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1．（九年级上·宁夏银川·期末）在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（九年级上·四川眉山·期中）如图，在 ABC中，，，垂足为，如果，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（九年级上·山东烟台·期中）在 ABC中， ，， ，则下列三角函数值正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
5．（九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，求的长．
6．（九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，点E、F在边上（且点E、F不重合），连结，且，直线交于点D．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
1．（九年级上·江苏南通·期末）如图，在 ABC中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
2．（九年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
3．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ．
4．（九年级上·上海·月考）如图，在 ABC中，为边上的中线，且，若，，则线段 ．
5．（九年级下·内蒙古通辽·月考）已知：在 ABC中，，，．则 ABC的面积为 （结果可保留根号）．
6．如图，在 ABC中，，，，则的长为 ， ABC的面积为 ．
7．（九年级上·安徽六安·月考）如图，在 ABC中，．
(1)求的值．
(2)求 ABC的面积（结果保留根号）
1．（九年级上·陕西西安·月考）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点与地面距离80米，测得点的俯角；控制无人机水平移动至点，测得米，楼顶点的俯角．点、、、在同一平面内，求大楼的高度．
2．（九年级上·河南驻马店·期末）某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点在点的正南方，点在点的东南方向，在点的北偏东方向上，点在点的正西方，在点的南偏西方向上，若．（参考数据：，）
(1)求的长度（精确到0.1m）；
(2)周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点，他的平均速度是，爸爸选择沿路线散步到点，他的平均速度为，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点．
3．（九年级上·湖南湘潭·期末）关圣殿是湘潭沿湘江风光带一个重要景点，重装后于2024年元月1日对外开放．如图，某数学活动小组为测量关圣殿牌楼的高度，在小斜坡顶端点处测得牌楼的仰角为，沿小斜坡下到底端点处测得牌楼的仰角为，的坡度为，点到地面的垂直距离为．点、、在一条直线上，，，都在同一竖直平面内．
(1)求的长；
(2)求牌楼的高度．
（结果精确到．参考数据，，）
1．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，为一建筑物的最高点，在地面上的投影为，从地面上的点，用测角仪在处测得点的仰角为，测角仪高，若，则建筑物的高可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中， ，以为直径作交于点，作直径，连接，．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（九年级上·重庆·月考）如图，是的直径，、、为的弦，，，则（）
A． B． C． D．
4．（九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则的长为 ．
5．（九年级上·上海·月考）在直角 ABC中，，如果的中线上有个点，使，那么 ．
6．（九年级上·浙江杭州·月考）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为 ．（取，取）
7．（九年级上·辽宁本溪·期中）周末，小菊与同学去爬山，如图，两人从山脚下处沿坡前行，到达处时，发现处标语牌上写着“恭喜你已上升”，若此山坡的坡度，则他们沿坡面至少走了 米．
8．（九年级上·安徽池州·月考）如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）
(1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
(2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离．
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1．（九年级上·宁夏银川·期末）在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在中，，，
∴，设，∴，∴；
2．（九年级上·四川眉山·期中）如图，在 ABC中，，，垂足为，如果，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
3．（九年级上·山东烟台·期中）在 ABC中， ，， ，则下列三角函数值正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵， ∴ ABC为直角三角形
在中，，，∴，
A．，故选项计算错误，不符合题意；
B．，故选项计算错误，不符合题意；
C．，故选项计算正确，符合题意；
D．，故选项计算错误，不符合题意；
4．（九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，解得或（负值舍去）．∴
5．（九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，求的长．
【答案】
【详解】解：∵，
∴∴，
∵是的中点，∴，
在中，
设，
∴，即解得
6．（九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，点E、F在边上（且点E、F不重合），连结，且，直线交于点D．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
1．（九年级上·江苏南通·期末）如图，在 ABC中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【详解】如下图，作于，
在中，，，，，
在中，，，，
2．（九年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A
【详解】解：连接，如图所示
，，
，
四边形的面积为48
3．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长BC，AD交于E，
∵，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴,∴BC=BE-CE=，
∴．
4．（九年级上·上海·月考）如图，在 ABC中，为边上的中线，且，若，，则线段 ．
【答案】
【详解】解：过点作，则：，
∴，设，
∴，∴，
∵为边上的中线，，∴，，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴；
5．（九年级下·内蒙古通辽·月考）已知：在 ABC中，，，．则 ABC的面积为 （结果可保留根号）．
【答案】
【详解】解：过作于，
在中，，
，
即．
在中，，
，
．
，
．
．
6．如图，在 ABC中，，，，则的长为 ， ABC的面积为 ．
【答案】
【详解】解：过作，如图所示：
在中，，，
，
在中，，
，即，
，
由勾股定理得；
，
故答案为：，．
7．（九年级上·安徽六安·月考）如图，在 ABC中，．
(1)求的值．
(2)求 ABC的面积（结果保留根号）
【答案】(1)(2) ABC的面积为
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
．
1．（九年级上·陕西西安·月考）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点与地面距离80米，测得点的俯角；控制无人机水平移动至点，测得米，楼顶点的俯角．点、、、在同一平面内，求大楼的高度．
【答案】大楼的高度为71米
【详解】解：延长交于点，
根据题意，得米，，
在中，，
在中，，
，解得，
（米），
（米），即大楼的高度为71米．
2．（九年级上·河南驻马店·期末）某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点在点的正南方，点在点的东南方向，在点的北偏东方向上，点在点的正西方，在点的南偏西方向上，若．（参考数据：，）
(1)求的长度（精确到0.1m）；
(2)周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点，他的平均速度是，爸爸选择沿路线散步到点，他的平均速度为，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点．
【答案】(1)(2)爸爸先到达点
【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，
依题意得，，，，
，，
，为等腰直角三角形，，，
答：的长度约为；
（2）解：由（1）可知，，，
，，
，，小聪所需要的时间为：
，
爸爸所需要的时间为：，
，爸爸先到达点．
3．（九年级上·湖南湘潭·期末）关圣殿是湘潭沿湘江风光带一个重要景点，重装后于2024年元月1日对外开放．如图，某数学活动小组为测量关圣殿牌楼的高度，在小斜坡顶端点处测得牌楼的仰角为，沿小斜坡下到底端点处测得牌楼的仰角为，的坡度为，点到地面的垂直距离为．点、、在一条直线上，，，都在同一竖直平面内．
(1)求的长；
(2)求牌楼的高度．
（结果精确到．参考数据，，）
【答案】(1)；(2)牌楼的高度约为
【详解】（1）解：由题意可得：在中，
∵，
∵，∴；
（2）解：由题意可知四边形为矩形，
∴，，设牌楼的高度为，
在中，∵，
∴，∴，，
在中，，∴
∴，故牌楼的高度约为
1．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，为一建筑物的最高点，在地面上的投影为，从地面上的点，用测角仪在处测得点的仰角为，测角仪高，若，则建筑物的高可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点D作于F，
由题意知：，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴．
2．如图，在中， ，以为直径作交于点，作直径，连接，．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在中，，，
设，，，
，，，
为的直径，，为的切线，，
为的直径，，，，，
在中，
3．（九年级上·重庆·月考）如图，是的直径，、、为的弦，，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵是圆的直径，
，
4．（九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：由题可知：，
∵是的中点，
5．（九年级上·上海·月考）在直角 ABC中，，如果的中线上有个点，使，那么 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，∴
∴
∵是的中线，∴∴
∴∴，
∴
6．（九年级上·浙江杭州·月考）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为 ．（取，取）
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
∴，
∵，，，∴，，
∴，在中，，
∴，设，
∴，，
在中，，即，解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则塔的高度为
7．（九年级上·辽宁本溪·期中）周末，小菊与同学去爬山，如图，两人从山脚下处沿坡前行，到达处时，发现处标语牌上写着“恭喜你已上升”，若此山坡的坡度，则他们沿坡面至少走了 米．
【答案】
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴他们沿坡面至少走了米
8．（九年级上·安徽池州·月考）如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）
(1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
(2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离．
【答案】(1)，两地的距离为339.4米(2)，两地的距离为米
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
∵，，
∴，，
∴，，
在中，米，
∴（米），
∴（米）．
答：，两地的距离为339.4米．
（2）解：如图，过点作于点，则．
由（1）知米．
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴（米）．
在中，，
∴（米），
∴（米）．
答：，两地的距离为米．
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