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课时2.2 切线长定理 分层练习
1．（九年级上·江苏宿迁·期中）如图，、是的切线，切点分别为A、B．若，的周长为9，则的直径为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：连接、，，如图，
、为的切线，
，，，
∵，
∴
∴，
而，
为等边三角形，
的周长为9，
，
在中，
，
，
即的直径为．
2．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
【答案】B
【详解】解：如图所示，连接，，．
∵，是的切线，
∴，．
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形．
设步，则步，步，
∵，，是的切线，
∴步，步．
∵步，
∴步．
∴．
∴．
3．（九年级上·浙江杭州·月考）如图，以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线，
又∵与相切于点F，
∴，
同理得，
设，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∴在中，
4．（九年级上·山东威海·期末）如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则 ABC的面积为 ．
【答案】20
【详解】解：的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，，
，，，
设，
则，
整理得，，
解得：，（不合题意舍去），
则， ，
，
故的面积为20，
故答案为20．
5．如图，是的切线，切点分别为点，若的周长为，，则的半径为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，则，
∴，
∵为的切线，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径为，
故答案为：．
6．（九年级上·福建泉州·月考）如图，、分别与相切于点A、B，的延长线交于点C，连接，．
(1)若，则 ．
(2)若，，求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵、分别与相切于点A、B，
∴，，
在和中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过B作于E，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得： ，
∴，
在中，．
7．（九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知，是的直径，与相切，切点为，弦，连接并延长交的延长线点．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)3
【详解】（1）证明：连接，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
为圆的切线，
，即，
，
又为圆的半径，
为圆的切线；
（2）解：，分别切于D，B，
，
，即，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
1．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图， ABC的内切圆切三边于点D，E，F，过F作的平行线交的延长线于点G，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，连接，过作的平行线交、的延长线于点、，
，
∵的内切圆切三边于点D，E，F，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
2．（九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：．
【答案】见解析
【详解】连接，
∵分别与小圆相切于点D、E，
∴，，，
∵是大圆的弦，
∴，，
∴．
3．（九年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D的切线交于点E．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴为的切线．
∵为的切线，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
4．如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．
【答案】见详解
【分析】根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解 ．
【详解】根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴．
1．（九年级上·河北衡水·月考）如图， ABC是一张三角形纸板，是 ABC的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，设与的切点为点，
是 ABC的内切圆，切点分别为点、、，且与相切于点，
，，，，
的周长
，故选：．
2．（九年级上·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，，，，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∵，，分别与相切于E，F，G三点，
∴，
∵，
∴四边形，是正方形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，∴．
故选：C．
3．如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，
，
∵与，，分别相切于点，，，
∴，，，，，
∴，，
∴四边形是正方形，，
∴，
∴
4．（九年级上·天津·阶段测试）如图，在中，，， ABC的内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵的内切圆与边、、分别相切于点、、，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
5．（九年级上·江苏南京·期中）如图，都是的切线，，则 ．
【答案】6
【详解】解：∵都是的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6
6．如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点．
(1)试猜与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：∵在梯形中，，
∴，
∵为四边形内切圆，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∵切于，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．
7．如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析(2)5
【详解】（1）证明：∵，分别切于点B，D，
∴平分，,
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，如图，
∵，分别切于点B，D，
∴，，
∴，
在中，，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴．
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课时2.2 切线长定理 分层练习
1．（九年级上·江苏宿迁·期中）如图，、是的切线，切点分别为A、B．若，的周长为9，则的直径为（ ）
A． B．3 C． D．
2．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
3．（九年级上·浙江杭州·月考）如图，以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（九年级上·山东威海·期末）如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则 ABC的面积为 ．
5．如图，是的切线，切点分别为点，若的周长为，，则的半径为 ．
6．（九年级上·福建泉州·月考）如图，、分别与相切于点A、B，的延长线交于点C，连接，．
(1)若，则 ．
(2)若，，求的值．
7．（九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知，是的直径，与相切，切点为，弦，连接并延长交的延长线点．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的长．
1．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图， ABC的内切圆切三边于点D，E，F，过F作的平行线交的延长线于点G，求证：．
2．（九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：．
3．（九年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D的切线交于点E．求证：．
4．如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．
1．（九年级上·河北衡水·月考）如图， ABC是一张三角形纸板，是 ABC的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（ ）
A． B． C． D．
2．（九年级上·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（九年级上·天津·阶段测试）如图，在中，，， ABC的内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为 ．
5．（九年级上·江苏南京·期中）如图，都是的切线，，则 ．
6．如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点．
(1)试猜与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的面积．
7．如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
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