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1．（九年级上·江西九江·期末）的值是（ ）
A． B． C．1 D．
2．（九年级上·河北石家庄·期中）如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最低位置秋千底部所经过的路径长为（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
3．（九年级上·福建泉州·期中）在 ABC中，若，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（九年级上·四川眉山·期中）如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．（九年级上·江苏盐城·期末）在 ABC中，、都是锐角，且，则 ABC的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）．
6．（九年级上·安徽池州·月考）若为锐角，且，则 ．
7．若，则锐角的余角是 ．
8．（九年级上·浙江金华·期中）计算：．
9．（九年级上·山东淄博·期中）已知是锐角，且，求和的值．
1．如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（）
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
2．（九年级上·江苏苏州·月考）已知在 ABC中，，，设，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（九年级上·吉林长春·月考）的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（九年级下·上海杨浦·期中） （选填“”或“”或“”）
5．（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．
6．（九年级上·安徽六安·期末）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．
1．（九年级上·湖南邵阳·月考）如果是锐角，且，那么的值（ ）
A． B． C． D．
2．（九年级上·浙江宁波·期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（ ）
A． B．
C． D．
3．（九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（九年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，是 ABC的外接圆，，，则的半径是 ．
6．（2024·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，将边 绕点B 逆时针旋转至 ，连接，若，且，则的面积为 ．
7．若是锐角，且，则 ．
1．（九年级上·山东烟台·期中）在 ABC中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（九年级上·安徽安庆·期末）已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）在 ABC中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（九年级下·江苏南京·期末）如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东青岛·一模）计算： ．
6．如图， ABC中，，，以B为圆心为半径作弧交于点D，则阴影部分的面积为 ．
7．（九年级上·安徽合肥·月考）计算：．
8．（九年级上·吉林长春·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)过点作于点，若，，则的正弦值为______．
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1．（九年级上·江西九江·期末）的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】解：．
2．（九年级上·河北石家庄·期中）如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最低位置秋千底部所经过的路径长为（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【详解】解：过点作于点，
∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，
当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，∴．
∵，∴，
∴，
∴秋千底部所经过的路径长．
3．（九年级上·福建泉州·期中）在 ABC中，若，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】解：∵
∴，，
解得：，，
∴，
∴是钝角三角形
4．（九年级上·四川眉山·期中）如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴
5．（九年级上·江苏盐城·期末）在 ABC中，、都是锐角，且，则 ABC的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）．
【答案】直角
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴、，
∴在中，，
∴是直角三角形
6．（九年级上·安徽池州·月考）若为锐角，且，则 ．
【答案】/60度
【详解】解：∵是锐角，，∴
7．若，则锐角的余角是 ．
【答案】/度
【详解】解：∵，∴，
∴锐角的余角是，故答案为： ．
8．（九年级上·浙江金华·期中）计算：．
【答案】
【详解】解：．
9．（九年级上·山东淄博·期中）已知是锐角，且，求和的值．
【答案】，
【详解】解：∵是锐角，且，
∴，∴，，
∴；
．
1．如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（）
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意；
B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；
C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；
D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意；
2．（九年级上·江苏苏州·月考）已知在 ABC中，，，设，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵在中，，，，
∴，∴
3．（九年级上·吉林长春·月考）的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴；
4．（九年级下·上海杨浦·期中） （选填“”或“”或“”）
【答案】
【详解】解：，，，，，，
，，，，
由此可得，互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，
，，，故答案为：．
5．（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
∴；
．
（2），．
∵，
∴．
6．（九年级上·安徽六安·期末）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：在中，，
，
在中，，
，
又，；
（2）解：由（1）得，，
，，．
1．（九年级上·湖南邵阳·月考）如果是锐角，且，那么的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，．
2．（九年级上·浙江宁波·期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在中，，是边上的高，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，∴．
3．（九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，
；
4．（九年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：设，则
∵，即
∴
∴
∴
∴，
即
故答案为：．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，是 ABC的外接圆，，，则的半径是 ．
【答案】4
【详解】解：延长交于点D，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴的半径等于4，
故答案为：4．
6．（2024·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，将边 绕点B 逆时针旋转至 ，连接，若，且，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点 B作，垂足为G，过点E作，垂足为 F，
∵，
∴，
则 ，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：3．
7．若是锐角，且，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
又为锐角，，
∴，
∴；
1．（九年级上·山东烟台·期中）在 ABC中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
2．（九年级上·安徽安庆·期末）已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意；
B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意；
C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意；
D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）在 ABC中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过作于，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
4．（九年级下·江苏南京·期末）如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，，
，
，，
根据轴对称的性质可知：
，
，
，
，
5．（2025·山东青岛·一模）计算： ．
【答案】
【详解】解：
6．如图， ABC中，，，以B为圆心为半径作弧交于点D，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴
．
7．（九年级上·安徽合肥·月考）计算：．
【答案】0
【详解】解：原式．
8．（九年级上·吉林长春·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)过点作于点，若，，则的正弦值为______．
【答案】(1)证明过程见详解(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
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