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1．（九年级上·江苏扬州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．一个三角形只有一个外接圆
【答案】D
【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，原说法错误；
B、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，原说法错误；
C、和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，原说法错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，说法正确；
2．（九年级上·天津蓟州·期末）已知的半径为，点A在直线m上，，则直线m与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离
【答案】C
【详解】解：设点到直线的距离为，
∵点A在直线m上，，
∴，
∵的半径为，
∴的半径，
∴直线m与的位置关系为相交或相切
3．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作于D，如图所示：
∵，
∴，
∵ ABC的面积，
∴，即圆心C到的距离，
∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：．
4．（九年级上·天津河西·期末）已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由直线与圆的位置关系，可知直线l与相切，
∴圆心O到这条直线的距离为
5．（九年级上·山东德州·月考）如图，的直径为，弦，，垂足为．则沿射线方向平移 时可与相切．
【答案】
【详解】解：，垂足为，
，
在中，，
，
∴沿射线方向平移时，可与相切，
故答案为：4．
6．（九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点．
【答案】且
【详解】解：圆心的坐标为，
∴圆心到原点的距离为，
当且时，圆与坐标轴有4个交点．
故答案为：且．
1．（九年级上·福建厦门·期中）如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（ ）
A．以为半径的圆 B．以为半径的圆
C．以为半径的圆 D．以为半径的圆
【答案】C
【详解】解：根据题意可知，，
∴以为圆心，为半径作圆，所得的圆与直线相切
2．（九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，是的直径，直线与相切于点．若．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵是的直径，直线与相切于点，
∴，
∴，
∴，
又∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
3．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解： ∵，
∴，
∴，
∵与相切于点A，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接、、，交于，如图，
，与相切，切点分别为，，
，，平分，
，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴在中，，
，
．
5．（九年级上·江苏盐城·月考）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 °．
【答案】
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵过点C作的切线交的延长线于点E，
∴，
∴
6．（九年级上·湖南长沙·期中）如图，分别与相切于A，B两点，且，若点C是上异于点A，B的一点，则的大小为 ．
【答案】或
【详解】解：如图，
∵分别与相切于A，B两点
∴，
∵，
∴
当C在优弧上时，，
当在劣弧上时，
，
∴的大小为或，
故答案为：或．
7．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，为外一点，与相切于点，若，则
【答案】
【详解】与相切于点，
，
，
，
，
故答案为：．
8．（九年级上·辽宁大连·期末）如图，是 ABC的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线．
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
1．（2023·山东淄博·一模）如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间．淄博市某学校内A处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，A处的纬度为北纬（地球球心为O，A处的纬度是指与赤道面所成角），则晷针与底座所成角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解∶如图所示，由题意可知，指针交底座于点，，底座于相切于点，，
∵于相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即晷针与底座所成角为，
故选∶ A．
2．（九年级上·北京海淀·期末）如图， ABC中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】B
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形，
∵腰与相切，设切点为，
∴为⊙O的半径， ，
连接，，过O点作，如图，
∵O是等腰的底边的中点，
∴平分，
∵，，
∴，
∴与相切．
故选B．
3．（九年级上·山西大同·期末）如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为 ．
【答案】//
【详解】解：如图所示，连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
4．如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点．
(1)求证∶．
(2)若的度数为，求的度数．
【答案】(1)证明过程见详解(2)
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据题意可得，，且，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
1.（九年级上·河南安阳·阶段测试）如图， ABC是的内接三角形，，过点的圆的切线交的延长线于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如下图所示，连接、，
则有，
，
，
又，
，
是的切线，
，
，
又，
.
故选：B ．
2．（九年级上·广东惠州·月考）如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】D
【详解】解：作于，如图：
，
的面积
即圆心到的距离
∴以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，
∴若与斜边有公共点，则的取值范围是：，
故选：D．
3．（九年级上·山西吕梁·期中）将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D，已知C，D在直尺上对应的分刻度别为3和0，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得：
，，，，
，
，即：，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
解得：或（不合题意，故舍去），
图中阴影部分的面积为：
，
故选：．
4．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ．
【答案】4
【详解】解：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，
即的长为4．
故答案为：4．
5．（九年级上·江苏无锡·阶段测试）如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为 ．
【答案】5
【详解】解：连接并延长，交于F，连接，如图，
∵四边形是正方形，，
∴，，
边与相切，
，则，
∴四边形是矩形，
∴，，即，
∴，
设的半径为r，则，
在中，，即
解得：，
即圆的半径为5，
故答案为：5．
6．（九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 ABC中，，，点O在 ABC的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D．
(1)求证：与相切；
(2)若，求与 ABC重叠部分的面积．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与相切．
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴与 ABC重叠部分的面积为．
7．（九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，．
(1)求证：平分；
(2)求的半径．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
∴．
∵是过点C的切线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
即平分．
（2）解：如图，过点O作，垂足为F．
∴，．
由（1）知，，，
∴四边形是矩形．
∴．
在中，，
∴．
即的半径为．
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1．（九年级上·江苏扬州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．一个三角形只有一个外接圆
2．（九年级上·天津蓟州·期末）已知的半径为，点A在直线m上，，则直线m与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离
3．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（九年级上·天津河西·期末）已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（九年级上·山东德州·月考）如图，的直径为，弦，，垂足为．则沿射线方向平移 时可与相切．
6．（九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点．
1．（九年级上·福建厦门·期中）如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（ ）
A．以为半径的圆 B．以为半径的圆
C．以为半径的圆 D．以为半径的圆
2．（九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，是的直径，直线与相切于点．若．则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（九年级上·江苏盐城·月考）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 °．
6．（九年级上·湖南长沙·期中）如图，分别与相切于A，B两点，且，若点C是上异于点A，B的一点，则的大小为 ．
7．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，为外一点，与相切于点，若，则
8．（九年级上·辽宁大连·期末）如图，是 ABC的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
1．（2023·山东淄博·一模）如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间．淄博市某学校内A处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，A处的纬度为北纬（地球球心为O，A处的纬度是指与赤道面所成角），则晷针与底座所成角为（ ）．
A． B． C． D．
2．（九年级上·北京海淀·期末）如图， ABC中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
3．（九年级上·山西大同·期末）如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为 ．
4．如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点．
(1)求证∶．
(2)若的度数为，求的度数．
1.（九年级上·河南安阳·阶段测试）如图， ABC是的内接三角形，，过点的圆的切线交的延长线于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（九年级上·广东惠州·月考）如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．
3．（九年级上·山西吕梁·期中）将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D，已知C，D在直尺上对应的分刻度别为3和0，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ．
5．（九年级上·江苏无锡·阶段测试）如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为 ．
6．（九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 ABC中，，，点O在 ABC的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D．
(1)求证：与相切；
(2)若，求与 ABC重叠部分的面积．
7．（九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，．
(1)求证：平分；
(2)求的半径．
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