠BAC,
∴∠BAH=∠CAH.
在△ABH与△ACH中,
∴△ABH≌△ACH.
∴BH=CH,∠HCG=∠DBH=∠HFC.
又∵∠GHC=∠CHF,∴△GHC∽△CHF.
又
∴BH 是 HG 和 HF 的比例中项.
7. C 【解析】∵△BPC是等边三角形,
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°.
在正方形ABCD中,∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC= .
∠BCD=90°,∴∠ABE=∠DCF=30°.
∴BE=2AE.故①正确.
∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=75°.∴∠FDP=15°.
∵∠DBA=45°,∴∠PBD=15°.∴∠FDP=∠PBD.
∵∠DFP=∠BPC=60°,
∴△DFP∽△BPH.故②正确.
∵∠FDP=∠PBD=15°,∠ADB=45°,∴∠PDB=30°.而∠DFP=60°,∴∠PFD≠∠PDB.
∴△PFD 与△PDB不会相似.故③错误.
∵∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC,
∴△DPH∽△CPD.
故④正确.故选 C.
8. C 9.2 10.
11.(1)①∵四边形 ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°.
∴∠DPA+∠DAP=90°.
∵∠APO=∠B=90°,
∴∠DPA+∠CPO=90°.∴∠CPO=∠DAP.
∵∠C=∠D,∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP 与△PDA 的面积比为1:4,
∵CO=CB-BO,∴CO=8-OP,在 Rt△PCO中, 即 ,解得OP=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边 AB 的长为10.
(2)如答图所示,作 MQ∥AN交 PB 于点Q.
∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ.
∵BN=PM,∴BN=QM.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴EQ= PQ.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF.
∴△MFQ≌△NFB.
∴ EF = EQ + QF =
由(1)得.
∴在(1)的条件下，点M，N在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为2
12.①③④ 【解析】∵四边形 ABCD 为菱形,∴AD=CD.
∵AE=DF,∴DE=CF.
∵∠ADC=60°,∴△ACD为等边三角形.
∴∠D=∠ACD=60°,AC=CD.
∴△ACF≌△CDE,故①正确.
如答图所示,过点 F 作 FP ∥AD,交 CE于点 P.
∵DF=2CF,
∴FP: DE=CF:CD=1:3.
∵DE=CF,AD=CD,
∴AE=2DE.
∴FP:AE=1:6=FG:AG.∴AG=6FG.
∴CE=AF=7GF,故③正确.
过点 B作BM⊥AG于点M,BN⊥GC于点 N.
∵∠AGE=∠ACG+∠CAF=∠ACG+∠GCF=60°=∠ABC,
∴∠AGC+∠ABC=180°.∴点 A,B,C,G四点共圆.
∴∠AGB=∠ACB=60°,∠CGB=∠CAB=60°.
∴∠AGB=∠CGB=60°.∴BM=BN.
又∵AB=BC,
∴△ABM≌△CBN.∴S四边形ABCG=S四边形 BMCN.
故④正确.
∵∠CGB=∠ACB=60°,∠CBG=∠HBC,∴△BCH∽△BGC.
则 BG·BH=BC ,BG·(BG-GH)=BC ,BG -BG·GH=BC ,GH·BG=BG -BC .
当∠BCG=90°时,. 此时 GH·BG=CG ,而题中∠BCG未必等于90°,故②不成立.
故正确的结论有①③④.
13.(1)如答图所示,连结OD,OC.
在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中点,∴OC=OA=OB.
在 Rt△ABD 中,∠ADB= 90°,O 是AB 的中点,∴OD=OA=OB.
∴OA=OB=OC=OD.
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
(2)由(1)知,A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上,且AD=BD,
∴∠ACD=∠BCD.∴CD平分∠ACB.
(3)由(2)知.
∵∠ABC=60°,∴∠BEC=75°.∴∠AED=75°.
∵DF∥BC,∴∠BFD=∠ABC=60°.
∵∠ABD=45°,∴∠BDF=180°-∠BFD-∠ABD=
∵∠DFE=∠BFD,∴△DEF∽△BDF.
∵∠BOD=90°,OB=OD,
在 Rt△DOF 中,根据勾股定理得(
即
14.(1)∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△ACP∽△ABC.
(2)①如答图1所示,取AP在中点G,连结MG,设AG=x,则 PG=x,BG=3-x.
∵M是PC的中点,
∴∠BGM=∠A.
又∵∠ACP=∠PBM,∴△APC∽△GMB.
即 解得 或 (不合题意，舍去).
②如答图2所示,过点 C作CH⊥AB 于点 H,延长 AB到点E,使 BE=BP.设BP=x.
∵∠ABC=45°,∠A=60°,
∵PB=BE,PM=CM,∴BM∥CE.
∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A.
又∵∠E=∠E,∴△ECP∽△EAC.
解得 或 (不合题意，舍去).